Resolução de Sistemas de Equações

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4 Sistemas de 
ecuaciones y 
desigualdades
	4.1 Solución	de	sistemas	de	ecuaciones	
lineales	con	dos	variables
	4.2 Solución	de	sistemas	de	ecuaciones	
lineales	con	tres	variables
	4.3		 Sistemas	de	ecuaciones	lineales:	
aplicaciones	y	resolución	de		
problemas
Prueba	de	mitad	de	capítulo:		
Secciones	4.1-4.3
	4.4 Resolución	de	sistemas	de	ecuacio-
nes	mediante	el	uso	de	matrices
	4.5		 Resolución	de	sistemas	de	ecuacio-
nes	por	medio	de	determinantes	y	
la	regla	de	Cramer
	4.6		 Resolución	de	sistemas	de	desigual-
dades	lineales
Resumen	del	capítulo	4
Ejercicios	de	repaso	del	capítulo	4
Prueba	de	práctica	del	capítulo	4
Prueba	de	repaso	acumulada
Objetivos de este capítulo
En	este	capítulo	resolveremos	sistemas	de	ecuaciones	lineales	me-
diante	el	uso	de	los	siguientes	métodos:	graficación,	sustitución,	el	
método	de	suma,	usando	matrices	y	utilizando	determinantes	y	la	
regla	de	Cramer.	Además	resolveremos	sistemas	de	desigualdades	
lineales.	A	través	del	capítulo	encontrarás	muchas	aplicaciones	de	la	
vida	real.	El	capítulo	cubre	temas	esenciales	utilizados	en	los	nego-
cios	para	considerar	las	relaciones	entre	las	variables	involucradas	en	
operaciones	del	día	a	día	de	un	negocio.
Los sistemas de ecuaciones son	
utilizados	con	frecuencia	para	resolver	
problemas	de	la	vida	real.	Por	ejemplo,	en	
el	Ejemplo	6	de	la	página	240	utilizamos	
un	sistema	de	ecuaciones	para	estudiar	
los	préstamos	adquiridos	por	una	tienda	
de	juguetes. ©
 A
lle
n 
R.
 A
ng
el
218	 Capítulo	4	 	 Sistemas	de	ecuaciones	y	desigualdades
4.1 Solución de sistemas de ecuaciones lineales 
con dos variables
	 1 	 Solución	gráfica	de	
sistemas	de	ecuaciones	
lineales.
	 2 	 Solución	de	sistemas	de	
ecuaciones	lineales	por	
sustitución.
	3 	 Solución	de	sistemas	de	
ecuaciones	lineales	
usando	el	método	de	
suma.
Por ejemplo, 
 
(1) y  x  5
(2) y  2x  4
 Sistema de ecuaciones lineales
Sistema de ecuaciones lineales
Cuando dos o más ecuaciones lineales son consideradas simultáneamente, las ecuaciones 
son llamadas sistema de ecuaciones lineales.
Solución de un sistema de ecuaciones lineales con dos variables
Una solución de un sistema de ecuaciones lineales de dos variables es un par ordenado 
que satisface cada ecuación en el sistema.
La única solución del sistema mostrado arriba es (1, 6).
Verificación	en	la	ecuación	(1) Verificación	en	la	ecuación	(2)
(1, 6) (1, 6)
y  x  5 	 y  2x  4 
	 			6  6 Verdadero 	 6  6 Verdadero
El par ordenado (1, 6) satisface ambas ecuaciones y es la solución del sistema de ecuaciones.
	1 	Solución	gráfica	de	sistemas	de	ecuaciones	lineales
Para resolver de forma gráfica un sistema de ecuaciones lineales con dos variables, grafica 
ambas ecuaciones del sistema en los mismos ejes. Si el sistema tiene una solución única, 
entonces la solución será el par ordenado común de ambas rectas, es decir, el punto de 
intersección de ambas rectas en el sistema.
Cuando dos líneas se grafican, tres situaciones son posibles, como se ilustra en la 
Figura 4.1.
x
y
Recta 1
Recta 2
Recta	1	es igual a la recta	2
 • Número	infinito	de	
soluciones
 • Cada	punto	en	la	
recta	común	es	una	
solución
 • Sistema	dependiente
 • Las	rectas	tiene	la	
misma	pendiente	y	el	
mismo	punto	de	inter-
sección	en	el	eje	y
x
y
Recta 1
Recta 2
Recta	1	es	paralela	a	la	
recta	2
 • No	hay	solución
 • Ya	que	las	rectas	parale-
las	no	se	intersectan,	no	
hay	solución
 • Sistema	inconsistente
 • Las	rectas	tienen	la	mis-
ma	pendiente	y	diferen-
tes	intersecciones	en	el	
eje y
Comprendiendo 
el álgebra
	 •	 Una	solución	de	un	
sistema	de	dos	ecuacio-	
nes	lineales	con	variables	
x	y	y	es	un	par	ordenado	
(x, y)	que	satisface	ambas	
ecuaciones.
	 •	 Una	solución	de	un	
sistema	de	tres	ecuacio-	
nes	lineales	con	variables		
x, y	y	z	es	una	tríada	
ordenada	de	la	forma		
(x, y, z)	que	satisface	las	
tres	ecuaciones.
Comprendiendo 
el álgebra
	 •	 Un	sistema consistente	de 
ecuaciones	tiene	al	menos	
una	solución.
	 •	 Un	sistema inconsistente	
de ecuaciones	no	tiene	
solución.
	 •	 Un	sistema dependiente	
de ecuaciones	tiene	un	
número	infinito	de		
soluciones.
FiguRa	 4.1	 	
x
y
Solución
Recta 1
Recta 2
Recta	1	intersecta	recta	2
 • Exactamente una solu-
ción
 • La	 solución	 es	 el	 punto	
de	intersección
 • Sistema	consistente
 • Las	 rectas	 tienen	 pen-
dientes	diferentes
6 1 + 5 6 2112 + 4
	 Sección	4.1	Solución	de	sistemas	de	ecuaciones	lineales	con	dos	variables	 219
Podemos determinar si un sistema de ecuaciones lineales es consistente, inconsisten-
te o dependiente escribiendo cada ecuación en la forma pendiente-intersección, compa-
rando las pendientes y las intersecciones en el eje y (ver Figura 4.1).
EJEMPLO  1  Sin graficar las ecuaciones, determina si el siguiente sistema de 
ecuaciones es consistente, inconsistente o dependiente.
 3x  4y  8
 9x  12y  24
Solución Escribe cada ecuación en la forma pendiente-intersección.
 3x  4y  8 9x  12y  24 
 4y  3x  8 12y  9x  24 
 
Como ambas ecuaciones tienen la misma pendiente, 
3
4
 , y la misma intersección en y, 
(0, 2), las ecuaciones representan la misma recta. Por lo tanto, el sistema es depen-
diente y tiene un número infinito de soluciones.
Resuelve ahora el ejercicio 19
EJEMPLO  2  Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones gráficamente.
y  x  2 
y  x  4 
Solución Grafica ambas ecuaciones en los mismos ejes (Figura 4.2). La solución 
es el punto de intersección de las dos rectas, (1, 3).
�4
�5
�3
�2
�1
5
4
3
2
1
5431 2�3�4�5 �2�1
y � x � 2
y � �x � 4
(1, 3)
y
x
FiguRa	 4.2
Resuelve ahora el ejercicio 25
Consejo útil
Cuando resuelves ecuaciones mediante gráficas, siempre es una buena idea comprobar la 
solución sustituyendo los valores para x y y en cada una de las ecuaciones originales. Ahora 
verifica la solución del ejemplo 2.
y =
3
4
 x - 2y =
3
4
 x - 2
220	 Capítulo	4	 	 Sistemas	de	ecuaciones	y	desigualdades
	2 	Solución	de	sistemas	de	ecuaciones	lineales	por	sustitución
A pesar de que resolver un sistema de ecuaciones gráficamente nos ayuda a visualizar un 
sistema de ecuaciones y la solución, una solución exacta en algunas ocasiones es difícil de 
determinar de la gráfica. Por esta razón introducimos dos métodos algebraicos para encon-
trar la solución de un sistema de ecuaciones lineales de dos variables. El primero de ellos 
es el método de sustitución.
Cómo utilizar tu calculadora graficadora
En el capítulo 3 aprendimos cómo usar una calculadora graficadora para graficar las ecuaciones linea-
les. En este capítulo usaremos la calculadora graficadora para resolver de manera gráfica un sistema de 
ecuaciones lineales.
EJEMPLO Usa tu calculadora graficadora para resolver el sistema de ecuaciones.
y  2x  3 
Solución Presiona e introduce las ecuaciones como Y1 y Y2, respectivamente, y presiona 
. Las gráficas de las ecuaciones se muestran en la Figura 4.3. 
La solución está en el punto de intersección de las dos rectas. Para determinar el punto, presiona 
 para activar la función “intersección”. La calculadora te pedirá que escojas las curvas. 
Hazlo presionando . Ahora te solicitará que realices una selección. Presiona o 
hasta que veas el cursor parpadear cerca del punto de intersección y entonces presiona . La 
Figura 4.4 muestra que la intersección de las dos rectas está en el punto (2, 1). Sustituye x  2 y y  1 en 
cada una de las ecuaciones originales para confirmar que (2, 1) es la solución del sistema de ecuaciones.
FiguRa	 4.3
FiguRa	 4.4
Para resolver un sistema de ecuaciones lineales por sustitución
 1. Despeja una variable de cualquier ecuación (si es posible, despeja una variable con un 
coeficiente numérico igual a 1 para evitar trabajar con fracciones).
 2. Sustituye la expresión encontrada para la variable en el paso 1 dentro de la otra ecua-
ción. Esto resultará en una ecuación que solo contiene una variable.
 3. Despeja la ecuación obtenida en el paso 2.
 4. Sustituye el valorhallado en el paso 3 en la ecuación del paso 1. Resuelve la ecuación 
para encontrar la variable restante.
 5. Verifica tu solución en todas las ecuaciones del sistema.
EJEMPLO  3  Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones por sustitución.
y  3x  5 
y  4x  9 
Solución Ya que en ambas ecuaciones y esta despejada, podemos sustituir 3x  5 
para y en la segunda ecuación y entonces despejar la variable restante, x. 
3x  5  4x  9 
7x  5  9 
7x  14 
 x  2 
Ahora encuentra y sustituyendo x  2 en la primera ecuación.
y  3x  5 
y  3(2)  5 
y  6  5  1 
Entonces, tenemos x  2 y y  1, o el par ordenado (2, 1). Una verificación mostrará 
que la solución del sistema de ecuaciones es (2, 1).
Resuelve ahora el ejercicio 39
Comprendiendo 
el álgebra
En	el	ejemplo	3,	una	vez	que	
encontramos	que	x		2,	susti-
tuimos	x		2	en	cualquiera	de	
las	ecuaciones	originales.
 ENTER 
       ENTER  ENTER 
  5   TRACE 
 2nd 
 GRAPH 
 Y=  
y = -  
3
2
 x + 4
	 Sección	4.1	Solución	de	sistemas	de	ecuaciones	lineales	con	dos	variables	 221
EJEMPLO  4  Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones por sustitución.
 2x  y  11
 x  34  18
Solución Comienza despejando una de las variables en cualquiera de las ecua-
ciones. Si es posible, deberás despejar la variable con un coeficiente numérico 1, así 
evitarás trabajar con fracciones.
Despejemos y en 2x  y  11.
2x  y  11 
Posteriormente, sustituye y por (2x  11) en la otra ecuación, x  3y  18, y des-
peja la variable restante, x.
 
 Sustituye y por (2x  11).
 x  6x  33  18
 5x  33  18
 5x  15
 x  3
Finalmente, sustituye x = 3 en la ecuación y  2x  11 y despeja y.
y  2x  11
y  2(3)  11  5
La solución es el par ordenado (3, 5). Verifica esta solución.
Resuelve ahora el ejercicio 41
Consejo útil
En algunas ocasiones los estudiantes despejan exitosamente una de las variables y olvidan 
despejar la otra. Recuerda que una solución debe contener un valor numérico para cada 
variable en el sistema.
	3 	Solución	de	sistemas	de	ecuaciones	lineales	usando	
el	método	de	suma
El tercer método para solucionar un sistema de ecuaciones es el método de suma (o elimi-
nación). El objetivo de este proceso es obtener dos ecuaciones cuya suma sea una ecuación 
que contenga una sola variable.
EJEMPLO  5  Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones usando el método 
de suma.
2x + 5y = 3
3x – 5y = 17
Solución Observa que una ecuación tiene 5y y la otra ecuación tiene 5y. Su-
mando las ecuaciones, podemos eliminar la variable y y obtener una ecuación con 
solo una variable, x.
2x  5y  3
3x  5y  17
Ahora despeja para la variable restante, x.
x  4
Comprendiendo 
el álgebra
En	el	ejemplo	4,	pudimos	
haber	comenzado	despejando	
x	en	la	segunda	ecuación.
x + 31-2x + 11
$'%'&
2 = 18
x + 3y       = 18
y = -2x + 11
5x
5
=
20
5
5x = 20
222	 Capítulo	4	 	 Sistemas	de	ecuaciones	y	desigualdades
Finalmente, despeja y sustituyendo x por 4 en cualquiera de las ecuaciones originales.
 2x  5y  3 
 2(4)  5y  3
 8  5y  3
 5y  5
 y  1
Una comprobación mostrará que la solución es (4, 1).
Resuelve ahora el ejercicio 53
Para resolver un sistema lineal de ecuaciones usando el método de suma 
(o eliminación)
 1. En caso de ser necesario, reescribe cada ecuación en la forma general, ax  by  c.
 2. Si es necesario, multiplica una o ambas ecuaciones por una constante (o constantes) 
para que al sumarlas, la suma contenga solo una variable.
 3. Suma los lados respectivos de las ecuaciones. Esto resultará en una sola ecuación que 
contenga una sola variable.
 4. Resuelve la ecuación obtenida en el paso 3.
 5. Sustituye el valor encontrado en el paso 4 en cualquiera de las ecuaciones originales. 
Resuelve la ecuación para encontrar el valor de la variable restante.
 6. Verifica tu solución en todas las ecuaciones del sistema.
En el paso 2 del procedimiento, indicamos que puede ser necesario multiplicar am-
bos lados de la ecuación por una constante. Para evitar confusiones, enumeraremos las 
ecuaciones usando paréntesis, como (ec. 1) o (ec. 2).
En el ejemplo 6 resolveremos el mismo sistema de ecuaciones resuelto en el ejemplo 
4, pero esta vez usaremos el método de suma.
EJEMPLO  6  Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones usando el método de suma.
2x  y  11 (ec. 1) 
x  3y  18 (ec. 2) 
Solución Nuestra meta es obtener dos ecuaciones que al sumarlas nos den una 
ecuación con solo una variable. Para eliminar la variable x, multiplicamos (ec. 2) por 
2 y posteriormente sumamos las dos ecuaciones.
 2x + y = 11 (ec. 1) 
 2x  6y  36 (ec. 2) Multiplicado por 2
Ahora suma.
 
 2x  y  11
 2x  6y  36
-5y = -25
 y  5
Ahora despeja x sustituyendo y por 5 en cualquiera de las ecuaciones originales.
 2x  y  11 
 2x  5  11 Sustituye y por 5.
 2x  6 
 x  3 
La solución es (3, 5).
Resuelve ahora el ejercicio 61