Gráficas e Funções Matemáticas

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135
3 Gráficas y 
 funciones
	3.1 Gráficas
	3.2		 Funciones
	3.3		 Funciones	lineales:	gráficas	
y	aplicaciones
	3.4		 La	forma	pendiente-intersección	
de	una	ecuación	lineal
Prueba	de	mitad	de	capítulo:	
s	ecciones	3.1-3.4
	3.5		 La	forma	punto-pendiente	de	una	
ecuación	lineal
	3.6		 Álgebra	de	funciones
	3.7		 Graficar	desigualdades	lineales
Resumen	del	capítulo	3
Ejercicios	de	repaso	del	capítulo	3
Prueba	de	práctica	del	capítulo	3
Prueba	de	repaso	acumulada
Objetivos de este capítulo
Los	dos	principales	objetivos	de	este	capítulo	son	proporcionarte	un	
buen	entendimiento	de	gráficas	y	funciones.	Graficar	es	un	elemento	
clave	para	éste	y	muchos	cursos	de	matemáticas.	Las	funciones	están	
estrechamente	relacionadas	con	gráficas	y	son	un	concepto	unifica-
dor	en	las	matemáticas.	Usaremos	ambas,	gráficas	y	funciones,	en	el	
resto	de	este	libro.
Todos los días vemos gráficas 
en	los	periódicos,	las	revistas	y	en	Inter-
net.	Verás	muchas	de	estas	gráficas	en	
este	capítulo.	Por	ejemplo,	en	el	ejercicio	
74	de	la	página	161,	se	usa	una	gráfica	
para	mostrar	precios	de	gasolina	ajusta-
dos	a	la	inflación. ©
 G
lo
wi
m
ag
es
136	 Capítulo	3	 	 Gráficas	y		funciones
3.1 Gráficas
	 1 	 Trazado	de	puntos	en	el	
sistema	de	coordenadas	
cartesianas.
	2 	 Dibujo	de	gráficas	por	
trazado	de	puntos.
	3 	 Gráfica	de	ecuaciones	no	
lineales.
	 4 	 Interpretación	de	gráficas.
	1 	Trazado	de	puntos	en	el	sistema	de	coordenadas	
	cartesianas
Es más sencillo entender muchas relaciones algebraicas si podemos ver una representa-
ción visual de ellas. Una gráfica es una representación visual que muestra la relación entre 
dos o más variables en una ecuación. 
El sistema de coordenadas cartesianas (o rectangulares), que debe su nombre al ma-
temático y filósofo francés René Descartes (1596-1650), consiste en dos ejes (o líneas de 
números) en un plano colocadas en forma perpendicular entre sí (Figura 3.1). Observa 
cómo los dos ejes forman cuatro cuadrantes, marcados con números romanos I, II, III y IV.
Para localizar un punto en el sistema de coordenadas cartesianas, usaremos un par 
ordenado de la forma (x, y). El primer número, x, se llama coordenada x y el segundo nú-
mero, y, se llama coordenada y.
Para trazar el punto (3, 5), empieza en el origen,
(3, 5)
La coordenada x es 3, 
lo que significa “muévete 
3 unidades hacia la derecha”.
La coordenada y es 5, 
lo que significa “muévete 
5 unidades hacia arriba”.
Los pares ordenados A en (2, 3), B en (0, 2), C en (4, 1) y D en (4, 0) se trazan 
en la Figura 3.3.
�5
�4
�3
�2
�1
5
4
3
2
1
54321�4�5 �3 �2 �1
y
x
A
D
B
C
FiGura	 3.3	 	
y
x
�4
�5
�3
�2
�1
5
4
3
2
1
541 2 3�3�4�5 �2�1
(3, 5)
5 unidades 
hacia 
arriba
3 unidades 
hacia la 
derecha
FiGura	 3.2	 	
y
x
�4
�5
�3
�2
�1
5
4
3
2
1
5431 2�3�4�5 �2�1
Cuadrante
I
Cuadrante
II
Cuadrante
III
Cuadrante
IV
El eje vertical
se llama eje y.
El eje horizontal
se llama eje x.
El punto de intersección de
los ejes se llama origen.
FiGura	 3.1	 	
René	Descartes
©
 W
iki
pe
di
a, 
Th
e 
Fr
ee
 E
nc
yc
lo
pe
di
a
	 Sección	3.1	Gráficas	 137
a1
2
, -2b
-2 = -2
-2 1 - 3
-2 2a1
2
b - 3
y = 2x - 3
-1 = -1
-1 2 - 3
-1 2112 - 3
y = 2x - 3
-5 -5
-5 -2 - 3
-5 21-12 - 3
y = 2x - 3
 6 = 5
 6 8 - 3
6 2142 - 3
y = 2x - 3
, a 1
2
, -2b ,
EJEMPLO  1  Traza los siguientes puntos en el mismo sistema de ejes.
 a) A(1, 4) b) B(4, 1) c) C(0, 2)
 d) D(3, 0) e) E(3, 1) f) F(2, 4)
Solución   
Resuelve ahora el ejercicio 7
Comprendiendo 
el álgebra
En	la	Figura 3.4 observa	lo	
siguiente:
	 •	 (1,	4)	es	un	punto	dife-
rente	de	(4,	1)
	 •	 Cuando	la	coordenada	x	
es	0	(punto	C),	el	punto	
está	sobre	el	eje	y.
	 •	 Cuando	la	coordenada	y	
es	0	(punto	D),	el	punto	
está	sobre	el	eje	x.
�5
�4
�3
�2
�1
5
4
3
2
1
54321�4�5 �3 �2 �1
y
x
E(�3, �1)
D(�3, 0)
B(4, 1)
C(0, 2)
F(2, �4)
A(1, 4)
FiGura	 3.4	 	
	 	 Dibujo	de	gráficas	por	trazado	de	puntos
En el capítulo 2 resolvimos ecuaciones que contienen una variable. Ahora discutiremos 
ecuaciones que contienen dos variables. Si una ecuación contiene dos variables, sus solu-
ciones son pares ordenados de números.
EJEMPLO  2  Determina si los siguientes pares ordenados son soluciones de la 
ecuación y = 2x  3.
 a) (1, 1) b) 
 c) (4, 6) d) (1, 5)
Solución  Sustituimos el primer número en el par ordenado por x y el segundo 
número por y. Si el resultado es una proposición verdadera, el par ordenado es solu-
ción de la ecuación.
 a) 
 
 
 Verdadero 
 b) 
 
 
 Verdadero 
 c) 
 
 
 Falso 
 d) 
 
 
 Verdadero 
Por lo tanto, los pares ordenados (1,1) y (1,5) son soluciones de la 
ecuación y = 2x 3. El par ordenado (4, 6) no es solución.
Resuelve ahora el ejercicio 17
Existe un número infinito de soluciones para la ecuación del ejemplo 2. Un método 
para encontrar soluciones para y = 2x  3 es sustituir valores en x y encontrar los valores 
2
138	 Capítulo	3	 	 Gráficas	y		funciones
correspondientes de y. Por ejemplo, para encontrar la solución cuando x = 0, sustituye x 
por 0 y resuelve para y.
y  2x  3
y  2(0)  3
y  0  3
y  3 
Por lo tanto, otra solución a la ecuación es (0, 3).
Gráfica de una ecuación
La gráfica de una ecuación es una ilustración del conjunto de puntos cuyos pares ordena-
dos son soluciones de la ecuación.
La siguiente tabla muestra los cuatro pares ordenados que encontramos como solu-
ción de y = 2x 3.
x	 y	 (x, y)	
1 5 (1, 5) 
0 3 (0, 3)­
 2 ­
1 1 (1, 1)
Cuando trazamos estos puntos vemos que todos están en la misma línea; entonces se 
dice que los puntos son colineales (ver Figura 3.5a). La gráfica de la ecuación es una línea 
recta que pasa por estos puntos (ver Figura 3.5b). La línea recta continúa indefinidamente 
en las dos direcciones como indican las flechas.
Comprendiendo 
el álgebra
La	ecuación	y	=	2x		3	
tiene	un	número	infinito	de	
soluciones.	Cada	solución	se	
representa	por	un	punto	en	la	
recta	en	la	Figura 3.5b.	Ade-
más,	cada	punto	en	la	recta	
representa	una	solución	de	la	
ecuación	y	=	2x	 3.
�5
�3
�2
�1
5
4
3
2
1
54321�4�5 �3 �2 �1
y
x
y � 2x � 3(1, �1)
( , �2)
(0, �3)
(�1, �5)
(a) (b)
�5
�3
�4
�2
�1
5
4
3
2
2
1
1
54321�4�5 �3 �2 �1
y
x
FiGura	 3.5
Como la gráfica es una línea recta, se dice que la gráfica es lineal y la ecuación se 
llama ecuación lineal. A la ecuación también se le llama ecuación de primer grado ya que 
el mayor exponente de cualquiera de sus variables es 1.
Consejo útil 
Consejo de estudio
En este capítulo, y en varios de los capítulos siguientes, trazarás puntos y dibujarás gráficas 
usando el sistema de coordenadas cartesianas. Las siguientes sugerencias pueden mejorar la 
calidad de las gráficas que elabores.
 1. Para tu tarea, el uso del papel para graficar te ayudará a mantener una escala consistente 
en toda tu gráfica.
 2. Tus ejes y líneas se verán mucho mejor y serán más precisas si las trazas con regla o es-
cuadra.
(continúa en la siguiente página)
1
2
a1
2
, -2b
	 Sección	3.1	Gráficas	 139
1. Selecciona valores para x. 
2. Calcula y. 
3. Pares ordenados. 
4. Traza los puntos y dibuja la gráfica. 
 3. Si no usas papel para graficar, usa una regla para crear una escala consistente en tus ejes. 
Es imposible obtener una gráfica precisa cuando los ejes están marcados con una escala 
desigual.
 4. Usa un lápiz en lugar de una pluma. Un error se puede corregir rápidamente con lápiz y 
goma y no tendrás que empezar de nuevo desde el principio.
 5. Resuelve todos los problemas de la tarea que se te hayan asignado.
EJEMPLO  3  Grafica y  x.
Solución  Primero encontramos algunos pares ordenados que sean soluciones; 
seleccionamos valores de x y encontramos los valores correspondientes de y. Selec-
cionamos 0, algunos valores positivos y algunos valores negativos para x. En general, 
escogeremos números cercanos a 0 para que los pares ordenados quepan en los ejes.La gráfica se ilustra en la Figura 3.6.
x	 y	 (x, y)
2 2 (2, 2)
1 1 (1, 1)
0 0 (0, 0) 
1 1 (1, 1) 
2 2 (2, 2) 
Resuelve ahora el ejercicio 27
EJEMPLO  4  Grafica y = -
1
3
x + 1.
Solución  Cuando seleccionemos valores para x, escogeremos algunos valores 
positivos, algunos valores negativos y 0. Escogeremos múltiplos de 3 para que los 
valores de y sean valores enteros. La gráfica se ilustra en la Figura 3.7.
FiGura	 3.6	 	
y � x
54321�4�5 �3�2�1
�5
�4
�3
�2
�1
5
4
3
2
1
x
y
y � � x � 1
�5
�6
�4
�3
�2
�1
5
6
4
3
2
1
5 643
3
21
1
�4�5�6 �3 �2 �1
y
x
FiGura	 3.7	 	
1. Selecciona valores para x. 
2. Calcula y. 
3. Traza los puntos y dibuja la gráfica. 
x	 y	
6 3 
3 2 
0 1 
3 0 
6 1
Comprendiendo 
el álgebra
Cuando	grafiques	ecuaciones	
lineales	en	las	que	el	coefi-
ciente	de	x	es	una	fracción,	
escoge	valores	de	x	que	sean	
múltiplos	del	denominador.	
Esto	puede	dar	como	resulta-
do	valores	enteros	para	y.
Resuelve ahora el ejercicio 35
140	 Capítulo	3	 	 Gráficas	y		funciones
y = -
1
3
x + 1,
y =
-x
3
+
3
3
= -
1
3
x + 1
y =
-x + 3
3
3y = -x + 3
x + 3y = 3
 
1
1
2
= 1 ,
1
2
= 1
2
1
= 2.x =
1
2
,
y =
1
0
,
y =
1
x
.
·
Si se nos pide graficar una ecuación no resuelta para y, como x  3y  3, nuestro 
primer paso será resolver la ecuación para y. Por ejemplo, si resolvemos x  3y  3 para 
y, obtenemos
 
 Resta x en ambos lados.
 Divide ambos lados entre 3.
La ecuación que resulta, es la misma ecuación que graficamos en el ejem-
plo 4. Por lo tanto, la gráfica de x  3y  3 se ilustra también en la Figura 3.7 en la página 139.
	3 	Gráfica	de	ecuaciones	no	lineales
Las ecuaciones cuyas gráficas no son líneas rectas se llaman ecuaciones no lineales. Para 
graficar ecuaciones no lineales trazando puntos, seguimos el mismo procedimiento que 
usamos para graficar ecuaciones lineales. Sin embargo, como las gráficas no son líneas 
rectas, probablemente tengamos que trazar más puntos para obtener la gráfica.
EJEMPLO  5  Grafica y  x2  4.
Solución  Seleccionamos algunos valores para x y encontramos los valores co-
rrespondientes para y. Después trazamos los puntos y los conectamos por medio de 
una curva suave. La gráfica se muestra en la Figura 3.8.
x	 y	
3 5 
2 0 
1 3 
0 4 
1 3 
2 0 
3 5 
y � x2 � 4
�5
�6
�4
�3
�2
�1
5
6
4
3
2
1
5 64321�4�5�6 �3 �2 �1
y
x
FiGura	 3.8	 	
Resuelve ahora el ejercicio 41
EJEMPLO  6  Grafica 
Solución  Cuando escojas valores para x, observa que x = 0 da lo cual es in-
definido. Entonces, no habrá gráfica en la parte de x = 0. También observa que cuando 
 obtienes Esta gráfica tiene dos ramas, una a la izquier-
da del eje y y otra a la derecha del eje y, como se muestra en la Figura 3.9 en la página 141.
Comprendiendo 
el álgebra
Cuando	sustituimos	valores	de	
x,	debemos	seguir	el	orden	
de	operaciones	que	discuti-
mos	en	la	sección	1.4.
	 Sección	3.1	Gráficas	 141
y
1
x
-
1
3
-
1
2
-
1
2
1
2
1
2
1
3
-
1
3
-
1
2
1
2
1
3
y =
1
x
Resuelve ahora el ejercicio 51
En la gráfica del ejemplo 6, observa que para valores lejanos de x a la derecha de 0, 
o lejanos a la izquierda de 0, la gráfica se aproxima al eje x pero no lo toca. Por ejemplo, 
cuando x = 1000, y = 0.001 y cuando x = 1000, y = 0.001.
EJEMPLO  7  Grafica y  x.
Solución  Para graficar esta ecuación de valor absoluto seleccionamos algunos 
valores para x y encontramos los valores correspondientes de y. Después trazamos 
los puntos y dibujamos la gráfica. 
Observa que esta gráfica tiene forma de V, como se muestra en la Figura 3.10.
y � 
1
x
�5
�4
�1
5
4
3
2
1
54321�4�5 �1
y
x
FiGura	 3.9	 	
x	 y	
3 
2 
1 1 
 2 
 
2 
1 1 
2 
 
3 
 
x  y	
4 4 
3 3 
2 2 
1 1 
0 0 
1 1 
2 2 
3 3 
4 4 
y � �x�
�5
�4
�3
�2
�1
5
4
3
2
1
54321�4�5 �3 �2 �1
y
x
FiGura	 3.10	 	
Comprendiendo 
el álgebra
El	valor	absoluto	de	un	núme-
ro	x,	que	se	escribe	|x|,	es	la	
distancia	a	la	que	x	está	de	0	
en	la	recta	numérica.
Resuelve ahora el ejercicio 45
x	 3 2 1 1 2 3 
y	 1 1 
Prevención de errores comunes
Cuando grafiques ecuaciones no lineales asegúrate de trazar suficientes puntos para tener 
una imagen clara de la gráfica. Por ejemplo, al graficar muchos estudiantes conside-
ran solo valores enteros de x. A continuación se muestra una tabla con valores para la ecua-
ción y dos gráficas que contienen los puntos indicados en la tabla.
(continúa en la página siguiente)
142	 Capítulo	3	 	 Gráficas	y		funciones
Si seleccionas y trazas valores fraccionarios de x cercanos a 0, como hicimos en el ejem-
plo 6, obtendrás la gráfica de la Figura 3.11. La gráfica de la Figura 3.12 no puede ser co-
rrecta ya que la ecuación no está definida cuando x es 0 y por lo tanto la gráfica no puede 
cruzar el eje y. Cuando traces una gráfica que contenga una variable en el denominador, 
escoge valores para la variable que sean muy cercanos al valor que hace 0 al denominador y 
observa qué sucede. Por ejemplo, cuando graficas debes usar valores de x cerca-
nos a 3, como 2.9 y 3.1 o 2.99 y 3.01, y ve qué valores obtienes para y.
Además, cuando graficas ecuaciones no lineales, es una buena idea considerar va-
lores positivos y negativos. Por ejemplo, si usaste solo valores positivos de x cuando grafi-
caste y  x, la gráfica parecería ser una línea recta que pasa por el origen en lugar de la 
gráfica en forma de V que se muestra en la Figura 3.10 de la página 141.
	 COrrECTO	 iNCOrrECTO
y � 
x
1
�4
�3
�2
�1
4
3
2
1
4321�4 �1
y
x
FiGura	 3.12	 	
y � 
x
1
�4
�1
4
3
2
1
4321�4 �1
y
x
FiGura	 3.11	 	
Cómo utilizar tu calculadora graficadora
A lo largo de este libro iremos introduciendo algunos de los usos básicos de la calculadora graficadora. El manual de tu calcu-
ladora incluye información más detallada. Una ventana es la pantalla en la que se muestra una gráfica. En este libro todas las 
ventanas y teclas serán las de una calculadora graficadora TI-84 Plus. La Figura 3.13 muestra una ventana estándar y la Figura 
3.14 muestra la configuración estándar de una ventana de la TI-84 Plus.
Para graficar la ecuación y = 2x  3, oprime
 
La gráfica de la ecuación aparece en la ventana como se muestra en la Figura 3.15.
Ymax
Ymin
Xmin
Xmax
Yscl
Xscl
FiGura	 3.13	 	 FiGura	 3.14	 	
FiGura	 3.15	 	
y =
1
x - 3
 Y=    1-2   2   X,T, ,n     +    3    GRAPH  
	 Sección	3.1	Gráficas	 143
	4 	Interpretación	de	gráficas
Todos los días vemos diferentes tipos de gráficas en los periódicos, revistas, en Internet, 
etc. A lo largo de este libro presentaremos una variedad de gráficas. Ya que poder trazar 
e interpretar gráficas es muy importante, estudiaremos esto más adelante en la sección 3.2. 
En el ejemplo 8 deberás entender e interpretar gráficas para responder la pregunta.
EJEMPLO  8  Cuando Jim Herring fue a ver a su madre en Cincinnati, abordó un 
avión de la aerolínea Southwest. El avión estuvo en la pista por 20 minutos y luego 
despegó. El avión voló aproximadamente a 600 millas por hora por alrededor de 
2 horas. Después redujo su velocidad a cerca de 300 millas por hora y se mantuvo 
dando vueltas sobre el aeropuerto de Cincinnati por alrededor de 15 minutos antes 
de aterrizar. Después de aterrizar, el avión fue llevado a la puerta y se detuvo. ¿Cuál 
gráfica de las Figuras 3.16, 3.17, 3.18 o 3.19 ilustra mejor esta situación?
Tiempo (minutos)
V
el
oc
id
ad
 (
m
ph
)
500
600
700
400
300
200
100
50 100 150 200 250
0
0
FiGura	 3.16	 	
Tiempo (minutos)
V
el
oc
id
ad
 (
m
ph
)
500
600
700
400
300
200
100
50 100 150 200 250
0
0
FiGura	 3.17	 	
Tiempo (minutos)
V
el
oc
id
ad
 (
m
ph
)
500
600
700
400
300
200
100
50 100 150 200 250
0
0
FiGura	 3.18	 	
Tiempo (minutos)
V
el
oc
id
ad
 (
m
ph
)
500
600
700
400
300
200
100
50 100 150 200 250
0
0
FiGura	 3.19	 	
Solución  La gráfica que representa la situación descrita es la de la Figura3.18, 
que reproducimos con anotaciones en la Figura 3.20. La gráfica muestra la velocidad 
contra el tiempo, con el tiempo en el eje horizontal.
Tiempo (minutos)
V
el
oc
id
ad
 (
m
ph
)
500
600
700
400
300
200
100
50 100 150 200 250
El avión espera en la pista
El avión despega e incrementa 
su velocidad a 600 mph
El avión es llevado a la puerta
El avión se detiene 
en la puerta
El avión se acerca 
al aterrizaje
El avión hace 
círculos a 300 mph
El avión baja su 
velocidad a 300 mphEl avión vuela 
a 600 mph
0
0
FiGura	 3.20	 	
Resuelve ahora el ejercicio 75
144	 Capítulo	3	 	 Gráficas	y		funciones
y =
x2
x + 1
?
a1
3
,
1
12
b
y =
x2 + 1
x2 - 1
?
a -
1
2
, -
3
5
b
y =
ƒx2 ƒ
2
y =
1
x2y = 2x + 4y = 1x
y =
1
x
+ 1y =
1
x + 1
y = -x3 + x2 + x - 1y = x3 - x2 - x + 1
x = y2x = ƒy ƒx2 = 1 + yy = -
1
x
y =
1
x
y = x3 + 1y = -x3y = x3
y = - ƒx ƒ - 3y = - ƒx ƒy = ƒx ƒ + 2y = ƒx ƒ + 1
y = -x2 + 4y = -x2y = x2 - 2y = x2
y = -
1
3
x + 4y = -
1
3
x + 2y = -
1
2
x - 3y =
1
2
x - 1
y = -
1
3
xy =
1
2
xy = x + 2y = 2x + 4
y = -2x + 2y = -3x - 5y = 3xy = x + 1
a -3,
7
2
b ; 2m2 + 3n = 2a1
2
,
5
2
b ; 2x2 + 6x - y = 01-10, -22; ƒp ƒ -3 ƒq ƒ = 4
12, 12; -a2 + 2b2 = -2a1
4
,
11
4
b ; y = ƒx - 3 ƒ1-2, 52; s = 2r2 - r - 5
CONJUNTO DE EJERCICIOS 3.1 
Ejercicios de práctica
Llena los espacios en blanco con la palabra, frase o símbolo(s) apropiados de la siguiente lista.
coordenada x colineales gráfica coordenada y solución par ordenado
Practica tus habilidades
Indica los pares ordenados que corresponden a los puntos señalados.
 1. Una solución para una ecuación con dos variables es un 
.
 2. La de una ecuación es una ilustración del con-
junto de puntos cuyos pares ordenados son soluciones para la 
ecuación.
 3. Si tres o más puntos se encuentran en la misma recta se dice que 
son .
 4. La primera coordenada en un par ordenado es la 
y la segunda coordenada es la coordenada y.
 Determina el cuadrante en donde cada punto esté localizado.
 9. (1, 3) 10. (9, 1) 11. (4, 3) 12. (36, 43) 
 13. (12, 18) 14. (31, 8) 15. (11, 19) 16. (8, 52) 
Determina si el par ordenado es una solución para la ecuación dada.
 17. (2, 1); y  2x  5 18. (1, 3); 2x  3y  6 19. (4, 2); y  x  3 20. (1, 5); y  x2 + x  7 
 5. 
�4
�3
�2
�1
4
3
2
1
4321�4�5�8 �7 �6 �3 �2 �1
y
x
F
B
E H
A
C
G
D
 6. 
�20
�15
�10
�5
20
15
10
5
1412108642�8�10 �6 �4 �2
y
x
D
G
F
A
C
E
B
 7. Grafica los siguientes puntos en el mismo plano cartesiano.
A(4, 2) B(6, 2) C(0, 1) D(2, 0)
 8. Grafica los siguientes puntos en el mismo plano cartesiano. 
A(4, 2) B(3, 2) C(2, 3) D(3, 3) 
 63. ¿El punto representado por el par ordenado forma 
parte de la gráfica de la ecuación Explica.
 64. ¿El punto representado por el par ordenado for-
ma parte de la gráfica de la ecuación Explica.
 21. 22. 23. 
 24. 25. 26. 
Realiza la gráfica de cada ecuación.
 27. 28. 29. 30. 
31. 32. 33. 34. 
 35. 36. 37. 38. 
 39. 40. 41. 42. 
 43. 44. 45. 46. 
 47. 48. 49. 50. 
 51. 52. 53. 54. 
 En los ejercicios 55-62, utiliza una calculadora para obtener al menos ocho puntos que sean solución de la ecuación. Después, grafica la 
ecuación mediante el trazado de los puntos.
 55. 56. 57. 58. 
 59. 60. 61. 62.