3 Matrices

Vista previa del material en texto

SEMANA 03: MATRICES
DEFINICIÓN – OPERACIONES CON MATRICES -
MATRICES ESPECIALES
1. MATRIZ
Una matriz es un arreglo rectangular de números distribuidos en filas y columnas,
donde sus elementos son números reales o complejos que se encierran entre
corchetes o paréntesis.
NOTA:
EJEMPLOS:
𝐴 =
1 2 4
4 −1 5
3 2 2
𝐵 =
−1 1/5 𝜋
0,7 −2 0
𝐶 = 2,5 −1 7
 Para representar a una matriz se utilizan letras mayúsculas: A, B, C, etc.
 Si la matriz tiene “m” filas y “n” columnas, decimos que la matriz A tiene
dimensión (orden) mxn y se denota: Amxn
1.1. Representación general de una Matriz
Una matriz 𝐴 de orden 𝑚 × 𝑛 (𝑚 filas y 𝑛 columnas) se representa en forma
general:
 Los elementos 𝑎𝑖𝑗 indican que está en la fila 𝑖 y en la columna 𝑗.
Fila 1
Fila 2
Fila 3
Fila m
C
o
lu
m
n
a 1
C
o
lu
m
n
a 2
C
o
lu
m
n
a 3
C
o
lu
m
n
a n
𝑨𝒎𝒙𝒏 =
𝒂11 𝒂12 𝒂13 ⋯ 𝒂1𝑛
𝒂21 𝒂22 𝒂23 ⋯ 𝒂𝟐𝑛
𝒂31 𝒂32 𝒂33 ⋯ 𝒂3𝑛
⋮ ⋮ ⋮ ⋯ ⋮
𝒂𝑚1 𝒂𝑚2 𝒂𝑚3 ⋯ 𝒂𝑚𝑛
Ejemplos:
𝐴 =
1 2 4
4 −1 5
3 2 7
𝐵 =
−1 1/5 𝜋
0,7 −2 0
𝐶 = 2,5 −1 7
Es una matriz de dimensión (orden) 3x3.
Donde: 𝑎13 = 4 𝑎22 = −1 𝑎32 =2
Es una matriz de orden 2x3.
Donde: 𝑎11 = −1 𝑎21 = 0,7 𝑎23 = 0
Donde:
Es una matriz de orden 1x3.
𝑎11 = 2,5 𝑎12 = −1 𝑎23 =7
1)
2)
3)
4) Una fábrica produce tres tipos de productos: A, B y C, que distribuye a cuatro
clientes.
 El primer cliente compró 8 productos de A, 4 de B y 2 de C. 
 El segundo cliente, compró 3 productos de A, 12 de B y ninguno de C. 
 El tercer cliente no compró ningún producto.
 El cuarto cliente compró 6 productos de A, 7 de B y 9 de C.
Construye una matriz de orden 4x3 correspondiente a estas ventas.
Solución:
La matriz 4x3, tiene 4 filas y 3 columnas
1er, cliente
A CB
2do, cliente
3er, cliente
4to, cliente
8 4 2
3 12 0
0 0 0
6 7 9
Al realizar un inventario en tres almacenes de una tienda se obtuvo la siguiente
información:
Almacén 1: 12 computadoras, 8 impresoras y 5 escáneres.
Almacén 2: 20 computadoras, 18 impresoras y 9 escáneres.
Almacén 3: 2 computadoras, 3 impresoras y 15 escáneres.
¿Cuántos artículos de cada tipo hay en la tienda?
Organizamos los datos en forma matricial. La fila indica el almacén y la columna el
artículo. C I E
Almacén 1 12 8 5
Almacén 2 20 18 9
Almacén 3 2 3 15
Total 34 29 29
En total hay 34 computadoras, 29 impresoras y 29 escáneres.
5)
Solución:
2. MATRICES ESPECIALES
EJEMPLOS:
𝐴 = −5 −1 0 𝐵 = 0 1 0 1 𝐶 = −8 0
2.1. MATRIZ FILA (VECTOR FILA)
Es una matriz que tiene una sola fila.
2.2. MATRIZ COLUMNA (VECTOR COLUMNA)
Es una matriz que tiene una sola columna.
EJEMPLOS:
𝐴 =
2
−1
5
5
𝐵 =
0
1
0
𝐶 =
0
7
2. MATRICES ESPECIALES
EJEMPLOS:
2.3. MATRIZ NULA
Es una matriz que tiene todos sus elementos igual a cero.
2.4. MATRIZ TRANSPUESTA
La matriz transpuesta de 𝐴, es la matriz 𝐴𝑇 que se obtiene al intercambiar las
filas por las columnas.
EJEMPLOS:
𝐴 =
0 0 0
0 0 0
𝐵 = 0 0 0 0 𝐶 =
0
0
Sea la matriz: 𝐴 =
1 2 3
5 6 7 La matriz transpuesta de 𝐴 es: 𝐴𝑇 =
1 5
2 6
3 7
2. MATRICES ESPECIALES
EJEMPLOS:
2.5. MATRIZ CUADRADA
Es una matriz que tiene el mismo número de filas y columnas. 
𝐴 =
0 1 5
0 0 0
1 2 3
𝐵 =
0 1 0 1
1 0 1 0
0 1 7 1
1 0 1 0
𝐶 =
5 − 1
3 − 7
NOTA:
Una matriz cuadrada se representa en forma general de la siguiente manera:
𝐴 =
𝑎11 𝑎12 ⋯ 𝑎1𝑛
𝑎21 𝑎22 ⋯ 𝑎2𝑛
⋮ ⋮ ⋮ ⋮
𝑎𝑛1 𝑎𝑛2 ⋯ 𝑎𝑛𝑛
Diagonal principal
2. MATRICES ESPECIALES
EJEMPLOS:
2.6. MATRIZ DIAGONAL
Es una matriz cuadrada en la que todos los elementos que se encuentran fuera de 
la diagonal principal son ceros. 
𝐴 =
1 0 0
0 3 0
0 0 8
𝐶 =
1 0
0 5
𝐵 =
1 0 0 0
0 2 0 0
0 0 7 0
0 0 0 5
2.7. MATRIZ ESCALAR
Es una matriz diagonal en la que todos los elementos que se encuentran en la 
diagonal principal son iguales. 
𝐴 =
3 0 0
0 3 0
0 0 3
𝐶 =
5 0
0 5
𝐵 =
−1 0 0
0 − 1 0
0 0 − 1
EJEMPLOS:
EJEMPLOS:
2.8. MATRIZ IDENTIDAD
Es una matriz escalar en la que todos los elementos que se encuentran en la 
diagonal principal son iguales a 1.
𝐴 =
1 0 0
0 1 0
0 0 1
𝐶 =
1 0
0 1
𝐵 =
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
2. MATRICES ESPECIALES
Es una matriz cuadrada donde todos los elementos que se encuentran debajo de
la diagonal principal son ceros.
2.9. MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR
𝐴 =
1 2 5
0 3 8
0 0 9
𝐶 =
5 0
0 5
𝐵 =
1 5 3 9
0 1 1 5
0 0 1 8
0 0 0 1
EJEMPLOS:
2. MATRICES ESPECIALES
EJEMPLOS:
2.10. MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR
Es una matriz cuadrada donde todos los elementos que se encuentran encima de 
la diagonal principal son ceros. 
𝐴 =
1 0 0
2 2 0
1 5 3
𝐶 =
1 0
9 1
𝐵 =
1 0 0 0
3 1 0 0
6 5 1 0
9 5 9 1
Una matriz A es simétrica si se cumple que: 𝐴 = 𝐴𝑇
EJEMPLOS:
2.11. MATRIZ SIMÉTRICA
𝐴 =
1 2 5
2 2 4
5 4 7
𝐶 =
1 9
9 8
𝐵 =
1 3 6 9
3 2 5 7
6 5 1 4
9 7 4 8
2. MATRICES ESPECIALES
Una matriz A es antisimétrica si se cumple que: 𝐴 = −𝐴𝑇
EJEMPLOS:
2.12. MATRIZ ANTISIMÉTRICA
𝐴 =
0 − 2 5
2 0 4
−5 4 0
𝐶 =
0 − 9
9 0
𝐵 =
0 3 1 − 9
−3 0 − 5 7
−1 5 0 − 2
9 7 − 2 0
3. OPERACIONES CON MATRICES
EJEMPLOS:
𝐴 =
5 −3 2
7 0 −5
Es decir. Si Amxn y Bmxn, entonces:
3. 1. ADICIÓN Y/O SUSTRACCIÓN DE MATRICES
Para sumar y/o restar dos matrices, estas han de tener las mismas dimensiones y
se suman o se restan elemento a elemento.
𝐴 ± 𝐵 = 𝑎𝑖𝑗 𝑚×𝑛
± 𝑏𝑖𝑗 𝑚×𝑛
= 𝑎𝑖𝑗 + 𝑏𝑖𝑗 𝑚×𝑛
Sean las matrices: y 𝐵 =
7 −5 1
3 2 −1
𝐴 + 𝐵 =
5 −3 2
7 0 −5
+
7 −5 1
3 2 −1
=
𝐴 − 𝐵 =
5 −3 2
7 0 −5
−
7 −5 1
3 2 −1
=
12 −8 3
10 2 −6
, entonces:
−2 2 1
4 −2 −4
1)
2)
Las ventas en los meses de enero y febrero de una fábrica que produce tres tipos
de productos: A, B y C; distribuidas en cuatro tiendas
𝑇1, 𝑇2, 𝑇3, 𝑇4 están dadas en forma matricial:
3)
18 10 4
6 16 0
4
0
4
0
4
0
27 15 6
9 24 0
4
6
4
7
4
1
La matriz de ventas de enero (E) y febrero(F) es:
Febrero: 
9 5 2
3 8 0
0
6
0
7
0
1
Enero:
A B C A B C
𝐸 + 𝐹 =
9 5 2
3 8 0
0
6
0
7
0
1
+
18 10 4
6 16 0
4
0
4
0
4
0
E=
𝑇1
𝑇2
𝑇3
𝑇4
𝑇1
𝑇2
𝑇3
𝑇4
F=
=
3. OPERACIONES CON MATRICES
EJEMPLOS:
𝐴 =
7 −3 1
9 0 −2
Es decir. Si 𝛼 ∈ ℝ y Amxn, entonces:
3. 2. PRODUCTO DE UN NÚMERO POR UNA MATRIZ
Para multiplicar un número (escalar) 𝛼 ∈ ℝ por una matriz, se multiplica el
número a cada elemento de la matriz.
𝛼𝐴 = 𝛼 𝑎𝑖𝑗 𝑚×𝑛
= 𝛼𝑎𝑖𝑗 𝑚×𝑛
Sea el número 3 y la matriz: 3𝐴 =
21 −9 3
27 0 −6
, entonces:1)
2) Sea el número -5 y la matriz: 𝐵 =
1 − 2
−5 4
0 7
, entonces: −5𝐵 =
−5 10
25 − 20
0 − 35
3) Una fábrica de muebles hace mesas, sillas , y armarios, y cada uno de ellos en tres
modelos: económico (E), normal (N) y lujo (L).
La producción mensual es:
50 40 30
200 150 100
40 30 20
Mesas 
Sillas 
Armarios 
E N L
12
50 40 30
200 150 100
40 30 20
=
600 480 360
2400 1800 1200
480 360 240
La producción anual es:
3. OPERACIONES CON MATRICES
EJEMPLOS:
3. 3. PRODUCTO DE UNA MATRIZ FILA POR UNA MATRIZ COLUMNA
Para multiplicar una matriz fila por una matriz columna, se multiplican elemento a
elemento y se suman los productos obtenidos.
1)
2)
Sea la matriz fila 𝐴 = 3 7 2 y la matriz columna 𝐵 =
2
3
7
, halle 𝐴𝐵
𝐴𝐵 = 3 7 2
2
3
7
= 3 2 + 7 3 + 2 7 = 41
Calcule 𝐴𝐵, si 𝐴 = 1 3 7 y 𝐵 =
2
4
0
𝐴𝐵 = −1 3 9
3
4
0
= −1 3 + 3 4 + 9 0 = 9
Solución 
Solución: 
3. OPERACIONES CON MATRICES
3. 4. PRODUCTO DE DOS MATRICES
Para poder multiplicar dos matrices, se debe verificar dos condiciones:
El número de columnas de la primera matriz debe ser igual al número de filas de la
segunda matriz. Es decir: Si 𝑨𝒎×𝒏 y 𝑩𝒏×𝒑.
1°
2°Luego se multiplican las filas de la primera matriz por las columnas de la segunda
matriz. Ese producto consiste en multiplicar un elemento de la fila por el
correspondiente de la columna y sumar el resultado al resto de productos de
elementos de esa fila por esa columna.
3° 𝑨𝒎×𝒏. 𝑩𝒏×𝒑= 𝑪𝒎×𝒑
EJEMPLOS:
1) Calcule 𝐴𝐵 (si es posible), si:
Solución: 
𝑨 =
−2 3
4 − 5
y
Notemos que: 𝑨𝟐×𝟐. 𝑩𝟐×𝟐= 𝑪𝟐×𝟐
−2 3
4 −5
5 7
2 1
2x5 3x2 2x7 3x1
4x5 ( 5)x24x7 ( 5)x1
    
  
    
𝑩 =
5 7
2 1
Entonces:
EJEMPLOS:
Si, 𝐴 =
1 −2 −1
2 3 1
y 𝐵 =
2 − 1
−1 2
3 1
; halle 𝐴𝐵
Solución: 
2)
2 1
1 2 1
1 2
2 3 1
3 1
 
    
    
   
 
(1)(2) ( 2)( 1) ( 1)(3) (1)( 1) ( 2)(2) ( 1)(1)
(2)(2) (3)( 1) (1)(3) (2)( 1) (3)(2) (1)(1)
          
 
      
=
−3 −6
4 5
Notemos que: 𝑨𝟐×𝟑. 𝑩𝟑×𝟐= 𝑪𝟐×𝟐
En un edificio hay tres tipos de viviendas: 𝑉1, 𝑉2 y 𝑉3. Las viviendas 𝑉1 tienen
4 ventanas pequeñas y 3 grandes; las 𝑉2 tienen 5 ventanas pequeñas y 4 grandes,
y las 𝑉3, 6 pequeñas y 5 grandes.
Cada ventana pequeña tiene 2 cristales y 4 bisagras, y las grandes, 4 cristales y 6
bisagras. Halle la matriz que exprese el número de cristales y bisagras de cada
tipo de vivienda.
Solución: 
3)
Expresando la información en forma matricial:
𝑃 𝐺
𝐴 =
𝑉1
𝑉2
𝑉3
4
5
6
3
4
5
y
𝐶 𝐵
𝐵 =
𝑃
𝐺
2 4
4 6
Ahora hallando la matriz que expresa el número de cristales y bisagras de cada
tipo de vivienda:
𝐴. 𝐵 =
4
5
6
3
4
5
2 4
4 6
=
20
26
32
34
44
54
Tres empresas 𝐸1, 𝐸2, 𝐸3, necesitan cuatro materias primas 𝑃1, 𝑃2,𝑃3, 𝑃4.
El consumo mensual (en toneladas) de estas empresas se puede expresar mediante 
la matriz siguiente: 𝑃1 𝑃2 𝑃3 𝑃4
𝐴 =
7 13 37
30 23 15
25 16 7
6
10
5
𝐸1
𝐸2
𝐸3
En el primer trimestre del año 2018, los precios de estas materias primas, fueron:
Enero feb marzo
𝑃 =
12 12 31
3 26 15
9
21
10
30
26
50
𝑃1
𝑃2
𝑃3
𝑃4
Expresa mediante una matriz el gasto total de cada empresa cada mes.
4)