12 Guía 04 - b de integración

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INTEGRACIÓN DE EXPRESIONES DE LA FORMA : 
( )
( ) dx
xQ
xP
 DONDE Q(X) 
PRESENTA EXPRESIONES DE : SEN X y/o COS X. 
 
Cuando una integral racional presenta funciones trigonométricas, se recomienda expresar dicha 
integral en función de senos o cosenos para luego utilizar el siguiente triángulo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
De la identidad : 
Sen x = 2 Sen 





2
x
 Cos 





2
x
 y Cos x = Cos2 





2
x
 - Sen2 





2
x
 
 
De donde podemos obtener: 
 Sen x = 
2
1
2
z
z
+
 Cos x = 
2
2
1
1
z
z
+
−
 
Como Tg 
2
x
 = z → arctg(z) = 
2
x
 → 2 arctg (z) = x 
 
 
 
Ejemplo: 
Desarrollar: 
( ) + xcossenx
dx
 
 
Solución: 
2 z 
 
2 2z1+ 
1+ z 2 1- z 2 
2
x x 
2z1
dz2
dx
+
= 
 
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
C
21
2
x
tg
21
2
x
tg
Ln
2
1
 
C
21z
21z
Ln
2
1
- 
21z
21z
Ln
22
1
2- 
21z
1-zd
2- 
z1z2
dz
2 
z1z2
dz2
 
z1
z1
z1
z2
z1
dz2
xcossenx
dx
22
2
2
2
2
2
2
+
+−





−−





−=
+
+−
−−
=








+−
−−
=
−−
=
−+
=
−+
=
+
−
+
+
+=
+




 
 
NOTA : Cuando al expresar dicha integral en función de senos y cósenos, aparecen expresiones 
como sen2x y/o cos2x, es recomendable utilizar el siguiente triángulo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
De donde podemos obtener: 
 
2z1
z
x Sen
+
= → 
 
 Cos x = 
2z1
1
+
 → 
 
z 2
1 z+ 
1 
 x 
Cos2 x =
2z1
1
+
 
2
2
2
z1
z
xSen
+
= 
Como: 
 tg x = z → x = arctg (z) → 
 
Ejemplo: 
Desarrollar: 
( ) − xcosxsen
dx
22
 
 
Solución: 
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
C
1tgx
1tgx
Ln
2
1
 
C
1z
1z
Ln
2
1
 
1z
dz
 
z1
1
z1
z
z1
dz
xcosxsen
dx
2
22
2
2
22
+
+
−
=
+
+
−
=
−
=
+
−
+
+=
−


 
dx = 
2z1
dz
+
 
EJERCICIOS: 
Desarrolle las siguientes integrales: 
1) 
( ) + xbsena
dx
 2) 
( ) + x sen1
dx
 
3) 
( ) − senx1
dx
 4) 
( ) + x cos b a
dx
 
5) 
( )
−
2
xcos1
dx
 6) 
( )
+
2
x cos1
dx
 
7) 
( ) + xcos xsen
dx
 8) 
( )
( ) +
−
dx
xcosx sen
xcosx sen
 
9) 
( )
dx
 xsen 45
4
 +
 10) 
( ) − x sen 54
dx
 
11) 
( ) −
dx
4x sen 3
 xsen
 12) 
( )
( ) −
+
dx
x cos2
 xcos3
 
13) 
( ) +
dx
 xcos 45
 xcos
 14) 
( ) +
dx
x cos1
x tg
 
15) 
( ) − xcos 35
dx
 16) 
( )
( ) +
+
dx
x cosba
 xcos bx
 
17) 
( ) − 4xsen 31
dx
 18) 
( ) ++ 2xcosxen s
dx
 
19) 
( ) sen x 2- xcos
dx
 20) 
( ) ++ xcosx sen 22
dx
 
21) 
+
dx
xsenk1
x sen
22
 22) 
( ) + x cos1
dx
2
 
23) 
( ) +
dx
 xcos 8
xsen
3
3
 24) 
( ) − x sen1
dx
4
 
25) 
( ) + x tg1
dx
 26) 
( ) + xtgx sen
dx
22
 
27) 
( ) +
dx
 xcos 1
dx
2
 28) 
( ) ++ c x cos b sen x a
dx
 
29) 
( )
( ) +
+
dx
 xcos 3 sen x 2
 xcos 2 x sen3
 30) 
( ) +
dx
xtg3x ens
xcos
22
 
 
31) 
( ) + xcosbxsen a
dx
2222
 32) 
( ) ++ xsenxcos.senxx cos2
dx
22
 
33) 
( ) +− 5xcosxen s2
dx
 34) 
( )
( ) +
−
dx
xsen1
xcosxsen
2
22
 
35) 
( ) +−
dx
1xcos2x cos
xcos6
2
 36) 
( )
( ) +
−
dx
xsen1
xcosxsen
2
22
 
37) 
( ) −+ xcos5xcos.senx4x ens
dx
22
 38) 
( ) ( )
( ) ( ) −+−
−+
dx
x tg1x tg12
x2cos1x tg1
 
39) ( ) ( )
++
dx
xcos3x2cosxcosx ens
x4 sen
244 40)  sen x
dx
 
41) 
( ) − xen s2
dx
 42) 
( ) −+
dx
1xsecx tg 2
 xsec
 
43) 
( ) + x cos21
dx
 44) 
( ) −3xsec5
dx
 
45) 
( ) − xcosbx ensa
dx
2222
 46) 
( ) ++ xcos3x sen 53
dx
 
47) 
( )
( )
dx
xen s1
xcos1
 +
−
 48) 
( )
( ) −
+
dx
xsenxcos
xsenxcos
22
44
 
49) 
( )
( ) +
+
dx
xcos1
senxx
 50) 
( ) ++ x ctg 4x tg4
dx
 
51) 
( ) + x sen bx cos a
dx
 52) 
( ) ++ xsenx ctg 4x tg2
dx
 
53) 
( )
−
dx
xcosx ens
xcos
33
 54) 
( ) + xsenxcos2
dx