Aplicações de Integrais em Prática

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Una vez estudiados los principios sobre integración y analizadas las diferentes técnicas de integración, se procede a desarrollar la parte práctica o de aplicaciones de las integrales como es el caso del análisis de gráficas (área de regiones planas, área entre curvas, longitud de una curva, longitud de un arco en forma paramétrica)
1. Encuentre el área de la región comprendida entre la curva y el eje X. Sugerencia: Elabore la gráfica para una mejor comprensión del ejercicio.
Se debe encontrar el área bajo la curva entre la función y el eje X. De acuerdo a la gráfica, los puntos de corte con el eje X son -2 y 3; por lo tanto, el intervalo de integración es [-2,0] y de [0, 3]
Y en el intervalo [0,3]
Área total = 
2. Calcular el área de la región limitada por las curvas e Sugerencia: Elabore la gráfica y despeje x en función de y en las curvas dadas.
Despejamos la primera función y graficamos 
Se calcula el área bajo la curva en medio de las tres curvas de la siguiente manera:
La curva e tienen punto de corte en el punto [8,4], el área comprendida entre estas dos curvas será así:
De igual modo, se hace con la curva en el intervalo [0,2] e en el intervalo [0,4]
Integrando y Evaluando:
3. Dada la curva la cual gira alrededor del eje x ¿cuál será el área de la superficie de revolución, generada en el intervalo [-1,1]? (La superficie es una porción de una esfera de radio 2)
Para calcular el área de la superficie de rotación se utiliza la siguiente fórmula:
Reemplazando en la fórmula:
4. Determine la longitud de la curva en el intervalo [0,]
Por medio de las integrales podemos hallar volúmenes de sólidos de revolución, momentos o centros de masa.
5. Encontrar el volumen del sólido formado al girar la región acotada por y alrededor de la recta Sugerencia: Utilice el método de los discos para hallar el volumen del sólido y elabore la gráfica para una mejor comprensión del ejercicio.
Como gira en torno al eje y=1, se debe dejar y en función de
 x=f (y)
 (
Y=1
) (
y
) (
x
)
Utilizando el método de discos, el volumen del solido que rota alrededor de un eje es:
La región está acotada entre el intervalo de distancia [1,2]
6. Halle el volumen del sólido generado al rotar sobre el eje x = -1 la región encerrada por la parábola y, la recta . Sugerencia: Utilice el método de las arandelas para hallar el volumen del sólido y elabore la gráfica para una mejor comprensión del ejercicio.
La fórmula para hallar el volumen en revolución es:
7. Hallar el centroide de la región limitada por la curva y la recta 
Las fórmulas para hallar el centroide de la región limitada: 
El Área mencionada se halla así:
Hallando centroides:
8. Una varilla de longitud 60 cm tiene una densidad lineal que varía proporcionalmente al cuadrado de su distancia a uno de los extremos, es decir para R una constante. Si la densidad en el extremo más pesado es de 7200 g/cm, halle su masa total y centro de masa) = unidades de masa por unidad de longitud.
Si: 
Existen numerosas aplicaciones del cálculo integral a las ciencias como en la física (trabajo y movimiento), en la hidráulica (bombeo de líquidos), en la estadística, en la economía y en las ciencias sociales.
9. La aceleración de la partícula que se mueve a lo largo de una recta es . Si en el instante inicial (t=0), la posición de la partícula es (s=0) y la velocidad es v= 8 . Halla S cuando (t=1).
Integrando la función de aceleración dos veces, se obtiene la función de la posición de la partícula
 
Para calcular la posición cuando t=1, reemplazamos en la función de la posición
10. Una fuerza de 40 N se requiere para detener un resorte que está estirado desde su longitud natural de 10 cm a una longitud de 15 cm. ¿Cuánto trabajo se hace al estirar el resorte de 15 a 18 cm?
Para trabajar en unidades equivalentes, y obtener una respuesta coherente, se debe pasar las unidades de longitud a metros:
Datos:
Para una fuerza de 40N, el resorte se estira de 10cm a 15cm
De la física sabemos que el trabajo realizado por un cuerpo cuando realiza movimiento es:
La ley de Hooke, la fuerza que realiza un resorte en el eje Y es: F= kx
F=40N el resorte se deformó: x= (15cm-10cm)=5cm 
40N=kx
40N=k*0,05m
11. Las funciones de la oferta y la demanda de cierto producto están dadas por y . Determine el excedente del consumidor y del productor, suponiendo que se ha establecido el equilibrio del mercado.
Se grafican las funciones oferta y demanda, para determinar el punto de equilibrio:
De acuerdo a la gráfica, se deduce que Q=6 y P=64
Excedente del consumidor:
Excedente del productor:
12. El costo marginal de un artículo cuando se producen x unidades es pesos por unidad. Si el costo total de producción de las 10 primeras unidades es $90000, ¿cuál es el costo total de producción de las 50 primeras unidades?
Recordar que:
Costo marginal: 
 Costo total: 
 ; para 10 unidades
 ; Para 50 unidades
Despejando C:
El costo para producir 50 Unidades:
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