Gráficos de Hipérbolas

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Sección	10.3	 	 La	hipérbola	 651
10.3 La hipérbola
	 1 	 Graficar	hipérbolas.
	 2 	 Repasar	secciones	cónicas.
	1 	Graficar	hipérbolas
La hipérbola
Una hipérbola es el conjunto de puntos en el plano, cuya diferencia de las distancias de 
dos puntos fijos, llamados focos, es una constante.
En la Figura 10.29a se muestra una hipérbola. En la figura, para cada punto de la hipérbo­
la, la diferencia M  N es la misma constante. Una hipérbola se puede ver como un par de 
parábolas. Sin embargo, las formas son en realidad muy diferentes. Una hipérbola tiene 
dos vértices. Los vértices son los puntos donde la gráfica cruza el eje x (Figura 10.29b) o 
el eje y (Figura 10.29c). El punto que está a la mitad de los dos vértices es el centro de la 
hipérbola. La recta que pasa por los vértices se llama eje transversal. En la Figura 10.29b el 
eje transversal está sobre el eje x, y en la Figura 10.29c, el eje transversal está sobre el eje y.
La Figura 10.30 muestra las gráficas de la forma general de las ecuaciones para am­
bas hipérbolas. En la Figura 10.30a, ambos vértices están a a unidades del origen. En la 
Figura 10.30b, ambos vértices están a b unidades del origen. Observa que en la forma 
general de la ecuación, el denominador del término en x2 siempre es a2 y el denominador 
del término en y2 siempre es b2. 
Vértices
Centro
)c()b(
Vértices
Centrox
y
Foco Foco
(a)
x
y
x
y
M
N
Eje
transversal
Eje transversal
Figura	 10.29
x2
a2
y2
b2 1
y2
b2
x2
a2 1
Hipérbola
x
a a
b
b
x
y
Hipérbola
y
x
y
con eje transversal
sobre el eje 
con eje transversal
sobre el eje 
Figura	 10.30
•	 Hipérbola	con	centro	en	el	origen.
•	 Vértices	( 	a,	0)	y	(a,	0).
•	 El	eje	transversal	está	sobre	el	eje	x.
•	 Hipérbola	con	centro	en	el	origen.
•	 Vértices	(0,	 b)	y	(0,	b).
•	 El	eje	transversal	está	sobre	el	eje	y.
652	 Capítulo	10	 	 Secciones	cónicas
Cuando la ecuación está escrita en la forma general, las intersecciones estarán en el 
eje que se indica por la variable con el coeficiente positivo. Las intersecciones estarán en 
la raíz cuadrada positiva y negativa del denominador del término positivo.
Ejemplos intersecciones	con intersecciones
x2
49
-
y2
16
= 1
eje x (7, 0) y (7, 0)
y2
16
-
x2
49
= 1
eje y (0, 4) y (0, 4)
Las líneas punteadas en la Figura 10.30 se llaman asíntotas. Las asíntotas no forman 
parte de la hipérbola pero se usan como ayuda para graficar las hipérbolas. Las asíntotas 
son dos rectas que pasan por el centro de la hipérbola (ver Figura 10.30). Conforme crecen 
los valores de x y de y, la gráfica de la hipérbola se acerca a las asíntotas. Las ecuaciones 
de las asíntotas de una hipérbola cuyo centro es el origen son
y =
b
a
 x y = - 
b
a
xy
Las asíntotas se pueden trazar rápidamente si graficas los cuatro puntos (a, b), 
(a, b), (a, b) y (a, b) y después conectas estos puntos con líneas punteadas para 
formar un rectángulo. Después traza líneas punteadas a través de las esquinas opuestas del 
rectángulo para obtener las asíntotas.
652	 Capítulo	10	 	 Secciones	cónicas
Hipérbola con centro en el origen
aSÍNTOTaS
y =
b
a
 x y = - 
b
a
 xy
EJE	TraNSVErSaL	SOBrE	EL	EJE	X	(SE	aBrE
HaCia	La	DErECHa	Y	HaCia	La	iZQuiErDa)
x2
a2 -
y2
b2 = 1
EJE	TraNSVErSaL	SOBrE	EL	EJE	Y	(SE	aBrE
HaCia	arriBa	Y	HaCia	aBaJO)
y2
b2 -
x2
a2 = 1
EJEMPLO  1 
 a) Determina las ecuaciones de las asíntotas de la hipérbola con ecuación
x2
9
-
y2
16
= 1
 b) Traza la hipérbola usando las asíntotas.
Solución   
 a) El valor de a2 es 9; la raíz cuadrada positiva de 9 es 3. El valor de b2 es 16; la raíz 
cuadrada positiva de 16 es 4. Las asíntotas son
 y =
b
a
 x y = - 
b
a
 xy
o
 y =
4
3
 x y = - 
4
3
 xy
Comprendiendo 
el álgebra
Las	asíntotas	no	forman	parte	
de	la	gráfica,	pero	se	usan	
para	mostrar	los	valores	a	los	
que	se	acerca	la	gráfica,	pero	
no	la	tocan.
	 Sección	10.3	 	 La	hipérbola	 653
 b) Para graficar la hipérbola, primero graficamos las asíntotas. Primero traza los 
puntos (3, 4), (3, 4), (3, 4) y (3, 4) y dibuja el rectángulo como se muestra 
en la Figura 10.31. Las asíntotas son las líneas punteadas que pasan a través de 
las esquinas opuestas del rectángulo.
Como el término en x de la ecuación original es positivo, la gráfica intersecta 
el eje x. Como el denominador del término positivo es 9, los vértices están en 
(3, 0) y (3, 0). Ahora traza la hipérbola dejando que se aproxime a sus asíntotas 
(Figura 10.32). Las asíntotas se trazan usando líneas punteadas porque no son 
parte de la hipérbola. Se usan simplemente como ayuda para trazar la gráfica.
5
6
3
2
1
5
6
3
3
2
1
5 64214
4
56 2 1
y
x
a
b
( 3, 4)
( 3, 4) (3, 4)
(3, 4)
y x
y x3
4
Figura	 10.31
5
6
3
2
1
5
6
3
2
1
5 6421456 2 1
y
x
x2
9
y2
16
 1
Figura	 10.32
Resuelve ahora el ejercicio 21
EJEMPLO  2 
 a) Demuestra que la ecuación 25x2  4y2  100 es una hipérbola, expresando la 
ecuación en la forma general.
 b) Determina las ecuaciones de las asíntotas de la gráfica.
 c) Traza la gráfica.
Solución   
 a) Dividimos ambos lados de la ecuación entre 100 para obtener un 1 en el lado 
derecho de la ecuación.
 
-x2
4
+
y2
25
= 1
 
-25x2
100
+
4y2
100
= 1
 
-25x2 + 4y2
100
=
100
100
Si reescribimos la ecuación en la forma general (primero el término positivo), 
obtenemos
y2
25
-
x2
4
= 1
 b) Como a = 2 y b = 5, las ecuaciones de las asíntotas son
y =
5
2
 x 
 
y
 
y = - 
5
2
 x
654	 Capítulo	10	 	 Secciones	cónicas
�8
�7
�6
�4
�3
�2
8
7
6
4
3
2
5 6431�4�5�6 �3 �1
y
x
�8
�7
�6
�4
�3
�2
8
7
6
4
3
2
5 6431�4�5�6 �3 �1
y
x
(2, �5)
(�2, 5) (2, 5)
5
2y � x
y � � x
y2
25
x2
4
� � 1
�25x2 � 4y2 � 100
o
a
b
(�2, �5)
(a) (b)
5
2
Figura	 10.33
Resuelve ahora el ejercicio 29
Hemos estudiado hipérbolas con centros en el origen. Las hipérbolas no necesaria­
mente deben tener su centro en el origen. En este libro no estudiaremos tales hipérbolas.
Cómo utilizar tu calculadora graficadora
Para graficar hipérbolas en una calculadora graficadora, resuelve la ecuación para y y grafica cada parte. Considera el ejemplo 1,
x2
9
-
y2
16
= 1.
Demuestra que si resuelves esta ecuación para y obtienes y = ;
4
3
 2x2 - 9. Sea Y1 =
4
3
 2x2 - 9 y Y2 = -  
4
3
 2x2 - 9. Las
Figuras 10.34a, 10.34b, 10.34c y 10.34d que se muestran a continuación, dan las gráficas de Y1 y Y2 para diferentes configuraciones 
de la ventana. Las configuraciones de la ventana que se usan se indican en la parte superior de cada gráfica.
 c) La gráfica intersecta con el eje y en (0, 5) y (0, 5). La Figura 10.33a muestra las 
asíntotas, y la Figura 10.33b muestra la hipérbola.
En el inciso (d), la “configuración ventana amigable”, la razón de la longitud del eje x (28.2 unidades) a la longitud del eje y 
(18.6 unidades) es aproximadamente 1.516. Ésta es la misma razón que la longitud del ancho de la ventana de visualización de la 
calculadora TI­84 Plus.
�10, 10, 1, �10, 10, 1 ��15.2, �15.2, 1, �10, 10, 1 �4.7, 4.7, 1, �3.1, 3.1, 1 �14.1, 14.1, 1, �9.3, 9.3, 1
Configuración
estándar
ZOOM: opción 5
Configuración ZSquare
ZOOM: opción 4
Configuración ZDecimal
Establece una ventana como
se muestra en la siguiente
figura (llamada “configuración
ventana amigable”).
(a) (b) (c) (d)Figura	 10.34 
	 Sección	10.3	 	 La	hipérbola	 655
	2 	Repasar	secciones	cónicas
La siguiente tabla resume las secciones cónicas.
EJEMPLO  3  Indica si cada ecuación representa una parábola, una circunferen­
cia, una elipse o una hipérbola.
 a) 6x2  6y2  48 b) x  y2  9y  3 c) 2x2  8y2  72
Solución   
 a) Esta ecuación tiene un término cuadrado en x y un término cuadrado en y. Co­
loquemos todos los términos cuadrados en el lado izquierdo de la ecuación.
 6x2  6y2  48
 6x2  6y2  48 Suma 6y2 en ambos lados.
Como los coeficientes de ambos términos cuadrados son el mismo número, divi­
dimos ambos lados de la ecuación entre este número. Divide ambos lados entre 6.
 x2+ y2 = 8
 
6x2 + 6y2
6
=
48
6
Esta ecuación es de la forma x2  y2  r2 donde r2  8.
 
Parábola Circunferencia Elipse Hipérbola
y  a(x  h)2  k
o y  ax2  bx  c 
a � 0
(h, k)
x
y
a � 0
(h, k)
x
y
x  a(y  k)2  h
o x  ay2  by  c
a � 0
(h, k)
x
y
a � 0
(h, k)
x
y
x2  y2  r2
x
y
r
(x  h)2  (y  k)2  r2
x
y
rk
h
(h, k)
x2
a2 +
y2
b2 = 1
y
x�a
�b
b
a
1x - h22
a2 +
1y - k22
b2 = 1
x
y
k
h � a h � a
k � b
k � b
h
a(h, k)
b
x2
a2 -
y2
b2 = 1
y
x
y2
b2 -
x2
a2 = 1
y
x
Asíntotas
y =
b
a
 x and y y = -  
b
a
 x
656	 Capítulo	10	 	 Secciones	cónicas
La ecuación 6x2  6y2  48 representa una circunferencia.
 b) Esta ecuación tiene un término cuadrado en y pero no tiene término cuadrado en 
x. Resolvamos la ecuación para x.
 x  y2  9y  3
 x  y2  9y  3 Suma y2 en ambos lados.
Esta ecuación es de la forma x  ay2  by  c donde a  1, b  9 y c  3.
La ecuación x  y2  9y  3 representa una parábola que se abre hacia la 
derecha.
 c) Esta ecuación tiene un término cuadrado en x y un término cuadrado en y. Co­
loquemos todos los términos cuadrados en el lado izquierdo de la ecuación.
 2x2  8y2  72
 2x2  8y2  72 Resta 8y2 de ambos lados.
Como los coeficientes de ambos términos cuadrados son números diferentes, 
queremos dividir la ecuación entre la constante del lado derecho. Divide ambos 
lados entre 72. 
 
x2
36
-
y2
9
= 1
 
2x2
72
-
8y2
72
= 1
 
2x2 - 8y2
72
=
72
72
Esta ecuación es de la forma 
x2
a2
-
y2
b2
= 1 donde a2  36 (o a  6) y b2  9 
(o b  3). 
La ecuación 2x2  8y2  72 representa una hipérbola.
Resuelve ahora el ejercicio 53.
CONJUNTO DE EJERCICIOS 10.3 
Ejercicios de práctica
Llena los espacios en blanco con la palabra, frase o símbolo(s) apropiados de la siguiente lista.
dividir asíntotas x y focos transversal
horizontal centro vertical vértices hipérbola multiplicar
 1. Un conjunto de puntos cuya diferencia de las distancias des­
de dos puntos fijos es una constante es una .
 2. Los puntos fijos de una hipérbola se llaman .
 3. Para la hipérbola 
x2
36
-
y2
100
= 1, el está 
en (0, 0).
 4. Para la hipérbola 
x2
9
-
y2
36
= 1, los son
 los puntos (3, 0) y (3, 0).
 5. La recta que pasa por los vértices de una hipérbola es el 
 eje .
 6. Para la hipérbola 
x2
81
-
y2
4
= 1, los vértices están en el eje 
.
 7. Para la hipérbola 
y2
49
-
x2
121
= 1, los vértices están en el eje
 .
 8. Para la hipérbola 
x2
4
-
y2
25
= 1, las rectas , the lines and y =
5
2
 x y
 y = - 
5
2
 x son las .
 9. El primer paso para graficar la hipérbola 25x2  9y2 = 225 es
 ambos lados entre 25.
 10. El primer paso para graficar la hipérbola - 
x2
2
+
y2
50
= - 
1
2
 es ambos lados por 2.
a) a) a) a)
a) a) a) a)
a) a) a) a)
a) a) a) a)
a) a)
a) a)
a) a)
a) a) ,
a) ; a) ,
circle hyperbola ellipse
parabola hyperbola circle
hyperbola ellipse
circle parabola hyperbola
circle circle hyperbola
ellipse parabola circle
hyperbola hyperbola parabola
ellipse circle parabolax - y2 = 49-3x2 - 3y2 = -2717x2 = -2y2 + 34
y - x + 12 = x2-8x2 = -9y2 - 7213x2 = 7y2 + 91
4x2 = -4y2 + 400x + y = 2y2 + 69x2 = -18y2 + 36
14y2 = 7x2 + 3511x2 = -11y2 + 776x2 + 6y2 = 36
12x2 - 3y2 = 483x = -2y2 + 9y - 309.2x2 + 9.2y2 = 46
5x2 + 12y2 = 603y2 - 9x2 = 542y = 12x2 - 8x + 16
1.2x2 + 1.2y2 = 244x2 - 4y2 = 29x = 5y2 + 15y + 1
x2 + 16y2 = 6430x2 - 6y2 = 18010x2 + 10y2 = 40
y = ;
5
4
x
x2
16
-
y2
25
= 125x2 - 16y2 = 400y = ;3x
y2
36
-
x2
4
= 14y2 - 36x2 = 144
y = ;
5
2
x
y2
25
-
x2
4
= 14y2 - 25x2 = 100
x2
9
-
y2
25
= 1; y = ;
5
3
 x25x2 - 9y2 = 225
x2
9
-
y2
1
= 1; y = ;
1
3
 xx2 - 9y2 = 9
y2
1
-
x2
9
= 1; y = ;
1
3
 x9y2 - x2 = 9
x2
4
-
y2
16
= 1; y = ;2x16x2 - 4y2 = 64
y2
16
-
x2
4
= 1; y = ;2x4y2 - 16x2 = 64
x2
25
-
y2
1
= 1; y = ;
1
5
 xx2 - 25y2 = 25
y2
1
-
x2
25
= 1; y = ;
1
5
 x25y2 - x2 = 25
y2
16
-
x2
81
= 1y = ;
x2
81
-
y2
16
= 1y = ;
x2
4
-
y2
25
= 1y = ;
5
2
 x
y2
25
-
x2
4
= 1
x2
16
-
y2
9
= 1y = ;
y2
4
-
x2
36
= 1y = ;
x2
36
-
y2
25
= 1y = ;
5
6
 x
y2
25
-
x2
36
= 1
y2
16
-
x2
25
= 1y = ;
x2
25
-
y2
16
= 1y = ;x
x2
4
-
y2
4
= 1y = ;2x
x2
4
-
y2
16
= 1
y2
1
-
x2
4
= 1y = ;
x2
4
-
y2
1
= 1y = ;
2
3
y2
4
-
x2
9
= 1y = ;
2
3
 x
x2
9
-
y2
4
= 1
	 Sección	10.3	 	 La	hipérbola	 657
Practica tus habilidades
a) Determina las ecuaciones de las asíntotas para cada ecuación. b) Grafica la ecuación.
 11. 12. 13. 14. 
 15. 16. 17. 18. 
 19. 20. 21. 22. 
 23. 24. 25. 26. 
En los ejercicios 27-36, a) escribe cada ecuación en la forma estándar y determina las ecuaciones de las asíntotas. b) Traza la gráfica.
 27. 28. 
 29. 30. 
 31. 32. 
 33. 34. 
 35. 36. 
En los ejercicios 37-60, indica si la ecuación representa una parábola, una circunferencia, una elipse o una hipérbola. Ver ejemplo 3.
 37. 38. 39. 
 40. 41. 42. 
 43. 44. 45. 
 46. 47. 48. 
 49. 50. 51. 
 52. 53. 54. 
 55. 56. 57. 
 58. 59. 60. 
Resolución de problemas
 61. Determina una ecuación de la hipérbola cuyos vértices son
 (0, 2) y (0, 2) y cuyas asíntotas son (0, 2) and and whose asymptotes are andy =
1
2
 x y y = - 
1
2
 x.
 62. Determina una ecuación de la hipérbola cuyos vértices son
 (0, 6) y (0, 6) y cuyas asíntotas son (0, 6) and and whose asymptotes are andy =
3
2
 x y y = - 
3
2
 x.
 63. Determina una ecuación de la hipérbola cuyos vértices son 
(3, 0) y (3, 0) y cuyas asíntotas son y  2x y y  2x.
 64. Determina una ecuación de la hipérbola cuyos vértices son
 (7, 0) y (7, 0) y cuyas asíntotas son (7, 0) and and whose asymptotes are andy =
4
7
 x y y = - 
4
7
 x.
 65. Determina una ecuación de la hipérbola cuyo eje transver­
sal está sobre el eje x y cuyas ecuaciones de las asíntotas son
 are and Is this the only possible answer?y =
5
3
 x y are and Is this the only possible answer?y = - 
5
3
 x. ¿Es ésta la única respuesta posible?
 Explica tu respuesta.
 66. Determina una ecuación de la hipérbola cuyo eje transver­
sal está sobre el eje y y cuyas ecuaciones de las asíntotas son
 are and Is this the only possible answer?y =
2
3
 x y are and Is this the only possible answer?y = - 
2
3
 x. ¿Es ésta la única respuesta posible?
 Explica tu respuesta.
 67. Considera la gráfica de 
x2
25
-
y2
4
= 1, y determina el domi­
 nio y el rango de la relación.
 68. Considera la gráfica de 
y2
36
-
x2
9
= 1, y determina el domi­
 nio y el rango de la relación.
 69. Verifica tus respuestas del ejercicio 15 en tu calculadora gra­
ficadora.
 70. Verifica tus respuestas del ejercicio 21 en tu calculadora gra­
ficadora.
658	 Capítulo	10	 	 Secciones	cónicas
Ejercicios de conceptos y escritura
 75. Analiza la gráfica de 
x2
a2 -
y2
b2 = 1 para números reales a y
 b diferentes de cero. Incluye el eje transversal, los vértices y 
las asíntotas.
 76. Analiza la gráfica de 
y2
b2 -
x2
a2 = 1 para números reales a y
 b diferentes de cero. Incluye el eje transversal, los vértices y 
las asíntotas.
 77. ¿Es 
x2
81
+
y2
64
= 1 una ecuación de una hipérbola? Explica
 tu respuesta.
 78. ¿Es - 
x2
81
-
y2
64
= 1 una ecuación de una hipérbola? Explica
 tu respuesta.
 79. ¿Es 4x2 25y = 100 una ecuación de una hipérbola? Explica 
tu respuesta.
 80. ¿Es 36x2 – 9y2 = 324 una ecuación de una hipérbola? Expli­
ca tu respuesta.
Ejercicios de repaso acumulados
[3.4] 81. Escribe la ecuación, en forma pendiente­ordenada,
 de la recta que pasa por los puntos (–6, 4) y (–2, 2).
[3.6] 82. Sea f (x) = 3x2 – x + 5 y g(x) = 6 – 4x2. Determina 
 (f + g)(x).
[4.4] 83. Resuelve el sistema de ecuaciones.
– 4x + 9y = 7
 5x + 6y = –3
[6.2] 84. Suma 
3x
2x - 3
+
2x + 4
2x2 + x - 6
.
[8.3] 85. Resuelve la fórmula Solve the formula for E =
1
2
 mv2 para v.
[9.6] 86. Resuelve la ecuación log(x + 4) = log 5 – log x.
 71. ¿Las hipérbolas de la formax2
a2 -
y2
b2 = 1 son funciones? 
Explica tu respuesta.
 72. ¿Las hipérbolas de la forma 
y2
b2 -
x2
a2 = 1 son funciones? 
Explica tu respuesta.
 73. Si se grafica la ecuación 
x2
a2 -
y2
b2 = 1, donde a > b, y 
 después se intercambian los valores de a y b y se grafica la
 nueva ecuación, ¿cómo se comparan las dos gráficas? Expli­
ca tu respuesta.
 74. Si se grafica la ecuación 
plain your answer.
x2
a2 -
y2
b2 = 1, donde a > b, y 
 después se cambian los signos de cada término en el lado 
izquierdo de la ecuación, y se grafica la nueva ecuación, 
¿cómo se comparan las dos gráficas? Explica tu respuesta.
10.4 Sistemas de ecuaciones no lineales 
y sus aplicaciones
	1 	 Resolver	sistemas	de	
ecuaciones	no	lineales	por	
sustitución.
	2 	 Resolver	sistemas	de	
ecuaciones	no	lineales	
usando	la	suma.
	3 	 Resolver	aplicaciones.
	1 	Resolver	sistemas	de	ecuaciones	no	lineales	por	sustitución
En el capítulo 4, analizamos sistemas de ecuaciones lineales. Ahora analizaremos sistemas 
de ecuaciones no lineales.
Sistema de ecuaciones no lineales
Un sistema de ecuaciones no lineales es un sistema de ecuaciones en el que al menos una 
ecuación es no lineal (es decir, una cuya gráfica no es una recta).
x2 + y2 = 25 3x + 4y = 0
(– 4)2 + 32 =? 25 3(– 4) + 4(3) =? 0
16 + 9 =? 25 –12 + 12 =? 0
25 = 25 Verdadera 0 = 0 Verdadera
La solución de un sistema de ecuaciones es el punto o puntos que satisfacen todas las ecua­
ciones en el sistema. Considera el sistema de ecuaciones
x2 + y2 = 25
 3x + 4y = 0
En la Figura 10.35 se grafican ambas ecuaciones en el mismo par de ejes. Observa que pa­
rece que las gráficas se intersectan en los puntos (– 4, 3) y (4, –3). La verificación muestra 
que estos puntos satisfacen ambas ecuaciones en el sistema y, por lo tanto, son soluciones 
del sistema.
Verifica (– 4, 3)
y
x
�4
�3
�2
�1
4
3
2
1
431 2�3�4 �2�1
(�4, 3)
(4, �3)
x2 � y2 � 25
3x � 4y � 0
Figura	 10.35