Área e Gráficos de Elipses

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Sección	10.2	 	 La	elipse	 647
La fórmula del área de una elipse es A  p ab. En el ejemplo 1, donde a  3 y b  2, 
el área es A  p (3)(2)  6p L 18.8 unidades cuadradas.
En el ejemplo 2, donde a = 3 y b = 120, el área es A  p (3)(120)  p (3)(215) = 
6p 15 L 42.1 unidades cuadradas.
	2 	Graficar	elipses	con	centros	en	(h,	k)
Se pueden usar traslaciones horizontales y vértices similares a las que usamos en el capítu­
lo 8 para obtener la ecuación de una elipse con centro en (h, k).
x
y
k
h � a h � a
k � b
k � b
h
a(h, k)
b
Figura	 10.24
Elipse con centro en (h, k)
1x - h22
a2 +
1y - k22
b2 = 1
En la fórmula, la h desplaza la gráfica a la izquierda o a la derecha del origen, y k desplaza 
la gráfica hacia arriba o hacia abajo del origen, como se muestra en la Figura 10.24.
EJEMPLO  4  Grafica 
1x - 222
25
+
1y + 322
16
= 1.
Solución    Ésta es la gráfica de 
x2
25
+
y2
16
= 1 o 
x2
52
+
y2
42
= 1 trasladada 
de manera que su centro esté en (2, 3). 
Observa que a  5 y b  4. La gráfica se 
muestra en la Figura 10.25.
�5
�8
�7
�6
�4
�3
�2
�1
2
1
5 874321�4 �3 �1
y
x
(2, 1)
(�3, �3) (7, �3)(2, �3)
(2, �7)
Figura	 10.25
Resuelve ahora el ejercicio 33
El entendimiento de las elipses es útil en muchas áreas. Los astrónomos saben que 
los planetas giran alrededor del Sol en órbitas elípticas. Los satélites de comunicaciones se 
mueven alrededor de la Tierra en órbitas elípticas (ver Figura 10.26).
Las elipses se usan en medicina para destruir piedras en los riñones. Cuando emerge 
una señal de uno de los focos de una elipse, la señal se refleja en el otro foco. En las máqui­
nas de piedras en los riñones, la persona se coloca de manera que la piedra que se quiere 
destruir esté en uno de los focos de una cámara con forma elíptica llamada litotriptor (ver 
Figura 10.27 y los ejercicios 55 y 56).
En ciertos edificios con techos elipsoidales, una persona que está parada en uno de 
los focos puede murmurar algo y la persona que está en el otro foco puede oír claramente 
lo que la persona murmuró. Existen muchos otros usos para las elipses, incluyendo lámpa­
ras que están hechas para concentrar la luz en un punto específico.
Figura	 10.26 Figura	 10.27
Comprendiendo 
el álgebra
El	área	de	una	elipse	es
A		p ab.
Figura	 10.28			
CONJUNTO DE EJERCICIOS 10.2 
Ejercicios de práctica
Llena los espacios en blanco con la palabra, frase o símbolo(s) apropiados de la siguiente lista.
mayor intersecciones con el eje y foco dividir restar (0, 0)
multiplicar menor intersecciones con el eje x (k, h) elipse (h, k)
 1. 
x2
a2 +
y2
b2 = 1 es una ecuación de una elipse con centro en 
.
 2. 
1x - h22
a2 +
1y - k22
b2 = 1 es una ecuación de una elipse 
con centro en .
 3. Un conjunto de puntos cuya suma de las distancias desde 
dos puntos fijos es una constante es una .
 4. Una elipse es el conjunto de puntos en un plano cuya distan­
cia desde dos puntos fijos, llamada , es 
una constante.
 5. Para la elipse 
x2
81
+
y2
16
= 1
-intercepts
, los puntos (9, 0) y (9, 0) son 
las .
 6. Para la elipse 
x2
81
+
y2
16
= 1
-intercepts
, los puntos (0, 4) y (0, 4) son
las .
 7. Para la elipse 
x2
49
+
y2
25
= 1, la recta que va de 7 a 7 en el 
eje x es el eje .
 8. Para la elipse 
x2
49
+
y2
25
= 1
minor
, la recta que va de 5 a 5 en el 
eje y es el eje .
 9. El primero paso para graficar la elipse 25x2  50y2  100 es 
 ambos lados entre 100.
 10. El primero paso para graficar la elipse -
x2
4
-
y2
9
= -1 es 
 ambos lados por 1.
648	 Capítulo	10	 	 Secciones	cónicas
Practica tus habilidades
Grafica cada ecuación.
.41.31.21.11
15. .81.71.61
19.
15.15.15.15.15.15.15.15.15.15.15.15.15.
19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19. .22.12.02
.62.52.42.32
.03.92.82.72
1x - 122
16
+
y2
1
= 1
x2
16
+
1y - 222
9
= 1x2 + 36y2 = 36x2 + 2y2 = 8
100x2 + 25y2 = 40025x2 + 100y2 = 4009x2 + 16y2 = 1444x2 + 9y2 = 36
9x2 + 25y2 = 22549x2 + y2 = 49x2 + 25y2 = 25x2 + 16y2 = 16
x2
36
+
y2
64
= 1
x2
16
+
y2
25
= 1
x2
100
+
y2
16
= 1
x2
25
+
y2
9
= 1
x2
9
+
y2
4
= 1
x2
4
+
y2
9
= 1
x2
1
+
y2
4
= 1
x2
4
+
y2
1
= 1
Cómo utilizar tu calculadora graficadora
Las elipses no son funciones. Para graficar elipses en una calculadora graficadora, resolvemos la ecuación para y. Esto nos dará 
las dos ecuaciones que usaremos para grafica la elipse.
En el ejemplo 1, graficamos 
x2
9
+
y2
4
= 1.. Al resolver esta ecuación para y, obtenemos
 
 y = ;
2
3
 29 - x2
 y2 =
419 - x22
9
 y2 =
36 - 4x2
9
 9y2 = 36 - 4x2
 4x2 + 9y2 = 36
 36 # x2
9
+ 36 # y2
4
= 1 # 36
 
x2
9
+
y2
4
= 1
 Multiplica por el MCD.
 
 
 
 Factoriza el 4 en el numerador. 
 Propiedad de la raíz cuadrada.
Para graficar la elipse, hacemos Y1 =
2
3
 29 - x2 y Y2 = -  
2
3
 29 - x2 y graficamos ambas ecuaciones.
Las gráficas de Y1 y Y2 se muestran en la Figura 10.28.
	 Sección	10.2	 	 La	elipse	 649
Resolución de problemas
 41. Determina el área de la elipse del ejercicio 11.
 42. Determina el área de la elipse del ejercicio 15.
 43. Determina el área de la elipse del ejercicio 17.
 44. Determina el área de la elipse del ejercicio 29.
En los ejercicios 45-48, determina la ecuación de la elipse que tiene 
los cuatro puntos como puntos finales de los ejes mayor y menor.
 45. (5, 0), (5, 0), (0, 4), (0, 4)
 46. (6, 0), (6, 0), (0, 5), (0, 5)
 47. (2, 0), (2, 0), (0, 3), (0, 3)
 48. (1, 0), (1, 0), (0, 9), (0, 9)
En los ejercicios 49 y 50, escribe la ecuación en la forma general. 
Determina el centro de cada elipse.
 49. x2  4y2  6x  16y  11  0
 50. x2  4y2  4x  8y  92  0
 51. Galería de arte Una galería de arte tiene un salón elíptico. 
La distancia máxima de uno de sus focos a la pared es de 
90.2 pies y la distancia mínima es de 20.7 pies. Determina la 
distancia entre los focos.
 52. Comunicaciones por satélite Un transbordador espacial 
transportó un satélite de comunicaciones al espacio. El sa­
télite viaja en una órbita elíptica alrededor de la Tierra. La 
distancia máxima del satélite a la Tierra es de 23,200 millas y 
la distancia mínima es de 22,800 millas. La Tierra está en uno 
de los focos de la elipse. Determina la distancia de la Tierra 
al otro foco.
 53. Túnel a través de una montaña El túnel que se muestra en la 
fotografía es la parte media superior de una elipse. El túnel 
tiene 20 pies de ancho y 24 pies de alto.
 a) Si piensas en una elipse completa con centro en el centro 
del camino, determina la ecuación de la elipse.
 b) Determina el área de la elipse que obtuviste en el inciso a).
 c) Determina el área de la abertura del túnel.
 54. Mesa de billar Una mesa de billar elíptica tiene 8 pies de lar­
go por 5 pies de ancho. Determina la ubicación de los focos. 
Si se coloca una bola en cada foco de dicha mesa y se golpea 
una de las bolas con suficiente fuerza, ésta golpeará la bola 
en el otro foco, sin importar en dónde rebote en la mesa.
8 pies
5 pies
 55. Litotriptor Considera que el litotriptor que se describió en 
la página 647 tiene 6 pies de largo y 4 pies de ancho. Descri­
be la ubicación de los focos.
 56. Litotriptor En la página 647 dimos una breve introducción 
acerca del litotriptor, que usa ondas ultrasónicas para des­
hacer piedras en los riñones. Investiga y escribe un reporte 
detallado que describa el procedimiento que se usa para 
deshacer piedras en los riñones. Asegúrate de explicar cómo 
se dirigen las ondas a la piedra. 
 57. Galería de murmullos El National Statuary Hall en el 
edificio del Capitolio en Washington, D.C., es una “galería 
de murmullos”. Investiga y explica por qué una persona que 
esté parada en cierto punto puede murmurar algo y alguien 
que esté parado a una distancia considerable de ella lo pue­
de oír.
 58. Verifica tu respuesta del ejercicio 11 en tu calculadora grafi­
cadora.
 59. Verifica tu respuesta del ejercicio 17 en tu calculadora grafica­
dora.
Ejercicios de conceptos y escritura
 60. Comenta las gráficasde 
x2
a2 +
y2
b2 = 1 cuando a  b, a  b y 
a  b.
 61. Explica por qué la circunferencia es un caso especial de la elipse.
 62. ¿Es 
x2
36
-
y2
49
= 1 la ecuación de una elipse? Explica tu res­
puesta.
 63. ¿Es -  
x2
49
+
y2
81
= 1 la ecuación de una elipse? Explica tu res­
puesta.
 64. ¿Cuántos puntos existen en la gráfica de 16x2 + 25y2 = 0? 
Explica tu respuesta.
 65. Considera la gráfica de la ecuación 
x2
a2 +
y2
b2 = 1.. Explica qué 
pasará con la forma de la gráfica conforme el valor de b se 
acerca al valor de a. ¿Cuál es la forma de la gráfica cuando 
a  b?
 66. ¿Cuántos puntos de intersección tienen las gráficas de las ecua­
ciones x2  y2  49 y 
x2
16
+
y2
25
= 1? Explica tu respuesta.
 67. ¿Cuántos puntos de intersección tienen las gráficas de las 
ecuaciones y  2(x  2)2  3 y 
1x - 222
4
+
1y + 322
9
= 1? 
Explica tu respuesta.
©
 A
lle
n 
R.
 A
ng
el
 
.23.13 33. 34.
.73.63.53
.04.93.83 251x - 222 + 91y - 122 = 225121x + 422 + 31y - 122 = 4841x - 222 + 91y + 222 = 36
1x - 522 + 41y + 422 = 4181x - 122 + 21y + 322 = 721x + 322 + 91y + 122 = 81
1x - 322
16
+
1y - 422
25
= 1
1x + 122
9
+
1y - 222
4
= 1
1x - 322
25
+
1y + 222
49
= 1
1x + 322
9
+
y2
25
= 1
square units square units47.1 square units6.3 square units
Problemas de desafío
Determina la ecuación de la elipse que tiene los siguientes cuatro puntos como puntos finales de los ejes mayor y menor.
 68. (7, 3), (5, 3), (1, 5), (1, 1) 69. (3, 2), (11, 2), (4, 5), (4, 1)
Actividad de grupo
Trabaja en el ejercicio 70 de manera individual. Después compara tus respuestas.
 70. Túnel La fotografía muestra un túnel elíptico (donde no se 
muestra la parte inferior de la elipse) cerca del Rockefeller 
Center en la ciudad de Nueva York. El túnel tiene un ancho 
máximo de 18 pies y la altura mínima desde el suelo hasta la 
parte superior es de 10.5 pies.
 a) Si la elipse completa tuviera una altura máxima de 15 
pies, ¿a qué altura del suelo estaría el centro del túnel 
elíptico?
 b) Considera la siguiente gráfica, que se puede usar para 
representar el túnel.
4
2
10
12
8
6
4
2
10 12864281012 6 4 2 x
y
Si se continuara la elipse, ¿cuál sería la otra intersección 
con el eje y de la gráfica?
 c) Escribe la ecuación de la elipse del inciso b), si se completa.
650	 Capítulo	10	 	 Secciones	cónicas
Ejercicios de repaso acumulados
[2.2] 71. Resuelve la fórmula S =
n
2
 1f + l2 para l.
[5.4] 72. Divide 
2x2 + 2x - 7
2x - 3
.
[7.6] 73. Resuelve 13b - 2 = 10 - b.
[8.6] 74. Resuelve 
3x + 5
x - 4
… 0, y da la solución en notación de 
intervalos. 
[9.7] 75. Determina log8 321.
Grafica cada ecuación.
 11. x2  (y  1)2  16
 12. y = 236 - x2
 13. x2  y2  2x  4y  4  0
 14. ¿Cuál es la definición de una circunferencia?
Grafica cada ecuación.
 15. 
x2
4
+
y2
9
= 1
 16. 
x2
81
+
y2
25
= 1
 17. 
1x - 122
49
+
1y + 222
4
= 1
 18. 36(x  3)2  (y  4)2  36
 19. Determina el área de la elipse del ejercicio 15.
 20. Determina la ecuación de la elipse que tiene los cuatro 
puntos (8, 0), (8, 0), (0, 5) y (0, 5) como puntos finales 
de los ejes mayor y menor.
Grafica cada ecuación.
 1. y  (x  2)2  1
 2. y  (x  1)2 + 3
 3. x  (y  4)2  1
 4. x  2(y  3)2  2
 5. y  x2  6x  10
Determina la distancia entre cada par de puntos. Donde sea 
apropiado, redondea tus respuestas a la centésima más cercana.
 6. (7, 4) y (2, 8)
 7. (5, 3) y (2, 9)
Determina el punto medio del segmento de recta entre cada par 
de puntos.
 8. (9, 1) y (11, 6)
 9. a8, 
1
2
ba -  
5
2
, 7b y 
 10. Escribe la ecuación de la circunferencia con centro en (3, 
2) y radio de 5 unidades.
©
 A
lle
n 
R.
 A
ng
el
Prueba de mitad de capítulo: 10.1-10.2
Para determinar qué tan bien entiendes el tema del capítulo hasta este punto, resuelve esta breve prueba. Las respuestas, y la sección en 
que se estudió inicialmente el tema, se dan al final del libro. Repasa cualquier pregunta que hayas respondido incorrectamente.