Asignación de Recursos en Proyectos

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Asignación de Recursos Limitados en la 
Programación de Proyectos usando Simulación 
 
Wendy Marie-Anne Carranza Arzuza 
Carlos D. Paternina A. 
(cpaterni@uninorte.edu.co) 
Departamento de Ingeniería Industrial 
Universidad del Norte 
Barranquilla, Colombia 
 
 
Resumen 
 
La programación de proyectos mediante algoritmos de flujo en redes asume que 
siempre existe capacidad en los recursos que deben ser asignados a las actividades. 
Esta suposición es demasiado restrictiva y no es real. Además, cuando se presentan 
tiempos de actividad que no son determinísticos, el enfoque PERT tiene muchas 
limitaciones y resulta poco eficiente en el manejo de los tiempos y la ruta crítica del 
proyecto. Por otro lado, existen heurísticas para asignación de recursos en 
ambientes determinísticos comprobadas pero no se encuentra mucha literatura en 
la cual se extiendan estos procedimientos hacia el manejo de variables aleatorias. 
 
Surge entonces la necesidad de desarrollar un enfoque integrado sobre la 
programación de las actividades y los recursos que se vinculen a un proyecto. 
El problema que se presenta, se puede definir como el impacto del manejo de la 
aleatoriedad en la administración de proyectos cuando los recursos asignados al 
mismo, tienen restricciones sobre su capacidad; este enfoque utiliza simulación 
como esquema de modelación para la asignación de los recursos a las distintas 
actividades del proyecto. 
 
Palabras claves: Simulación, recurso limitado, PERT, CPM, variable, manejo de 
proyectos, proceso estocástico, proceso determinístico, heurística. 
 
 
Abstract 
 
Project Scheduling by network flow algorithms such as CPM and, PERT assume 
there is always enough resource capacity to be assigned to programmed activities. 
This approach is too restrictive and not applicable to real settings. Certainly, when 
there are non-deterministic activity times, PERT has many constrains and its 
efficiency on time management and the critical path is questionable. On the other 
hand, several heuristics to the problem of assigning limited resources in 
deterministic environments have been well proven, but there are not many reports 
in the open literature that take these procedures to random (or uncertain) settings. 
Therefore, there is need to develop a united view to program resource activity in 
projects under uncertainty. 
 
 2
The problem described defines the impact of randomness in project management as 
assigned resources limit total capacity. We show how adjustable pooled resources 
can improve project makespan. Simulation is used to create scenarios that 
represent the assigned resources in different activity projects, due to a well 
constructed strategy, easy to interpret and dynamic in nature. 
 
Key words: Simulation, limited resources, PERT, CPM, variable, project management, 
stochastic process, deterministic process, heuristics 
 
 
1. INTRODUCCIÓN 
 
La planeación, la programación y el control son conceptos fundamentales de administración. La 
Planeación es un enfoque organizado para lograr alguna meta, en primer lugar se definen los 
objetivos que se desean lograr, continua determinando las actividades que lo componen y sus 
interacciones entre ellas teniendo en cuenta factores como el tiempo y los recursos requeridos. La 
Programación es el compromiso de los recursos requeridos en el tiempo para realizar el proyecto, 
estos tiempos a la larga determinaran el tiempo de terminación del proyecto. El Control supervisa el 
progreso de las actividades del proyecto con base en la programación existente. [1] 
 
Existen determinadas aplicaciones de software que ayudan en la programación y control de 
proyectos; es el caso de CPM, el cual se trata de una variable aleatoria que sigue alguna 
distribución y brinda una fecha de terminación de proyecto. Por otro lado se cuenta con PERT, el 
cual es un enfoque probabilístico y en vez de brindar una fecha de terminación del proyecto, arroja 
la probabilidad que las tareas que componen el proyecto, así como el proyecto mismo, termine en 
determinada fecha. 
 
Cualquiera de los dos métodos citados con anterioridad, no tienen en cuenta los recursos que 
puedan ser necesarios para llevar a cabo alguna actividad dentro del proyecto. Estos métodos 
suponen que dos actividades pueden llevarse a cabo al mismo tiempo siempre que se respeten las 
precedencias; pero en el caso que se introduzca el concepto de recurso limitado, lo anterior no va a 
ser cierto, ya que alguna de esas dos actividades se retrasará por falta de recurso, ocasionando que 
el proyecto termine mas tarde dependiendo del lapso que se atrase. 
 
Con base en lo anterior, se puede analizar que los problemas que tienen en cuenta los recursos y las 
restricciones que puedan existir, son mucho mas aplicables a la realidad, además, permiten de cierto 
modo estudiar el proyecto desde dos ámbitos diferentes: el tiempo que demore el proyecto en 
llevarse a cabo, así como también, el uso eficiente de los recursos para evitar futuros atrasos. Este 
artículo, pretende encontrar una serie de pasos para el desarrollo de modelos mediante simulación 
con los cuales, en forma genérica, se pueda minimizar la incertidumbre en los proyectos. 
 
 
 Objetivos del estudio 
 
 
� Desarrollar un procedimiento genérico de modelación mediante simulación para la 
administración de proyectos con recursos limitados en situaciones de aleatoriedad sobre las 
variables del sistema. 
 
 3
 
� Desarrollar un modelo de simulación que represente las diferentes actividades que se deben 
administrar en un proyecto (hipotético) con relación al tiempo y a los recursos. 
 
� Verificar el efecto de la aleatoriedad sobre las variables de capacidad y los tiempos de actividad 
en la programación de proyectos. 
 
� Establecer una comparación entre el manejo de recursos estocásticos en simulación y el manejo 
determinístico de recursos, en la administración de proyectos, mediante heurísticas conocidas. 
 
 
2. METODOLOGÍA 
 
Para la realización de este estudio se identificaron los elementos que componen el proyecto que 
sirvió como ejemplo a estudiar, para luego proceder a la modelación de la programación de 
proyectos mediante la versión educacional del software de simulación ARENA®, con el objetivo 
de analizar los resultados arrojados por éste y dar respuesta a los interrogantes presentados. 
 
Por otro lado, se analizará el mismo ejemplo en tres escenarios diferentes a seguir, cada uno 
representa el proyecto en cuestión visto desde enfoques diferentes y utilizando herramientas 
sustitutas: 
 
1. Simulación bajo CPM 
2. Simulación bajo PERT 
3. Simulación bajo Recurso Limitado 
 
Para los modelos determinísticos se realizó una corrida con una réplica, por otro lado, para el caso 
de los modelos probabilísticos dentro del enfoque de recursos limitados y no limitados se realizó 
una corrida con 30 réplicas. En el caso del ajuste en los recursos limitados se incrementó el número 
de réplicas a 92 para trabajar y realizar los análisis con base al mismo valor del halfwidth (misma 
dispersión). 
 
Los resultados obtenidos, se compararon con los valores teóricos arrojados por métodos heurísticos 
como: pasada hacia delante y pasada hacia atrás, arrojando la ruta crítica [2] en el caso del modelo 
determinístico, y el método de la ruta crítica y el teorema del límite central en el caso de la 
longitud esperada del proyecto para el modelo probabilístico, refiriéndose a PERT [3]. 
A los valores arrojados por los métodos probabilísticos se les realizó una prueba de hipótesis con el 
fin de demostrar que eran significativamente diferentes. 
 
Paralelo a lo anterior, se realizó un análisis comparativo entre el tiempo de duración del proyecto 
arrojado por el modelo determinístico con recurso limitado versus el ajuste logrado mediante 
simulación de los mismos. Para lograrlo, fue necesario analizar la disposición de los recursos a 
través de un gráfico de Gantt. [1911] 
 
Además, se tuvieronen cuenta dos supuestos: 
I. Se pueden iniciar los procesos con menos de la capacidad requerida pero con mayor extensión de 
tiempo. 
II. Los tiempos arrojados son aproximados hacia abajo. 
 
 4
Por último se obtuvieron las conclusiones basadas en los diversos análisis realizados a cada una de 
las formas de estudiar el proyecto de la impresora LJ9000. 
 
 
 MODELO MATEMÁTICO 
 
Para analizar el impacto en la duración de un proyecto, cuando se trabaja con límite de recurso, se 
tuvo en cuenta el modelo matemático presentado por Jan Botcher et, al. en el artículo llamado 
Project scheduling under partially renewable resource constraints [4]: 
 
El modelo matemático a tratar considera un proyecto único, que establece una serie de actividades 
J. Por otro lado, VJ define la serie de actividades predecesoras inmediatas de la actividad j ∈ J. 
Para una fácil denotación las actividades se encuentran topológicamente ordenadas, cada 
predecesor de una actividad j tiene un menor número que j. 
 
Además, la actividad j = 1 ( j = [ J ] ) se encuentra definida como el único objeto simulado. 
Por otro lado, T establecerá la duración de los periodos durante los cuales las actividades deberán 
ser precedidas. De igual forma, t ∈ T y denota un periodo específico. R denota el planteamiento 
de recursos renovables parciales. Las actividades se encuentran interrelacionadas por los recursos 
restrictivos como sigue a continuación: para ser procesada la actividad j requiere kjr unidades del 
recurso r ∈ R durante cada periodo de duración dj. De la misma forma P(r), denota los periodos en 
los cuales un recurso r ∈ R está disponible junto al recurso de capacidad kr. 
 
Por último, el objetivo del problema RCPSP (Resource Constrained Project Scheduling Problem) es 
la minimización del tiempo de duración, incluyendo las precedencias y los recursos restrictivos que 
son encontrados. 
 
Las variables de decisión se basaron como sigue: 
 
X ij = 1, si la actividad j es finalizada en el periodo t 
X ij = 0, si no ocurre lo anterior 
 
De lo anterior se concluye que el RCPSP, puede ser definido como sigue: 
 
� La función objetivo minimiza el tiempo de terminación del nodo final y por lo tanto el 
lapso del proyecto: 
 �
∈
tJ
tJ
Et
xt
][
][
*min 
Sujeto a las siguientes restricciones: 
 
� Ecuación de las actividades restrictivas de terminación 
 ( )Jjxts
jEt
jt ∈→=�
∈
1.. 
 
� Restricción, la cual toma en consideración las relaciones de precedencia entre cada par de 
actividades (h, j), donde h precede inmediatamente a j 
 5
 ),()(* jjt
Et
j
Et
ht VhJjxdtxt
jh
∈∈→−≤ ��
∈∈
 
� Ésta restricción limita el total de los recursos renovables parcialmente utilizados con las 
cantidades disponibles. Para mayor comprensión, se explica a continuación como trabaja el 
recurso restrictivo: La actividad j es procesada en el periodo t ∈ P (r) si la variable xjq es 
igual a 1 en la intersección de los intervalos Qij y Ej, y por lo tanto kfr, debe agregar lo que 
se necesita del recurso r ∈ R. 
 
)(
)(
Rrkxk r
Qq
jq
PtJj
jr
jEitr
∈→≤���
∩∈∈∈
 
 
� La restricción de variable binaria 
 ),(}1,0{ jjt EtJjx ∈∈→∈ 
 
3. DESCRIPCIÓN DEL PROBLEMA 
 
El problema se encuentra basado en un ejemplo correspondiente a la página 488 del libro 
Planeación y control de la producción de Daniel Sipper y Robert Bulfin Jr. Este ejemplo trata de un 
proyecto referente a la creación de una nueva impresora (LJ 9000); La tabla de actividades que 
integran el proyecto de creación se encuentra a continuación: 
 
 
Actividad Descripción Tiempo (sem) Precedencia 
A Especificaciones de impresora 2 B, C 
B Presupuesto y necesidades de calidad 3 D, E 
C Diseño de impresora 5 F, G 
D Preparación de formas de licencia 4 H 
E Aprobación de presupuesto 1 I 
F Construcción de prototipo 6 I 
G Diseño del empaque 2 J 
H Aprobación de licencia 8 ---- 
I Pruebas del prototipo 7 ---- 
J Construcción del empaque 4 ---- 
 
Tabla 1. Datos del proyecto de la impresora LJ 9000 
 
 
Por otra parte, el proyecto cuenta con las siguientes actividades restrictivas: 
 
 
Recurso Descripción Capacidad 
I Operarios 3 
II Oficinas del gobierno 1 
III Zona de empaque 1 
IV Gerencia del proyecto 1 
 6
 
Tabla 2. Recursos restrictivos del proyecto de la impresora LJ 9000 
Además, cada una de las actividades del proyecto presenta una distribución: 
 
 
i-j a m B µ �
2 
1-2 1 2 4 2.17 0.25 
2-3 1 3 5 3.00 0.44 
2-4 2 5 9 5.17 1.36 
3-5 3 4 5 4.00 0.11 
3-6 1 1 1 1.00 0.00 
4-6 4 6 12 6.67 1.77 
4-7 2 2 3 2.17 0.03 
5-8 4 8 14 8.33 2.78 
6-8 6 7 10 7.33 0.44 
7-8 2 4 6 4.00 0.44 
 
Tabla 3. Datos de duración para LJ 9000 
 
 
A continuación se muestra la red correspondiente al proyecto de la impresora LJ 9000: 
 
 
 
 
Figura 1. Red del proyecto impresora LJ9000 
 
 
 
Para la realización del siguiente modelo se identificaron los elementos que componen la red del 
sistema, para luego proceder a modelar la red del proyecto para así dar respuesta a los 
cuestionamientos establecidos. 
 
A 
C 
F 
D 
G 
E 
J 
I 
H 
B 
FIN DEL 
PROYECTO 
 7
 
 
Modelo base trabajado en el programa de simulación: 
 
Cr eat e 1
O r ig in a l
Du p lic a t e
Sucesor es A
I m pr esor a
Disegnio
Act ividad C
O r ig in a l
Du p lic a t e
Sucesor es B
I m pr esor a
Especif icaciones
Act ividad A Calidad
necesidades
Pr esupuest o y
Act ividad B
licencia
f or m as de
Pr epar acion
Act ividad D
pr esupuest o
Apr obacion
Act ividad E
O r ig in a l
Du p lic a t e
Sucesor es C
pr ot ot ipo
Const r uccion
Act ividad F
Em paque
Disegnio
Act ividad G
Act ividad E
Sucesor comun hacia Act ividad I
Unif icar ent idades
Pr ot ot ipo
Pr uebas
Act ividad I
Em paque
Pr oduccion
Act ividad J
Licencia
Apr obacion
Act ividad H
Todo List o? Pr oyect o
ent idad Fin
Unif icacion
Fin del Pr oyect o
Cr eat e 3 Assign 2 Dispose 3
0 
0 
 0
 0
0 
 0
 0
 0
 0
 0
0 
 0
 0
 0
 0 0
 0
 0
 0
0 
0 .0 6 0 .0
0 0 
 
 
Figura 2. Modelo base del proyecto de la impresora LJ9000 en el software de simulación ARENA ® 
 
En la figura 2, se encuentra el modelo según los parámetros establecidos en la descripción del 
problema. La entrada de la entidad al modelo (Create) sigue una distribución aleatoria. Una vez 
que la entidad entra al modelo empieza su recorrido a través de los bloques de proceso (Process) 
según lo señalado en la tabla de precedencia. (Ver Tabla 1) 
 
Entre los procesos se pueden presentan dos tipos de eventos: 
 
� EVENTO DE BIFURCACIÓN 
Se presenta cuando dos o más actividades, no poseen una relación de precedencia entre ellas, pero 
deben estar precedidas por una actividad común. En ese caso se combina el evento terminación del 
predecesor con el evento inicio de todos los sucesores. 
Con respecto al proyecto de la impresora LJ9000, el caso anterior se presenta en los nodos A, B y 
C; ya que los anteriores son nodos que tienen más de un arco. 
 
 
A 
C 
F 
D 
G 
E 
J 
I 
H 
B 
FIN DEL 
PROYECTO 
 8
 
Figura 3. Eventos de Bifurcación presentes en la red del proyecto impresora LJ9000 
 
 
En el caso del modelo en simulación se tiene: 
Create 1
Original
Duplicate
Sucesores A
Impresora
Disegnio
Actividad C
Original
Duplicate
Sucesores B
Impresora
Especif icaciones
Actividad A Calidad
necesidades
Presupuesto y
Actividad B
Original
Duplicate
Sucesores C
0 
0 
 0
 0
0 
 0
 0
 0
0 
 0 
 
Figura 4. Eventos de Bifurcación presentes en el modelo base del proyecto de la impresora LJ9000 en el 
software de simulación ARENA ® 
 
Original
Duplicate
Sucesores A
0 
 0
Para la realización de esta parte de la red se hizo necesaria la 
utilización del Bloquede Separación (Separate), el cual duplica 
cada entidad que sale del proceso predecesor (A, B, C) y se dirige 
a los procesos sucesores (B, C, D, E, F, G), dividiéndose así la 
copia y el original entre los diferentes procesos 
 
� EVENTO DE FUSIÓN 
Se presenta cuando dos o más actividades, no poseen una relación de precedencia entre ellas, pero 
todas preceden a otra. En ese caso se combina el evento terminación de todas las predecesoras 
con el evento inicio del sucesor. 
Con respecto al proyecto de la impresora LJ9000, el caso anterior se presenta en los nodos I y 
FIN DEL PROYECTO; ya que sobre los anteriores convergen varios arcos sobre un solo nodo. 
 
 
A 
C 
F 
D 
G 
E 
J 
I 
H 
B 
FIN DEL 
PROYECTO 
 9
Figura 5. Eventos de Fusión presentes en la red del proyecto impresora LJ9000 
 
En el caso del modelo en simulación se tiene: 
 
licencia
formas de
P reparacion
A ctividad D
presupuesto
A probacion
A ctividad E
prototipo
Construccion
A ctividad F
E mpaque
Disegnio
A ctividad G
Actividad E
Sucesor comun
A ctividad I
entidades hacia
Unificar
P rototipo
P ruebas
A ctividad I
E mpaque
P roduccion
A ctividad J
Licencia
A probacion
A ctividad H
Todo Listo? P royecto
entidad Fin
Unificacion
Fin del P royecto
 0
 0
 0
 0
 0 0
 0
 0
 0
0 
 
 
Figura 6. Eventos de Fusión presentes en el modelo base del proyecto de la impresora LJ9000 en el software de 
simulación ARENA ® 
 
Para la realización de esta parte del modelo se utilizaron los siguientes bloques: 
 
Actividad E
Sucesor comun
 
Bloque de Sincronización (Match), el cual retienen varios tipos de 
entidades en filas independientes y libera, al mismo tiempo. Éste bloque 
sincroniza las entidades que vienen de los process (E, F) y (H, I, J) para ser 
ensambladas y convertidas en los process I y FIN DEL PROYECTO 
respectivamente. 
 
Actividad I
entidades hacia
Unificar
 0 
Bloque de Formación Lote (Batch), el cual permite formar grupos de 
entidades de un tamaño cualquiera y previamente definido. Éste bloque actúa 
sobre los ensambles que se han realizado con anterioridad en las entidades 
que vienen de los process (E, F) y (H, I, J) para ser unificadas y convertidas 
en los process I y FIN DEL PROYECTO respectivamente. 
 
Además de lo mencionado, para la creación del modelo se tuvo en cuenta: 
 
ENTIDADES 
Para la simulación se utilizó un tipo de entidad llamada Entity Project Duration. 
 
ATRIBUTOS 
No se trabaja con atributos asignados por el usuario, para éste ejemplo. 
 
FILAS DE ESPERA 
NO se presentan filas de espera, solo demoras en el proceso, debido a que sólo se genera una entidad en 
cada réplica. 
 
VARIABLES 
 10 
La variable que se utilizó es UtilRes1, la cual permite analizar a lo largo de la simulación el nivel de 
utilización del recurso 1. Por otro lado, se utilizó la variable entity total time. 
 
4. ANÁLISIS Y RESULTADOS 
 
Para el análisis correspondiente a los valores teóricos con aquellos arrojados por el software de 
simulación ARENA ®, se calcularon los tiempos en los cuales se podría dar la terminación del 
proyecto. En el caso del modelo determinístico, es decir, en el cual se aplicaría CPM (Critical Path 
Method), para cada actividad se calculó el tiempo más cercano, al igual que el tiempo más lejano en el 
cual puede comenzar y terminar las actividades. Lo anterior se logró en dos etapas, un recorrido por la 
red hacia delante y hacia atrás. 
De manera análoga se trabajó con el modelo probabilístico utilizando PERT (Program Evaluation and 
Review Technique), en el cual, los valores teóricos se tomaron de la ruta crítica y del teorema del límite 
central; para lo anterior se utilizaron los datos de duración de las actividades para el proyecto de la 
impresora LJ9000. (Ver tabla 3) 
 
A continuación se muestran los valores observados por medio de los dos métodos, sin tener en cuenta 
que el recurso es restringido: 
 
 
MODELO DE FLUJO EN REDES SIN 
RECURSO LIMITADO 
MODELO SIMULADO SIN RECURSO 
LIMITADO 
DETERMINÍSTICO 
(CPM) 
PROBABILÍSTICO 
(PERT) DETERMINÍSTICO PROBABILÍSTICO 
(30 réplicas) 
140 Días (149.31±3.22) 
Días (α = 5%) 140 Días (152.65±5.79) 
Días (α = 5%) 
Tabla 4. Tiempos de terminación del proyecto sin recurso limitado 
 
En el caso del modelo simulado sin recurso limitado, se tomó un valor de 30 réplicas por corrida (Ver 
tabla 4), ésta es la consideración del experimentador para cumplir con el mínimo valor de replicas para 
asumir normalidad. 
 
Con un número de 30 réplicas, la desviación que arroja el modelo simulado difiere de el modelo de 
flujo en redes, por lo tanto, para obtener resultados más verídicos se trabajó con 92 réplicas (mediante 
experimentación), obteniéndose de ésta forma un valor equivalente de 3.22 días en el valor medio del 
intervalo de confianza (halfwidth) igual que aquel arrojado por PERT en su análisis y un valor 
promedio de 151.58 días. 
 
De los anteriores resultados, se puede observar que existe una diferencia entre cada uno de los modelos 
probabilísticos que se están analizando, a continuación se demostrará a partir de una prueba de 
hipótesis, que los valores en el modelo con 92 réplicas son significativamente diferentes. 
 
Para éste caso se trabajará con desviaciones estándares conocidas por lo tanto se tienen las siguientes 
hipótesis: 
 
210 µµ ==H 
 11 
21 µµ ≠=aH 
 
Como: 
21 µµ = , 
021 =−=∆ µµu 
 
De lo anterior tenemos: 
 
2
2
2
1
2
1
0
0
nn
uy
z
σσ +
∆−∆= 
Por lo tanto: 
 
2
2
2
1
2
1
21
2
2
2
1
2
1
0
nn
yy
nn
y
z
σσσσ +
−=
+
∆= 
El intervalo de confianza del percentil 100 (1-�) sobre u1 – u2, donde las varianzas son conocidas es: 
 
2
2
2
1
2
1
2
2121
2
2
2
1
2
1
2
21 nn
zyy
nn
zyy
σσµµσσ
αα ++−≤−≤+−− 
 
Introduciendo valores numéricos, se tiene: 
 
31.1491 =y 
58.1512 =y 
22.321 == σσ 
%5=α 
96.1
2
=αz 
 
Remplazando: 
23.096.127.223.096.127.2 21 +−≤−≤−− µµ 
)47.0(96.127.2)47.0(96.127.2 21 +−≤−≤−− µµ 
92.027.292.027.2 21 +−≤−≤−− µµ 
35.119.3 21 −≤−≤− µµ 
 
 
De los resultados arrojados se puede observar, que el rango se encuentra entre valores negativos, por lo 
tanto 21 µµ − no son valores iguales y por ende –3.19 y –1.35 son significativamente diferentes. 
Además, el intervalo para la diferencias de medias no incluye el cero (0), por lo cual existe evidencia 
 12 
estadística para rechazar la hipótesis nula de que ambos resultados son iguales (o estadísticamente 
equivalentes). 
 
Una vez demostrado que los valores que se obtienen de los modelos son diferentes, se puede concluir 
que al trabajar cada uno de los modelos en simulación, no obtenemos resultados iguales para el caso de 
los probabilísticos. 
La diferencia entre estos valores es relativamente pequeña (alrededor del 1.5% sobre los valores 
promedios). En el caso de los modelos determinísticos no se encuentra ningún tipo de variación entre 
los valores, como es de esperarse. 
 
Para los modelos con recursos limitados que no son simulados, se utiliza un heurístico para restricción 
de recursos, ésta usa el inicio cercano y rompe los empates con la actividad de holgura más pequeña, en 
dado caso se tienen los siguientes valores: 
 
MODELO BASADO EN 
HEURÍSTICA PARA RESTRICCIÓN 
DE RECURSO 
MODELO SIMULADO CON 
RECURSO LIMITADO 
DETERMINÍSTICO DETERMINÍSTICO PROBABILÍSTICO 
(30 réplicas) 
154 Días 154 Días (161.67 ± 5.09) 
Días (α = 5%) 
Tabla 5. Tiempos de terminación del proyecto con recurso limitado 
 
Se puede observar que el modelo determinístico arrojó un valor de terminación del proyecto menor en 
comparación con los valores arrojados por el modelo simulado probabilístico; con ésta observación se 
confirma que existe mayor probabilidad que el modelo determinístico lleve a errores, por lo tanto es 
mucho mas confiable el modelo probabilístico por arrojar resultados más acercados a la realidad. 
Aunque los tiempos con recursolimitados dentro de un marco probabilístico sean más altos que los que 
no tienen en cuenta esta condición, son mucho más veraces y nos pueden arrojar resultados más 
confiables. Además, estos tiempos se pueden mejorar mediante la utilización de una gráfica de Gantt, la 
cual nos ayuda a desplegar el estado de cada recurso durante el transcurso del proceso. 
A continuación se realizará un análisis sobre el modelo determinístico mediante esta gráfica, la cual 
ayude a presentar las diferencias existentes entre el tiempo de terminación del proyecto con recurso 
limitado sin utilizar eficientemente los recursos y otra llevándolos adecuadamente. 
 13 
Fecha de
Terminación
R13 B D F I
R12 A C F I
R11 A C G F I
14 35 49 63 105 154 t (días)
Tiempo Muerto
 
Gráfica 1. GANTT sin ajuste de capacidad en los recursos limitados 
 
De la gráfica se puede observar una vez más, que el tiempo de terminación del proyecto corresponde a 
154 días; en este caso tenemos 14 días de tiempo muerto en caso tal que se quisiera utilizar los tres 
recursos que necesita la actividad (F) al mismo tiempo. 
 
Si por el contrario, se desea que no existan tiempos muertos y existe la posibilidad que los recursos 
sean con capacidad ajustable, tendríamos: 
 
� En el caso de la actividad F, antes de empezar a utilizar los recursos disponibles en paralelo, se 
encuentra un tiempo muerto el cual puede ser utilizado; como no es necesario que los tres recursos 
que necesita la actividad F se utilicen al mismo tiempo, puede empezar a utilizar el recurso 1,2 a 
partir del día 49. Si lo anterior ocurre, podríamos trabajar en la actividad F por 14 días con un solo 
operario, esto equivale al 0.11% de la actividad. 
 
� Si se trabajan esos 14 días antes de empezar a operar los tres recursos al mismo tiempo, tendríamos 
un adelanto del proyecto de 4,62 días equivalentes a 4 días (si se realiza un ajuste por defecto) de 
los 42 que utilizaría en total, es decir, que solo sería necesario trabajar 38 días con los tres recursos 
al mismo tiempo. 
Fecha de
Terminación
R13 B D F I
R12 A C F I
R11 A C G F I
14 35 49 63 101 150 t (días)
 
Gráfica 2. GANTT con ajuste de capacidad en los recursos limitados 
 
 
Lo anterior se puede lograr debido a los supuestos establecidos con anterioridad. 
 14 
 
MODELO DETERMINÍSTICO CON RECURSO LIMITADO 
Recurso Limitado Ajuste de capacidad en el recurso 
limitado 
154 Días 150 Días 
 
Tabla 6. Tiempos de terminación del proyecto con recurso limitado determinístico 
 
De la información correspondiente a los cuadros anteriores se puede afirmar que no solamente es 
necesario introducir el concepto de recursos limitados para lograr mayor acercamiento a la realidad, 
sino que, se debe realizar el ajuste de los recursos para obtener incrementos en los niveles de eficiencia 
con respecto a la utilización de éstos y así lograr disminuciones en los tiempos de terminación del 
proyecto, como se puede ver a continuación: 
 
MODELO DETERMINISTICO
130
135
140
145
150
155
160
CON RECURSO 
LIMITADO
CON AJUSTE DE
CAPACIDAD
SIN RECURSO 
LIMITADO
TIPO DE ENFOQUE
TI
E
M
P
O
 (S
em
an
a)
Serie1
 
 
Gráfica 3. Valores de tiempo de terminación del proyecto según enfoque determinístico 
 
Si se desea obtener buenos resultados en la programación de recursos limitados bajo incertidumbre 
mediante simulación en escenarios determinísticos, es necesario seguir los siguientes pasos: 
 
1. Diagramar el proyecto en estudio mediante una red de precedencias. 
2. Desarrollar en el software de simulación ARENA ® un modelo que represente la red de 
precedencias del proyecto. 
3. Comparar los resultados arrojados por el modelo de simulación contra los resultados arrojados 
por el modelo basado en heurísticas para restricción de recursos. 
4. Realizar un gráfico de Gantt mediante el cual se pueda analizar la utilización de los recursos 
dentro del desarrollo del proyecto. 
5. Si en el gráfico de Gantt se presentan tiempos muertos y se cumple lo siguiente: 
• Existe la posibilidad que los recursos presenten capacidad ajustable. 
• No es necesario que los recursos que necesita la actividad se utilicen al mismo tiempo. 
Entonces, se puede proceder al ajuste de los recursos en el gráfico de Gantt. 
6. Modelizar en el software de simulación ARENA ®, la nueva utilización de los recursos después 
del ajuste de los mismos. 
7. Comparar los resultados obtenidos. 
8. Realizar conclusiones. 
 
 15 
 
CONCLUSIONES 
 
El problema presentado por el trabajo, se definió como el impacto del manejo de la aleatoriedad en la 
administración de proyectos cuando los recursos asignados al mismo, tienen restricciones sobre su 
capacidad. Éste enfoque utilizó simulación como esquema de modelación para la asignación de los 
recursos a las distintas actividades del proyecto, debido a que es una estrategia robusta, de fácil 
interpretación y desarrollo, capaz de introducir la dinámica del sistema en forma directa a fin de 
satisfacer entre los diferentes gremios, la necesidad de desarrollar un enfoque integrado sobre la 
programación de las actividades y los recursos que se vinculen a un proyecto. 
 
La programación de proyectos es un tema de interés para los diferentes gremios por presentar altos 
porcentajes de incertidumbre cualquiera que sea el medio en el cual se realicen. 
A lo largo del tiempo se han creado decenas de métodos que logren dar una idea del tiempo de 
terminación de un proyecto cualquiera con el fin de disminuir la incertidumbre, tal es el caso de la 
programación de proyectos mediante algoritmos de flujo en redes (CPM, PERT) los cuales asumen que 
siempre existe capacidad en los recursos que deben ser asignados a las actividades. Muchos de estos 
métodos arrojan resultados poco acercados a la realidad ya que no tienen en cuenta que los recursos 
con los cuales trabajan son limitados y no infinitos como muchos de ellos suponen. 
 
En el presente trabajo se compararon los diferentes enfoques que existen en la programación de 
proyectos: probabilísticos y determinísticos, con la suposición de recursos limitados e infinitos, bajo 
modelos heurísticos y por simulación. Los modelos con enfoque probabilísticos siempre arrojaron un 
lapso de terminación del proyecto mayor que aquellos que trabajaron con enfoques determinísticos; lo 
anterior lleva a pensar que los modelos probabilísticos arrojan valores mas reales que los 
determinísticos, aunque un grave problema que presentan éste tipo de modelos es que asumen 
independencia entre los tiempos de actividad y también son restrictivos sobre rutas no críticas con 
mayor variabilidad. 
 
El análisis final se realizó bajo modelos determinísticos por heurísticas y por simulación, dando como 
resultado valores semejantes, independientemente del método utilizado. El problema que presenta el 
modelo basado en heurística para restricción de recurso es que es estático, es decir, el resultado que 
arroja lo mantiene. Cosa contraria ocurre con el modelo en simulación el cual es completamente 
dinámico, una vez que arroja los valores del modelo base, sobre éste se pueden realizar cambios los 
cuales ayuden al ajuste de la utilización de los recursos y por ende a la disminución del lapso de 
terminación del proyecto. 
 
Teniendo en cuenta lo anterior, se puede concluir que una excelente opción para realizar análisis de 
capacidad de los recursos es mediante la simulación, por presentar un escenario de trabajo más 
flexible. 
 
Como trabajo futuro se deja el comparar el ajuste de los recursos bajo un enfoque probabilístico, para 
analizar los resultados obtenidos; así como, el examinar el modelo de simulación en relación con las 
diferentes actividades que se deben administrar en un proyecto con relación al costo. 
 
 
Referencias 
 
[1] SIPPER, Daniel y BULFIN, Robert L. Jr. Planificación y Control de la Producción. México: 
 16 
Mc Graw – Hill, 1998. 657p. 
 
[2] MILLER, R.K. Y WALKER, T.C. FMS/CIM Systems Integration Handbook. Lilburn:Fairman 
Press, 1990. 
 
[3] 
 
MODER y PHILIPS. Project management with CPM, PERT and Precedence Diagramming. 
1964. 
 
[4] BOTCHER, Jan; DREXL, Andreas; KOLISCH, Rainer y SALEWSKI, Frank; Project 
Scheduling Under Partially Renewable Resource Constraints. Germany; Management Science. 
1999; 45, 4; ABI/INFORM Global Pág. 543.