Funções Lineares e Gráficos

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162	 Capítulo	3	 	 Gráficas	y		funciones
f1x2 = b -x + 2, 0 … x 6 4
2x - 10, 4 … x 6 8
f1x2 = b2x - 1, -2 … x 6 2
x - 2, 2 … x 6 4
g1x2 = b 2x + 3, -3 6 x 6 0
-3x + 1, 0 … x 6 2
f1x2 = bx + 3, -1 … x 6 2
7 - x, 2 … x 6 4
E = a1 p1 + a2 p2 + a3 p3
3x - 2 =
1
3
 13x - 32. 
` x - 4
3
` + 9 = 11.
3
5
 1x - 32 7
1
4
 13 - x2
Actividad de grupo
En muchas situaciones de la vida real, más de una función puede necesitarse para representar un problema. Esto ocurre a menudo cuando 
dos o más tipos diferentes están involucrados. Por ejemplo, en los impuestos federales, existen diferentes tipos de gravamen. Cuando dos o 
más funciones se usan para representar un problema, la función se conoce como función por partes. A continuación se dan dos ejemplos de 
funciones por partes y sus gráficas.
6
5
4
87654
�2
�1
3
2
1
321 x
y
54
�5
�4
�3
�1
3
2
1
321�3 �2 �1 x
y
En grupo, grafiquen las siguientes funciones por partes.
 77. 78. 
Ejercicios de repaso acumulados
[2.1]	 79. Resuelve 
[2.2]	 80. Despeja a p2 de la siguiente fórmula
 
 
[2.5]	 81. Resuelve la desigualdad e in-
dica la solución
 a) en una recta numérica.
 b) en notación de intervalos.
 c) en notación constructiva de conjuntos.
[2.6]	 82. Resuelve 
3.3 Funciones lineales: gráficas y aplicaciones
	 1 	 Graficar	funciones	
	lineales.
	 2 	 Graficar	funciones	lineales	
por	el	uso	de	
	intersecciones.
	3 	 Graficar	ecuaciones	de	la	
forma	x	=	a	y	y	=	b.
	 4 	 Estudiar	aplicaciones	de	
las	funciones.
	1 	Graficar	funciones	lineales
En la sección 3.1 graficamos ecuaciones lineales. Para graficar la ecuación lineal 
y  2x  4, podemos hacer una tabla de valores, trazar los puntos y dibujar la gráfica, 
como se muestra en la Figura 3.32. Como esta gráfica pasa la prueba de la línea recta ver-
tical, la ecuación define una función y la podemos escribir como f (x)  2x  4.
x y
2 0
0 4
1 6
y � 2x � 4
�5
�6
�4
�3
�2
�1
5
6
4
2
1
5 64321�4�5�6 �3 �2 �1
y
x
FiGura	 3.32
Éste es un ejemplo de una función lineal.
	 Sección	3.3	Funciones	lineales:	gráficas	y	aplicaciones	 163
x ƒ(x)
2 2
0 1
2 0
Función lineal
Una función lineal es una función de la forma f (x)  ax  b.
• La gráfica de una ecuación lineal es una línea recta.
• El dominio de una función lineal son todos los números reales, .
• Si a  0, entonces el rango de una función lineal son todos los números reales, .
Consejo útil
Para graficar funciones lineales tomamos f(x) como y y seguimos el mismo procedimiento 
usado para graficar ecuaciones lineales que discutimos en la sección 3.1.
EJEMPLO  1  Grafica 
Solución  Construimos una tabla de valores en la que sustituimos los valores de x 
y encontramos los valores correspondientes de f (x) o y. Después trazamos los puntos y 
dibujamos la gráfica, como se ilustra en la Figura 3.33.
f (x) � x � 1
�5
�4
�3
�2
�1
5
4
3
2
1
1
5432
2
1�4�5 �3 �2 �1
y
x
FiGura	 3.33
Resuelve ahora el ejercicio 31
Observa que el eje vertical en la Figura 3.33 también se puede marcar como f (x) en 
lugar de y. En este libro seguiremos marcándolo como y.
	2 	Graficar	funciones	lineales	por	el	uso	de	intersecciones
Las ecuaciones lineales no siempre se dan en la forma y  ax  b. La ecuación 2x  3y  6 
es un ejemplo de una ecuación lineal dada en la forma estándar.
Forma estándar de una ecuación lineal
La forma estándar de una ecuación lineal es 
ax  by  c 
donde a, b y c son números reales, y a y b no pueden ser ambas 0.
Ejemplos	de	ecuaciones	lineales	en	la	forma	estándar
2x  3y  4 x  5y  2 
Examina la gráfica de la Figura 3.32 en la página 162. La gráfica cruza el eje x en el 
punto (2, 0) y cruza el eje y en (0, 4). Estos puntos importantes se llaman intersecciones 
de la gráfica. Cuando una ecuación lineal se da en forma estándar, puede ser más sencillo 
graficar la ecuación si encuentras su intersección en x y su intersección en y.
f1x2 =
1
2
x - 1.
164	 Capítulo	3	 	 Gráficas	y		funciones
Intersecciones con el eje x y con el eje y
La intersección con el eje x es el punto donde la gráfica cruza al eje x.
• La intersección con x siempre será de la forma (x, 0).
La intersección con el eje y es el punto donde la gráfica cruza al eje y.
• La intersección con y siempre será de la forma (0, y).
El siguiente procedimiento nos ayudará a graficar ecuaciones lineales usando sus 
intersecciones.
Para graficar una ecuación lineal usando sus intersecciones con x y con y
 1. Encuentra la intersección con el eje y. Establece x igual a 0 para encontrar el valor 
correspondiente de y.
 2. Encuentra la intersección con el eje x. Establece y igual a 0 para encontrar el valor 
correspondiente de x.
 3. Traza las intersecciones.
 4. Traza la línea recta. Usando una escuadra, traza una línea recta que pase por los pun-
tos. Traza una flecha en cada extremo de la línea.
EJEMPLO  2  Grafica 5x  10y  20 usando sus intersecciones con x y con y.
Solución  Para encontrar la intersección con el eje y, establecemos x = 0 y resol-
vemos para y.
 5x  10y  20
 5(0)  10y  20 
 0  10y  20 
 20  10y
 2  y
La intersección con y es (0, 2).
Para encontrar la intersección con x, establecemos y  0 y resolvemos para x.
 5x  10y  20 
 5x  10(0)  20 
 5x  20 
 x  4 
La intersección con x es (4, 0). Ahora traza las intersecciones y la gráfica (Figura 3.34).
5x � 10y � 20
(�4, 0)
(0, 2)
�5
�4
�3
�2
�1
5
4
3
2
1
54321�4 �3 �2 �1
y
x
FiGura	 3.34
Resuelve ahora el ejercicio 23
Consejo útil
Cuando grafiques una ecuación lineal por medio de sus intersecciones con el eje x y con el 
eje y, es útil trazar un punto de control. Por ejemplo, en el ejemplo 2, si sustituimos x  2 en la 
ecuación y resolvemos para y, obtenemos y = 3. Entonces, un tercer punto en la gráfica debe 
ser (2, 3). Si observas la Figura 3.34, puedes ver que este punto está en la gráfica y estamos 
seguros que nuestra gráfica es correcta.
	 Sección	3.3	Funciones	lineales:	gráficas	y	aplicaciones	 165
EJEMPLO  3  Grafica usando sus intersecciones con x y con y.
Solución  Tomamos a f (x) como igual a y. Para encontrar la intersección con y, 
haz x = 0 y resuelve para f (x).
La intersección en y es (0, 1).
Para encontrar la intersección en x, hacemos f (x)  0 y resolvemos para x.
 
 
 Multiplica ambos lados por 3.
 Propiedad distributiva
 Suma x en ambos lados.
La intersección con x es (3, 0). La gráfica se muestra en la Figura 3.35.
Resuelve ahora el ejercicio 15
EJEMPLO  4  Grafica 6x  4y  0.
Solución  Si sustituimos x  0 encontramos que y  0. Entonces la gráfica pasa 
por el origen. Seleccionaremos x  2 y x  2 y sustituimos estos valores en la ecua-
ción para encontrar dos puntos adicionales en la gráfica.
 Sea x = 2. Sea x = 2.
 6x  4y = 0 6x  4y = 0
 6(2)  4y = 0 6(2)  4y = 0
 12  4y = 0 12  4y = 0
 4y = 12 4y = 12
 y = 3 y = 3
 Pares ordenados: (2, 3) (2, 3)
Los dos puntos adicionales en la gráfica son (2, 3) y (2, 3). La gráfica de 
6x  4y  0 se muestra en la Figura 3.36.
( 3, 0)
(0, 1)
f (x) � � x � 1
5
4
3
2
5
4
3
2
1
543
3
21
1
45 3 2 1
y
x
FiGura	 3.35
Comprendiendo 
el álgebra
La	gráfica	de	toda	ecuación	
	lineal	en	la	forma	estándar	
con	una	constante	de	0	
	(ecuaciones	de	la	forma		
ax		by		0)	pasará	por	el	
origen.	Ambas	intersecciones,	
con	el	eje	x	y	con	el	eje	y,	
serán	(0,	0).
(�2, �3)
(2, 3)
�6x � 4y � 0
�5
�4
�3
�2
�1
5
4
3
2
1
54321�4�5 �3 �2 �1
y
x
FiGura	 3.36
Resuelve ahora el ejercicio 35
x = -3
 0 = -x - 3
 3 102 = 3a -  
1
3
 x - 1b
0 = -  
1
3
 x - 1
f1x2 = -
1
3
x - 1
f1x2 = -  
1
3
 102 - 1 = -1
f1x2 = -  
1
3
 x - 1
f1x2 = -  
1
3
 x - 1
166	 Capítulo	3	 	 Gráficas	y		funciones
Para obtener la intersección en y, presiona . La intersección es (0, 5) como se ve en la Figura 3.37b. Para obtener la 
intersección en x, usamos la característica “cero”, para lo cual presionamos las teclasSe te pide la dirección a la izquierda. Mueve el cursor a la izquierda o a la derecha usando las teclas o . Mueve el cursor 
a la izquierda de la intersección en x y presiona .
Después se te pide la dirección a la derecha. Mueve el cursor a la derecha de la intersección con x y presiona . 
Finalmente se te pide que estimes. Mueve el cursor cerca de la intersección con x y presiona . La pantalla se muestra en 
la Figura 3.38. La intersección con x es (1.25, 0).
Cómo utilizar tu calculadora graficadora
Encontraremos las intersecciones de la gráfica de y  4x  5. Primero grafica la función presionando las teclas que se muestran a 
continuación. La gráfica se muestra en la Figura 3.37a.
 
(a) (b)
FiGura	 3.38­
FiGura	 3.37­
	3 	Graficar	ecuaciones	de	la	forma	x	=	a	y	y	=	b
Los ejemplos 5 y 6 ilustran cómo se grafican ecuaciones de la forma x  a y y  b, donde 
a y b son constantes y están graficadas.
EJEMPLO  5 Grafica la ecuación y  3.
Solución  Esta ecuación se puede escribir como y  3  0x. Entonces para 
cualquier valor de x que selecciones, y es 3. La gráfica de y  3 se ilustra en la 
Figura 3.39.
y
x
�4
�5
�3
�2
�1
5
4
2
1
5431 2�3�4�5 �2�1
y � �3
FiGura	 3.39
Resuelve ahora el ejercicio 43
 ENTER 
 ENTER 
 ENTER 
  7    6  
 2  TRACE  2nd 
 TRACE 
 Y=    4   X,T,Q,n     -    5    GRAPH  
	 Sección	3.3	Funciones	lineales:	gráficas	y	aplicaciones	 167
Ecuación de una línea recta horizontal
La gráfica de toda ecuación de la forma y  b siempre será una línea recta horizontal para 
cualquier número b.
Observa que la gráfica de y  3 es una función ya que pasa la prueba de la línea 
recta vertical. Para cada valor de x que seleccionemos, el valor de y, o el valor de la fun-
ción, es 3. Esto es un ejemplo de una función constante. Podemos escribir
f (x) = 3
EJEMPLO  6  Grafica la ecuación x  2.
Solución Esta ecuación se puede escribir como x  2  0y. Entonces, para cada 
valor de y que seleccionemos, x tendrá el valor de 2 (Figura 3.40).
Comprendiendo 
el álgebra
Toda	ecuación	de	la	forma		
y	=	b	o	ƒ(x)	=	b,	donde	b	
representa	una	constante,	es	
una	función	constante	cuya	
gráfica	es	una	línea	recta	
horizontal.
y
x
�4
�5
�3
�2
�1
5
4
3
2
1
5431 2�3�4�5 �1
x � 2
FiGura	 3.40
Resuelve ahora el ejercicio 41
Ecuación de una línea recta vertical
La gráfica de toda ecuación de la forma x = a siempre será una línea recta vertical para 
cualquier número real a.
Comprendiendo 
el álgebra
Una	ecuación	de	la	forma		
x	=	a	siempre	será	una	línea	
recta	vertical,	y	nunca	definirá	
una	función. Observa que la gráfica de x  2 no representa una función, ya que no pasa la prueba 
de la línea recta vertical.
	4 	Estudiar	aplicaciones	de	las	funciones
Con frecuencia se usan las gráficas para mostrar las relaciones entre variables.
EJEMPLO  7  Ganancias de una tienda de llantas La ganancia anual, p, de una 
tienda de llantas se puede estimar mediante la función p(n) = 20n – 30, 000, donde n 
es el número de llantas vendidas por año.
 a) Traza una gráfica de la ganancia contra las llantas vendidas hasta 6000 llantas.
 b) Calcula el número de llantas que se deben vender para que la compañía llegue a 
su punto de equilibrio.
 c) Calcula el número de llantas que se deben vender para que la compañía tenga 
una ganancia de $70, 000.
Solución    a) Entiende 
Comprendiendo 
el álgebra
El	punto	de	equilibrio	de	una	
compañía	es	el	punto	donde	
la	ganancia	es	igual	a	0.	En	
otras	palabras,	la	compañía	
no	gana	ni	pierde	dinero.
p es función de n
p es la ganancia.
p es la variable dependiente.
El eje vertical se marcará como p.
n es el número de llantas vendidas.
n es la variable independiente.
El eje horizontal se marcará como n.
168	 Capítulo	3	 	 Gráficas	y		funciones
­
Como el número mínimo de llantas que se puede vender es 0, el eje horizontal irá 
de 0 a 6000 llantas. Graficaremos esta ecuación por determinación y trazado de in-
tersecciones.
Traduce	y	realiza	los	cálculos	 Para encontrar la intersección con el eje p, hacemos 
n  0 y resolvemos para p(n).
p(n)  20n  30,000 
p(n)  20(0)  30,000  30,000 
Entonces la intersección con el eje p es (0, 30,000).
Para encontrar la intersección con el eje n, hacemos p(n)  0 y resolvemos para n.
 p(n)  20n  30,000 
 0  20n  30,000 
 30,000  20n 
 1500  n 
Entonces la intersección con el eje n es (1500, 0).
responde	 Ahora usamos las intersecciones con el eje n y con el eje p para trazar la 
gráfica (ver Figura 3.41).
 b) El punto de equilibrio es donde la gráfica intersecta al eje n, ya que aquí es cuan-
do la ganancia p es 0. Para cubrir los gastos, se deben vender alrededor de 1500 
llantas.
 c) Para ganar $70,000, se deben vender alrededor de 5000 llantas (que se represen-
ta con la línea recta punteada en azul claro de la Figura 3.41).
Ahora resuelve el ejercicio 51
Consejo útil
A veces es difícil leer una respuesta exacta a partir de una gráfica. Para determinar el número 
exacto de llantas que se deben vender para alcanzar el punto de equilibrio en el ejemplo 7, 
sustituye 0 por p(n) en la función p(n)  20n  30,000 y resuelve para n. Para determinar el 
número exacto de llantas que se debe vender para obtener una ganancia de $70,000, sustituye 
70,000 por p(n) y resuelve la ecuación para n.
EJEMPLO  8  Ventas de una juguetería Rob Kimball es el dueño de una jugue-
tería. Su salario mensual es de $200 más 10% de las ventas de la tienda en el mes. 
 a) Escribe una función que exprese su salario mensual, m, en términos de las ventas 
de la juguetería, s.
 b) Traza la gráfica de su salario mensual por ventas de hasta $20,000.
 c) Si las ventas de la juguetería en el mes de abril son $15,000, ¿cuál será el salario 
de Rob para abril?
Solución
 a) Como el salario mensual de Rob depende de las ventas de la juguetería, m de-
pende de s, y m es una función de s.
Número de llantas vendidas 
(1000)
G
an
an
ci
a 
(1
00
0 
de
 d
ól
ar
es
)
50
60
70
80
90
40
30
20
10
0
�10
�20
�30
�40
3 4 5 621
p(n) � 20n � 30,000
n
p
Ganancia de $70,000
Punto de equilibrio
FiGura	 3.41
El salario mensual de Rob es de $200 más 10% de las ventas de la juguetería.
o m(s)=200+0.10s
m(s) = 200 + 0.10 � s
	 Sección	3.3	Funciones	lineales:	gráficas	y	aplicaciones	 169
x = -3.25x =
5
2
g1x2 = 0x = 0f1x2 = -3y = -1.5
x = 4x = -4y = -4y = 4
18x + 6y = 06x - 9y = 0-10x + 5y = 02x + 4y = 0
g1x2 = 4xy = -2xy =
1
2
 xf1x2 =
1
3
x
1
2
 x +
3
2
 y = -3
1
3
 x +
1
4
 y = 12250 = 50x - 50y120x - 360y = 720
-1.6y = 0.4x + 9.60.25x + 0.50y = 1.006x + 12y = 2415x + 30y = 60
1
4
 x + y = 2
4
3
 x = y - 32x - 3y = 122y = 4x + 6
f1x2 = -6x + 5y = -2x + 1y = x - 5f1x2 = 2x + 3
1
2
 y = 21x - 32 + 431x - 22 = 41y - 52
7x = 3y - 6y = -4x + 3
 b) Como m es función de s, s estará en el eje horizontal y m en el eje vertical. 
Graficaremos esta función trazando los puntos. Seleccionamos valores de s y 
encontramos los valores correspondientes para m. La tabla al margen muestra 
tres pares ordenados que trazaremos y después dibujaremos la gráfica que se 
muestra en la Figura 3.42.
 c) Si leemos nuestra gráfica cuidadosamente, podemos estimar que cuando las ven-
tas de la juguetería son de $15,000, el salario mensual de Rob es de aproximada-
mente $1700.
Resuelve ahora el ejercicio 53
s m
0 200
10,000 1200
20,000 2200
Ventas ($1000)
Sa
la
ri
o 
m
en
su
al $2500
$2000
$1500
$1000
$500
15 20105
m(s) � 200 � 0.10s
s
m
0
0
FiGura	 3.42
CONJUNTO DE EJERCICIOS 3.3 
Ejercicios de práctica
Llena los espacios en blanco con la palabra, frase o símbolo(s) apropiados de la siguiente lista.
lineal dominio rango intersección con x intersección con y horizontal
vertical constante forma estándar pasará fallará números reales
 1. El dominio, o conjunto de coordenadas x, de toda función li-
neal está compuesto por , simbolizado por .
 2.	El o conjunto de coordenadas y, de todafunción lineal ƒ(x)  ax  b, a  0, está compuesto por to-
dos los números reales, simbolizados por .
 3. La es el punto donde la gráfica cruza el 
eje x.
 4. La es el punto donde la gráfica cruza el 
eje y.
 5. La gráfica de una ecuación de la forma y  b, donde b es un 
número real, es una línea .
 6. La gráfica de una ecuación de la forma x = a, donde a es un 
número real, es una línea .
 7. Una ecuación de la forma x  a siempre 
la prueba de la línea vertical y, por lo tanto, nunca represen-
tará una función.
 8. Una función de la forma f(x)  b, donde b es un número 
real, es conocida como función .
 9. Una función de la forma f(x)  ax  b, donde a y b son nú-
meros reales, es conocida como función .
 10. La de un ecuación lineal es ax  by  c.
Práctica tus habilidades
Escribe las ecuaciones en forma estándar.
 11. 12. 
 13. 14. 
Grafica las ecuaciones usando las intersecciones en x y y.
 15. 16. 17. 18. 
 19. 20. 21. 22. 
 23. 24. 25. 26. 
 27. 28. 29. 30. 
Grafica las ecuaciones.
 31. 32. 33. 34. 
 35. 36. 37. 38. 
Grafica las ecuaciones.
 39. 40. 41. 42. 
 43. 44. 45. 46. 
 47. 48.