Funciones Exponenciais e Logarítmicas

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567
9 Funciones 
exponenciales 
y logarítmicas
	9.1	 Funciones	compuestas	e	inversas
	9.2	 Funciones	exponenciales
	9.3	 Funciones	logarítmicas
	9.4	 Propiedades	de	los	logaritmos
Prueba	de	mitad	de	capítulo:	
secciones	9.1-9.4
	9.5	 Logaritmos	comunes
	9.6	 Ecuaciones	exponenciales	y	
logarítmicas
	9.7	 Función	exponencial	natural	y	
función	logaritmo	natural
Resumen	del	capítulo	9
Ejercicios	de	repaso	del	capítulo	9
Prueba	de	práctica	del	capítulo	9
Prueba	de	repaso	acumulada
Objetivos de este capítulo
Las	funciones	exponencial	y	logarítmica	tienen	una	amplia	variedad	
de	aplicaciones,	algunas	de	las	cuales	se	analizarán	a	lo	largo	de	este	
capítulo.	A	menudo	se	lee	en	artículos	de	periódicos	y	revistas	que	
algunas	cosas,	como	el	gasto	en	servicios	de	salud,	el	uso	de	Internet	
y	la	población	mundial,	por	ejemplo,	crecen	a	un	ritmo	exponencial.	
Cuando	termines	de	estudiar	este	capítulo	entenderás	con	claridad	lo	
que	esto	significa.
También	introduciremos	dos	funciones	especiales,	la	función	expo-
nencial	natural	y	la	función	logarítmica	natural.	Muchos	fenómenos	
naturales,	como	el	fechado	con	carbono,	el	decaimiento	radiactivo	
y	el	crecimiento	de	los	ahorros	invertidos	en	una	cuenta	en	la	que	el	
interés	se	capitaliza	de	forma	continua,	pueden	describirse	por	medio	
de	funciones	exponenciales	naturales.
Las poblaciones de muchas 
especies	pueden	modelarse	
utilizando	las	funciones	exponenciales	
o	las	funciones	logarítmicas.	Ejemplos	
específicos	incluyen	el	modelado	de	las	
poblaciones	humanas	de	las	ciudades,	
los	países	y	del	mundo	entero.	Otros	
ejemplos	involucran	la	población	de	osos	
en	un	bosque,	manatíes	en	un	estuario	y	
águilas	calvas	en	un	parque	nacional.	En	
el	ejercicio	74	de	la	página	622,	se	utiliza	
una	función	exponencial	para	modelar	la	
población	de	truchas	en	un	lago. ©
 K
at
rin
a 
Br
ow
n/
Sh
ut
te
rs
to
ck
568	 Capítulo	9	 	 Funciones	exponenciales	y	logarítmicas
9.1 Funciones compuestas e inversas
	 1 	 Determinar	funciones	
compuestas.
	2 	 Entender	las	funciones	
uno	a	uno.
	3 	 Determinar	las	funciones	
inversas.
	 4 	 Determinar	la	composi-
ción	de	una	función	y	su	
inversa.
Empezaremos con las funciones compuestas, las funciones uno a uno y las funciones in-
versas. Estos conceptos los utilizaremos en el análisis de las funciones logarítmicas y las 
funciones exponenciales.
	1 	Determinar	funciones	compuestas
A menudo, una variable es una función de otra variable que a su vez es una función de 
una tercera variable. Describimos la relación entre tales funciones como una composición 
de funciones. Por ejemplo, supón que 1 dólar estadounidense puede cambiarse por 1.20 
dólares canadienses, y que 1 dólar canadiense puede cambiarse por 11.40 pesos mexicanos. 
Utilizando esta información, podemos convertir 20 dólares estadounidenses a pesos mexi-
canos utilizando las funciones siguientes.
	 g(x) 5 1.20x (x dólares estadounidenses a dólares canadienses) 
	 f (x) 5 11.40x (x dólares canadienses a pesos mexicanos)
Si hacemos x 5 20, es decir, $20 dólares estadounidenses, entonces, podemos conver-
tirlos en $24 dólares canadienses mediante la función g:
	 g(x) 5 1.20x 
	 g(20) 5 1.20(20) 5 $24 dólares canadienses
A su vez, los $24 dólares canadienses se convierten en 273.60 pesos mexicanos me-
diante la fórmula f :
	 f (x) 5 11.40x 
	 f (24) 5 11.40(24) 5 273.60 pesos mexicanos
Esta conversión puede encontrarse directamente sin llevar a cabo esta serie de cálculos. 
Un dólar estadounidense puede convertirse a pesos mexicanos sustituyendo la x de la función 
f (x) por 1.20x, encontrado en la función g(x). Esto da una nueva función, h, con la que pode-
mos convertir directamente dólares estadounidenses en pesos mexicanos.
g(x) 5 1.20x f (x) 5 11.40x 
	 h(x) 5 f [ g(x) ] 
	 5 11.40( 1.20x ) Sustituye x por g(x) en f (x).
	 5 13.68x
Por lo tanto, por cada dólar estadounidense, x, obtenemos 13.68 pesos mexicanos. Si 
sustituimos x por $20, obtenemos 273.60 pesos, que es lo que esperábamos.
	 h(x) 5 13.68x
	 h(20) 5 13.68(20) 5 273.60
La función h se denomina composición de f con g o función compuesta de f con g. Denota-
mos la función compuesta ( f + g)(x) y se lee “f de g de x ” o “f compuesta con g	de x”. La 
Figura 9.1 muestra cómo la función compuesta h relaciona las funciones f y g.
f (x) � 11.40xg(x) � 1.20x
h(x) � ( f � g)(x) � 11.40(1.20x) � 13.68x
Dólares
estadounidenses
Dólares
canadienses
Pesos
mexicanos
FIGURA	 9.1	 	
Comprendiendo 
el álgebra
Observamos	funciones	
compuestas	en	nuestra	
vida	diaria.	Por	ejemplo,	
tu	presupuesto	semanal	es	
una	función	del	precio	de	
la	gasolina.	El	precio	de	la	
gasolina	es	una	función	del	
precio	del	petróleo.	Así,	en	
un	panorama	general,	vemos	
que	tu	presupuesto	semanal	
es	una	función	del	precio	del	
petróleo.	Esto	es	un	ejemplo	
de	una	función	compuesta.
	 Sección	9.1	Funciones	compuestas	e	inversas	 569
Cuando nos dan 	f (x) y g(x), para determinar ( f + g)(x), sustituimos la x por g(x) en f (x), 
para obtener f [g(x)].
EJEMPLO  1  Dada 	f (x) 5 x2 2 2x 1 3 y g(x) 5 x 2 5, determina
 a) f (4) b) f (a) c) ( f +	g)(x) d) ( f +	g)(3)
Solución
 a) Para determinar f (4), sustituimos cada x en	f (x) por 4.
	 f (x) 5 x² 2 2x 1 3
	 f (4) 5 4² 2 2  4 1 3 5 16 2 8 1 3 5 11
 b) Para determinar f (a), sustituimos cada x de f (x) por a.
	 f (x) 5 x² 2 2x 1 3
	 f (a) 5 a² 2 2a 1 3
 c) ( f + g)(x) 5 f [g(x)]. Para determinar ( f + g)(x) sustituimos cada x en f (x) por 
g(x), la cual es x 2 5.
	 f ( x ) 5 x ² 2 2 x 1 3
	 f [ g(x) ] 5 [ g(x) ]² 2 2[ g(x) ] 1 3
Como g(x) 5 x 2 5 , sustituimos del modo siguiente
	 f [ g(x) ] 5 ( x 2 5 )² 2 2( x 2 5 ) 1 3
 5 (x 2 5)(x 2 5)2 2x 1 10 1 3
 5 x² 2 10x 1 25 2 2x 1 13
 5 x² 2 12x 1 38
Por lo tanto, la función compuesta de f con g es x² 2 12x 1 38.
 ( f + g)(x) 5 f [g(x)] 5 x² 2 12x 1 38
 d) Para determinar ( f + g)(3), sustituimos x en ( f + g)(x) por 3.
 ( f + g)(x) 5 x² 2 12x 1 38
 ( f + g)(3) 5 3² 2 12(3) 1 38 5 11
Resuelve ahora el ejercicio 9
Para determinar (g + f )(x) o g[ f (x)], sustituimos cada x de g(x) por f (x). A partir 
de los valores que se dieron para f (x) y g(x) en el ejemplo 1, determinamos (g + f )(x) del 
modo siguiente:
g(x) 5 x 2 5, f (x) 5 x² 2 2x 1 3
	 g[ f (x) ] 5 f (x) 2 5
	 g[ f (x)] 5 ( x² 2 2x 1 3 ) 2 5
 5 x² 2 2x 1 3 2 5
 5 x² 2 2x 2 2
Ahora definiremos la función compuesta.
Comprendiendo 
el álgebra
Varios	ejemplos	y	ejercicios	de	
esta	sección	nos	muestran	que	
la	composición	de	funciones	
no	es	una	operación	conmu-
tativa.	Esto	es,	en	general
(f	+ g)(x)		(g	+ f )(x)
La función compuesta ( f + g)(x) se define como
( f + g)(x) 5 f 	[g(x)]
Función compuesta
570	 Capítulo	9	 	 Funciones	exponenciales	y	logarítmicas
Por lo tanto, la función compuesta de g con f es x² 2 2x 2 2.
(g + f )(x) g[ f (x)] 5 x² 2 2x 2 2
Mediante	 la	 comparación	 de	 los	 resultados	 anteriores,	 vemos	 que	 en	 este	 ejemplo		
f [g(x)]  g[ f (x)].
EJEMPLO  2  Dada f (x) 5 x2 1 4 y g1 x 2 = !x - 1, determina
 a) ( f + g)(x) b) (g + f )(x)
Solución
 a) Para determinar ( f + g)(x), sustituimos cada x de f (x) por g(x), que es !x - 1. 
Debes darte cuenta de que !x - 1 es un número real solo cuando x  1.
 1 f g2 1 x 2 = f [g1 x2 ] = 1 !x - 1 2 2 + 4 = x - 1 + 4 = x + 3, x Ú 1
 f 1x 2 = x 2 + 4
Como los valores de x , 1 no están en el dominio de g(x), tampoco pertenecen 
al dominio de ( f + g)(x).
 b) Para determinar (g + f )(x), sustituimos cada x de g(x) por f (x), la cual x2 1 4.
 1 g f 2 1 x 2 = g[ f 1 x2 + 42 ] = " 1 x2 + 4 2 - 1 = "x2 + 3
 g1 x 2 = " x - 1
Resuelve ahora el ejercicio 19
EJEMPLO  3  Dada f (x) 5 x 2 3 y g(x) 5 x 1 7, determina
 a) ( f + g)(x) b) ( f + g)(2) c) (g + f )(x) d) (g + f )(2)
Solución
 a) 
 1 f g2 1 x2 = f [g1 x2 ] = 1 x + 7 2 - 3 = x + 4
 f 1x 2 = x - 3
 b) Determinamos ( f + g)(2) sustituyendo cada x de ( f + g)(x) por 2.
 1 f g2 1 2 2 = 2 + 4 = 6
 1 f g21 x 2 = x + 4
 c) 
1g f 2 1 x 2 = g[ f 1x 2 ] = 1 x - 3 2 + 7 = x + 4
 g 1x 2 = x + 7
 d) Como (g + f )5 x 1 4, (g + f )(2) 5 2 1 4 5 6.
Resuelve ahora el ejercicio 11
En general, ( f + g)(x)  (g + f )(x) como vimos al final del ejemplo 1. En el ejemplo 3, 
( f + g)(x)  (g + f )(x), pero esto es solo debido a las funciones específicas que se utilizaron.
Consejo útil
No confundas determinar el producto de dos funciones con determinar la función compuesta.
Producto de las funciones f y g: ( f g)(x) 5 ( f 	  g)(x) 5 f 	(x)  g(x)
Función compuesta de f con g: ( f + g)(x) 5 f [g(x)]
Para indicar que se deben multiplicar las funciones f y g, se usa un punto entre	f y g. Para 
indicar que se debe determinar la función compuesta de f con g, se utiliza un pequeño círculo 
vacío.
	 Sección	9.1	Funciones	compuestas	e	inversas	 571
	2 	Entender	las	funciones	uno	a	uno
Antes de analizar las funciones uno a uno, toma un momento para repasar las definiciones 
de relación, dominio, rango y función que se muestran en el recuadro Comprendiendo el 
álgebra.
Considera los dos conjuntos de pares ordenados siguientes.
A 5 {(1, 2), (3, 5), (4, 6), (22, 1)}
B 5 {(1, 2), (3, 5), (4, 6), (22, 5)}
 •	 Ambos conjuntos A y B representan funciones, ya que cada valor de la coordenada 
x corresponde a exactamente un valor de la coordenada y.
 •	 El conjunto A es también una función uno a uno, ya que cada valor de la coorde-
nada y también corresponde a exactamente un valor de la coordenada x.
 •	 El conjunto B no es una función uno a uno, ya que la coordenada y con valor de 5 
corresponde a dos coordenadas x, con valor de 3 y 22 cada una.
La Figura 9.2 muestra la gráfica de la función A y la Figura 9.3 muestra la gráfica de la 
función B.
Para que una gráfica represente una función, debe cumplir el criterio de	la	recta	verti-
cal (ver recuadro Comprendiendo el álgebra). Para que una gráfica represente una función 
uno a uno, debe cumplir también el criterio	de	la	recta	horizontal.
�2
�1
5
6
4
3
2
1
5 64321�4�5�6 �3 �2 �1
y
x
Función A
FIGURA	 9.2	 	
	 •	 Cada	coordenada	x	corresponde	
a	exactamente	un	único	valor	de	
la	coordenada	y.	Por lo tanto, el 
conjunto A es una función.
	 •	 Cada	coordenada	y	también	
corresponde	a	exactamente	un	
único	valor	de	la	coordenada	x.	
Por lo tanto, el conjunto A es una 
función uno a uno.
�2
�1
6
4
3
2
1
5 64321�4�5�6 �3 �2 �1
y
x
Función B
FIGURA	 9.3	 	
	 •	 Cada	coordenada	x	corresponde	
exactamente	a	un	único	valor	de	
la	coordenada	y.	Por lo tanto, el 
conjunto B es una función.
	 •	 La	coordenada	y	con	valor	de	5	
corresponde	a	dos	coordenadas	
x,	con	valor	de	3	y	22	cada	una.	
Por lo tanto, el conjunto B no es 
una función uno a uno.
Comprendiendo 
el álgebra
Recuerda	de	capítulos	
anteriores	las	definiciones	
siguientes.	Una	relación	
es	un	conjunto	de	pares	
ordenados	de	la	forma	(x, y).	
Al	conjunto	de	coordenadas	
x	se	le	llama	dominio,	y	al	
conjunto	de	coordenadas	
y	se	le	llama	rango	de	la	
relación.	Una	función	es	
una	relación	en	la	que	cada	
elemento	en	el	dominio	
corresponde	a	exactamente	
un	elemento	en	el	rango.
Comprendiendo 
el álgebra
El	criterio de la recta vertical	
establece	que	si	se	traza	una	
recta	vertical	de	modo	que	
interseque	una	gráfica	en	
más	de	un	punto,	entonces	la	
gráfica no es la gráfica de una 
función.
El	criterio de la recta horizontal	
establece	que	si	se	traza	una	
recta	horizontal	de	modo	que	
interseque	la	gráfica	de	una	
función	en	más	de	un	punto,	
la	función	no es una función 
uno a uno.
Una función es una función uno a uno si cada elemento en el rango corresponde a exacta-
mente un elemento en el dominio.
Función uno a uno
Si se traza una recta horizontal de modo que interseque la gráfica de una función en más 
de un punto, la gráfica no es una función uno a uno.
Criterio de la recta horizontal
572	 Capítulo	9	 	 Funciones	exponenciales	y	logarítmicas
Observa la gráfica de la función f (x) 5 x² que se muestra en la Figura 9.4. Primero, 
es una función, ya que su gráfica cumple el criterio de la recta vertical. Sin embargo, no es 
una función uno a uno, ya que no cumple el criterio de la recta horizontal. La Figura 9.5 
muestra que f (x) 5 x² tiene un valor de y al que corresponden dos valores diferentes de x.
La Figura 9.7 muestra varias gráficas, que representan o no funciones uno a uno. 
Observa que la gráfica del inciso ( f ) no representa una función, ya que no cumple el crite-
rio de la recta vertical. Sin embargo, aunque cumple el criterio de la recta horizontal, esta 
gráfica no puede representar una función uno a uno.
x x
y
Función
(x, y)y
FIGURA	 9.4	 	
x
y
y
No es una función
uno a uno
x1 x2
FIGURA	 9.5	 	
x x
y
y
Función
uno a uno
x x
y
y
Función
uno a uno
(a) (b)FIGURA	 9.6	 	
(b) (c) (d)
(e)
(a)
(f)
y
x
y
x
Función uno a uno Función uno a uno
Función uno a uno
No es una función
uno a uno
No es una función
uno a uno
x
x
y
x
yy
No es una función, y no es 
una función uno a uno
x
y
FIGURA	 9.7	 	
A menudo, podemos limitar el dominio de una función que no es una función uno a 
uno, de manera que la función que resulte sea una función uno a uno. Por ejemplo, ambas 
funciones f(x) 5 x², x  0 (Figura 9.6a) y f(x) 5 x², x  0 (Figura 9.6b) son ejemplos de funcio-
nes uno a uno. Observa que ambas gráficas cumplen el criterio de la recta horizontal.
	 Sección	9.1	Funciones	compuestas	e	inversas	 573
	3 	Determinar	las	funciones	inversas
Las funciones uno a uno consisten en pares ordenados en los que a cada valor de x le co-
rresponde un único valor de y, y a cada valor de y le corresponde un único valor de x. Esta 
relación nos permite crear una nueva función llamada función inversa. Solo	las	funciones	
uno	a	uno	tienen	inversas.
Empezaremos con un ejemplo.
 Función f (x): {(1, 4), (2, 0), (3, 7), (22, 1), (21, 25)}
 Función inversa f 21(x): {(4, 1), (0, 2), (7, 3), (1, 22), (25, 21)}
Si graficamos los puntos de la función y los puntos de la función inversa ( F igura 9.8), ve-
mos que éstos son simétricos respecto a la recta y	=	x.
5 764321�4�5�6 �3 �2 �1
y
x
�5
�6
�4
�3
�2
�1
5
7
6
4
3
2
1
(�1, �5)
(�5, �1)
(1, �2)
(2, 0) (4, 1)
(7, 3)
(3, 7)
(1, 4)
(0, 2)
(�2, 1)
y � x
Pares ordenados de la función, f (x)
Pares ordenados de la función inversa, f �1(x)FIGURA	 9.8	 	
Información importante acerca de la función inversa:
 •	 Solo las funciones uno a uno tienen funciones inversas.
 •	 El dominio de	f (x) es el rango de f 21(x).
 •	 El rango de f (x) es el dominio de f 21(x).
 •	 Cuando se grafican la función f (x) y su función inversa, f 21(x), en los mismos ejes, 
las gráficas de f (x) y f 21(x) son simétricas respecto de la recta y	=	x.
Si una función uno a uno se da como una ecuación, su función inversa puede deter-
minarse mediante el procedimiento siguiente.
Comprendiendo 
el álgebra
Es	importante	observar	que	la	
notación	f 21(x)	se	utiliza	para	
representar	la	función	inversa	
de	una	función	f (x)	dada.	En	
la	notación,	el	21	no es	un	
exponente.	Por	lo	tanto,
f -1 1x 2 Z
1
f 1x 2
 1. Reemplaza f (x) con y.
 2. Intercambia las dos variables, x y y.
 3. Despeja y en la ecuación.
 4. Reemplaza y con f 21(x) (esto proporciona la función inversa utilizando la notación 
de función inversa).
Para determinar la función inversa de una función uno a uno
Si f (x) es una función uno a uno con pares ordenados de la forma (x,	y), su función inversa, 
f 21(x) es una función uno a uno con pares ordenados de la forma (y,	x).
Función inversa