Cálculo Integral: Áreas e Curvas

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Tema 3 
Cálculo Integral
Parte 2
Cálculo Diferencial e Integral
Tema 3: Cálculo Integral – Parte 2
Índice
Aplicaciones de las integrales
1. Área bajo una curva.
2. Área entre dos curvas.
3. Volumen calculado por arandelas.
3Cálculo Diferencial e Integral Profesor: Isabel González Farías
 Sea 𝑓(𝑥) una función real definida en el intervalo [𝑎, 𝑏].
 La integral representa el área de la región limitada por :
 la función 𝑓(𝑥)
 el eje 𝑋
 las rectas 𝑥 = 𝑎 y 𝑥 = 𝑏
1. Área bajo una curva
∆ →
 
Cuando ∆𝑥 → 0, es 
igual a d𝑥
4Cálculo Diferencial e Integral Profesor: Isabel González Farías
 El área es además un área algebraica.
 Si está sobre el eje 𝑥 es positiva.
 Si está bajo el eje 𝑥 es negativa.
 En un intervalo puede ser positiva, negativa o cero. Es, por tanto, el ‘área
neta’.
 Si queremos calcular el área real, es decir, sumar todas las áreas, entonces
el intervalo debe dividirse y el área negativa se debe multiplicar por el signo
menos.
1. Área bajo una curva
5Cálculo Diferencial e Integral Profesor: Isabel González Farías
Ejemplo 1: Halla el área neta y real, comprendida entre la curva 
, el eje y las rectas , 
Área neta= 
1. Área bajo una curva 
Es necesario graficar para 
ver si el área es positiva 
(arriba del eje X) o negativa 
(debajo del eje).
Área real= 
6Cálculo Diferencial e Integral Profesor: Isabel González Farías
Ejemplo 2
Calcula el área neta y real comprendida entre la curva 𝑓 𝑥 = 𝑥 − 2𝑥 , el eje 𝑥 y las rectas 𝑥 = −1, 𝑥 = 3
El área total sería 
1. Área bajo una curva
Graficamos y el área neta sería: 
7Cálculo Diferencial e Integral Profesor: Isabel González Farías
Ejemplo 3
Calcula el área neta y real comprendida 
entre la curva x= 𝑦 − 1, el eje 𝑦 y las 
rectas y= −2, e y= 2
El área total sería 𝐴 = Ω + Ω + Ω + Ω = ∫ 𝑦 − 1 𝑑𝑦 − ∫ 𝑦 − 1 𝑑𝑦 − ∫ 𝑦 − 1 𝑑𝑥 ∫ 𝑦 − 1 𝑑𝑥
1. Área bajo una curva
Graficamos y el área neta sería: 
8Cálculo Diferencial e Integral Profesor: Isabel González Farías
 Si queremos hallar el área Ω comprendida entre dos curvas tendremos que:
restar al área de la función que está ‘por encima’ (con ordenada más positiva) Ω , el área de la función que está ‘por debajo’ (la ordenada menos positiva), Ω .
= -
2. Área entre dos curvas
Primer caso: las 2 funciones están por encima del eje 𝑥
9Cálculo Diferencial e Integral Profesor: Isabel González Farías
2. Área entre dos curvas
Segundo caso: 1 función está por encima del eje 𝑥 y la otra función por debajo del 
eje 𝑥.
Ω comprende las tres 
partes sombreadas
10Cálculo Diferencial e Integral Profesor: Isabel González Farías
2. Área entre dos curvas
Tercer caso: Las 2 funciones está por debajo del eje 𝑥 eje 𝑥.
11Cálculo Diferencial e Integral Profesor: Isabel González Farías
2. Área entre dos curvas
Conclusión
 Siempre que se quiera hallar el área comprendida entre dos curvas, se
deberá restar el área de la función que está por encima (ordenada de
mayor valor), menos el área de la función que está por debajo
(ordenada de menor valor), sin importar si las funciones están por
encima o por debajo del eje “ ”.
12Cálculo Diferencial e Integral Profesor: Isabel González Farías
2. Área entre dos curvas
Para integrales en el eje “y” 
 El procedimiento para hallar el área entre dos curvas es equivalente.
 Se deberá restar el área respecto al eje y de la función que está a la derecha
(abscisa de mayor valor), menos el área respecto al eje y de la función que está a la
izquierda (abscisa de menor valor), sin importar si las funciones están a la derecha,
a la izquierda del eje “𝑦” o a ambos lados.
Á𝑟𝑒𝑎 𝑟𝑒𝑎𝑙 = 𝑓 𝑦 𝑑𝑦 − 𝑔 𝑦 𝑑𝑦 = 𝑓 𝑦 − 𝑔(𝑦) 𝑑𝑦
13Cálculo Diferencial e Integral Profesor: Isabel González Farías
Ejemplo 4 Halla el área comprendida entre la recta 𝑦 = 𝑥 + 2 y la parábola 𝑦 = 𝑥 .
 Es necesario graficar.
 Antes, tenemos que calcular en qué puntos se
intersecan las curvas, eso nos dará los límites de
integración. Para ello se igualan las funciones.
El área es entonces
 𝑥 + 2 − 𝑥 𝑑𝑥 = 12 𝑥 + 2𝑥 − 13 𝑥 = 2 + 4 − 83 − 12 − 2 + 13 = 92 𝑢
2. Área entre dos curvas
, 
14Cálculo Diferencial e Integral Profesor: Isabel González Farías
La función que forma la frontera superior en el intervalo es , mientras 
que en el intervalo es . 
Ejemplo 5
Encuentra el área entre y 
Los puntos de intersección se encuentran igualando las funciones
Las funciones se interceptan en
2. Área entre dos curvas
15Cálculo Diferencial e Integral Profesor: Isabel González Farías
2. Área entre dos curvas
Ejemplo 6
Encuentra el área comprendida entre las curvas y 
a) Integrando respecto al eje 
b) Integrando respecto al eje 
 Debemos graficar, buscando las intersecciones de las curvas
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2. Área entre dos curvas
a) Integrando respecto al eje 
Á𝑟𝑒𝑎 = 𝐴1 + 𝐴2
Necesitamos las ecuaciones por separado de los dos brazos de la 
parábola, y el área sería la suma de A1+A2
Á𝑟𝑒𝑎 = 2𝑥 − 2 − − 2𝑥 − 2 𝑑𝑥 + 2𝑥 − 2 − 𝑥 − 5 𝑑𝑥
Á𝑟𝑒𝑎 = 2 2𝑥 − 2𝑑𝑥 + 2𝑥 − 2 − 𝑥 − 5 𝑑𝑥
Á𝑟𝑒𝑎 = 2 2𝑥 − 2𝑑𝑥 + 2𝑥 − 2𝑑𝑥 − 𝑥 − 5 𝑑𝑥
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2. Área entre dos curvas
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2. Área entre dos curvas
b) Integrando respecto al eje Y
Necesitamos las ecuaciones en función de “y”
19Cálculo Diferencial e Integral Profesor: Isabel González Farías
2. Área entre dos curvas
Ejemplo 7
Encuentra el área de la región definida por las curvas , 
para valores de 
Solución:
 Primero encontramos las intersecciones igualando todas las funciones
 Como nos interesan valores 
 Nos quedan los siguientes 
puntos de intersección:
 Dividimos el área que 
queremos encontrar en 
dos áreas, cada una es un 
área contenida entre dos 
curvas.
y =𝑦 = 𝑥
𝑦 = 𝑥4
20Cálculo Diferencial e IntegralProfesor: Isabel González Farías
2. Área entre dos curvas
y =𝑦 = 𝑥
𝑦 = 𝑥4
21Cálculo Diferencial e Integral Profesor: Isabel González Farías
Problemas Dibuja la región delimitada por las curvas y calcula su área.
(Del libro de Salas, 
Hille & Etgen)
2. Área entre dos curvas
22Cálculo Diferencial e Integral Profesor: Isabel González Farías
23Cálculo Diferencial e Integral Profesor: Isabel González Farías
3. Volúmenes por arandela
 Recordamos cómo el área bajo una curva puede ser calculada como la suma 
de las áreas de infinitos rectángulos:
∆ →
 
Cuando ∆𝑥 → 0, es igual a d𝑥
Esto implica que 𝑛 → ∞
El se convierte en 
área del rectángulo es: 
24Cálculo Diferencial e Integral Profesor: Isabel González Farías
 En el caso de volumen de un sólido, podemos pensar que el volumen total es la 
suma del volumen de infinitas arandelas en las que se divide el sólido:
3. Volúmenes por arandela
El volumen de una arandela genérica es: 𝑠(𝑥) ∆𝑥
 Donde 𝑠(𝑥) es el área de la sección 
de la arandela. Para cada valor de 𝑥
el valor de 𝑠(𝑥) cambia. 
 La forma de la arandela depende de 
la sección transversal del sólido. 
 Y donde, su ancho es ∆𝑥 
∆ →
 
25Cálculo Diferencial e Integral Profesor: Isabel González Farías
Ejemplo 1
3. Volúmenes por arandela
Calcule el volumen de una pirámide de altura y su base es un 
cuadrado de lado .
Colocamos el origen de los ejes en el extremo superior de la 
pirámide, y el eje 𝑥 pasa por el eje central de la pirámide
Dibujamos una arandela genérica, que tendrá en este caso sección 
cuadrada, con lado igual a 𝑙(𝑥), varía con el valor de 𝑥
26Cálculo Diferencial e Integral Profesor: Isabel González Farías
Ejemplo 1
3. Volúmenes por arandela
 El área de la sección de la arandela es 
 Por Tales ( ) , por tanto: 
∆ → 
27Cálculo Diferencial e Integral Profesor: Isabel González Farías
3. Volúmenes por arandela
Volumen de sólidos de revolución
Cuando un área gira alrededor de un eje se genera un sólido de revolución
Ejemplo 2:
Hallar el volumen del sólido que se genera 
cuando el área comprendida entre la curva 
, el eje y las rectas , , gira 
alrededor del eje 
 El sólido que se genera es macizo. Su perfil 
externo es el de la curva 𝑓 𝑥 .
 La sección transversal del sólido es circular.
28Cálculo Diferencial e Integral Profesor: Isabel González Farías
3. Volúmenes por arandela
 Es decir, tenemos una arandela genérica con 
sección circular, y ancho ∆𝑥
 El área de la sección circular es: s
 El radio en este caso es igual a la coordenada 𝑦 , es 
decir: 𝑠 𝑥 = 𝜋𝑦
y, por tanto: ya que 𝑦 = 𝑥
∆ → 
∆𝑥
29Cálculo Diferencial e Integral Profesor: Isabel González Farías
Ejemplo 3
3. Volúmenes por arandela
Hallar el volumen del sólido que se genera cuando el área comprendida entre la 
curva 𝑓 𝑥 = 𝑥 , el eje 𝑦 y las rectas 𝑦 = 0, 𝑦 = 8 gira alrededor del eje 𝑦.
 El sólido que se genera es macizo. Su perfil externo es el de la curva 𝑔 𝑦 .
 La sección transversal del sólido es circular.
30Cálculo Diferencial e Integral Profesor: Isabel González Farías
 Es decir, tenemos una arandela genérica con 
sección circular, y ancho ∆𝑦
 El área de la sección es:
 El radio en este caso es igual a la coordenada 𝑥 , 
luego; 𝑠 𝑦 = 𝜋𝑥
y, por tanto: 𝑠 𝑦 = 𝜋 𝑦 ya que 𝑦 = 𝑥
∆ → 
/ /
s
3. Volúmenes por arandela
31Cálculo Diferencial e Integral Profesor: Isabel González Farías
Ejemplo 4
3. Volúmenes por arandela
Hallar el volumen del sólido que se genera cuando el área comprendida entre las 
curvas 𝑓 𝑥 = 𝑥 y 𝑔 𝑥 = 𝑥 , gira alrededor del eje 𝑥.
 Dibujamos las curvas, hallamos sus puntos de intersección igualando las 
expresiones.
32Cálculo Diferencial e Integral Profesor: Isabel González Farías
3. Volúmenes por arandela
 El sólido que se genera, al girar alrededor del eje “𝑥” es hueco. 
 Su perfil externo es el de la recta 𝑓 𝑥 = 𝑥.
 Su perfil interno es el de la curva 𝑔 𝑥 = 𝑥
 Por fuera es un cono, por dentro es hueco
 La sección transversal del sólido es una corona
33Cálculo Diferencial e Integral Profesor: Isabel González Farías
Ejemplo 4
3. Volúmenes por arandela
 La sección transversal es una corona, con radio externo 𝑅 y radio interno 𝑟
 El área de esa sección transversal es:
 El ancho de la arandela es ∆𝑥
; 
34Cálculo Diferencial e Integral Profesor: Isabel González Farías
3. Volúmenes por arandela
 El volumen es entonces:
∆ → 
 
35Cálculo Diferencial e Integral Profesor: Isabel González Farías
Ejemplo 5
3. Volúmenes por arandela
Hallar el volumen del sólido que se genera cuando el área comprendida entre las 
curvas 𝑓 𝑥 = 𝑥 y 𝑔 𝑥 = 𝑥 , gira alrededor de la recta 𝑦 = 2.
 Dibujamos las curvas, hallamos sus puntos de intersección igualando las 
expresiones.
36Cálculo Diferencial e Integral Profesor: Isabel González Farías
3. Volúmenes por arandela
 El sólido que se genera, al girar alrededor del eje “𝑦 = 2” es hueco. 
 Su perfil externo es el de la curva 𝑔 𝑥 = 𝑥 .
 Su perfil interno es el de la recta 𝑓 𝑥 = 𝑥.
 Por fuera tiene superficie curva, por dentro es hueco
con forma cónica
 La sección transversal del sólido es una corona
37Cálculo Diferencial e Integral Profesor: Isabel González Farías
3. Volúmenes por arandela
38Cálculo Diferencial e Integral Profesor: Isabel González Farías
3. Volúmenes por arandela
 La sección transversal es una corona, con radio externo 𝑅 y radio interno 𝑟
 El área de esa sección transversal es:
𝑠 𝑥 = 𝜋 2 − 𝑥 − 2 − 𝑥
 El ancho de la arandela es ∆𝑥
 El volumen es entonces igual a:
∆ → 
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Ejemplo 6
3. Volúmenes por arandela
Hallar el volumen del sólido que se genera cuando el área comprendida entrelas 
curvas𝑦 = 8 − 𝑥 y 𝑦 = 𝑥 , gira alrededor de la recta 𝑥 = 0.
 Dibujamos las curvas, hallamos sus puntos de intersección igualando las 
expresiones.
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3. Volúmenes por arandela
 El sólido tiene perfil externo es el de la curva 𝑦 = 8 − 𝑥.
 Su perfil interno es el de la curva 𝑦 = 𝑥.
 La sección transversal del sólido es una corona
41Cálculo Diferencial e Integral Profesor: Isabel González Farías
3. Volúmenes por arandela
 La sección transversal es una corona, con radio externo 𝑅 y radio interno 𝑟
 El área de esa sección transversal es:
 El ancho de la arandela es ∆𝑦
 El volumen es entonces igual a:
∆ →
 
64 − 2𝑦
42Cálculo Diferencial e Integral Profesor: Isabel González Farías
Ejemplo 7
3. Volúmenes por arandela
Hallar el volumen del sólido que se genera cuando el área comprendida entre las 
curvas 𝑦 = 8 − 𝑥 y 𝑦 = 𝑥 , gira alrededor de la recta 𝑥 = −2.
 Dibujamos las curvas, hallamos sus puntos de intersección igualando las 
expresiones.
43Cálculo Diferencial e Integral Profesor: Isabel González Farías
3. Volúmenes por arandela
44Cálculo Diferencial e Integral Profesor: Isabel González Farías
3. Volúmenes por arandela
 El sólido que se genera, al girar alrededor del eje “𝑥 = 0” es hueco. 
 Su perfil externo es el de la curva 𝑦 = 8 − 𝑥.
 Su perfil interno es el de la curva 𝑦 = 𝑥.
 La sección transversal del sólido es una corona
El ancho es 
45Cálculo Diferencial e Integral Profesor: Isabel González Farías
3. Volúmenes por arandela
 El área de esa sección transversal es:
 El ancho de la arandela es ∆𝑦
 El volumen es entonces igual a:
∆ →
 
98 − 24𝑦