des olimpiadas 2019-85

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Nuestro siguiente objetivo será calcular el valor del radio de la 
circunferencia amarilla, que denotaremos por 𝑅. En la figura, 𝐶1 es 
el centro de dicha circunferencia y 𝑇1 es el punto de tangencia de 
dicha circunferencia con el arco 𝐴𝐶. 
Se tiene que el triángulo Δ𝑀𝐵𝐶1 es rectángulo, por lo que 
podremos aplicar de nuevo el Teorema de Pitágoras. Veamos 
cuánto mide cada uno de sus lados: 
 𝑀𝐵 = 40, por ser la mitad del cuadrado inicial. 
 𝑀𝐶1 = 𝑀𝑁 + 𝑁𝐶1 = 48 + 𝑅. 
 𝐵𝐶1 = 𝐵𝑇1 − 𝑇1𝐶1 = 80 − 𝑅. 
Así: 
𝑀𝐵2 + 𝑀𝐶1
2 = 𝐵𝐶1
2 ⇒ 402 + (48 + 𝑅)2 = (80 − 𝑅)2 ⇒ 
1600 + 2304 + 96𝑅 + 𝑅2 = 6400 − 160𝑅 + 𝑅2 ⇒ 
⇒ 96𝑅 + 160𝑅 + 𝑅2 − 𝑅2 = 600 − 1600 − 2304 ⇒ 
256𝑅 = 2496 ⇒ 𝑅 =
2496
256
=
39
4
= 9.75 
La longitud del radio de la circunferencia mayor (amarilla) es 𝑹 = 𝟗. 𝟕𝟓 𝒎𝒎. 
Por último, calcularemos el radio de la circunferencia naranja, al 
que llamaremos 𝑟. Así, 𝐶2 es el centro de dicha circunferencia y 𝑇2 
es el punto de tangencia de dicha circunferencia con el arco 𝐴𝐶. 
Se tiene que el triángulo Δ𝑀𝐵𝐶2 es rectángulo, por lo que 
podremos aplicar de nuevo el Teorema de Pitágoras. Veamos 
cuánto mide cada uno de sus lados: 
 𝑀𝐵 = 40, por ser la mitad del cuadrado inicial. 
 𝑀𝐶2 = 𝑀𝑃 − 𝑃𝐶2 = 80 − 𝑟. 
 𝐵𝐶2 = 𝐶𝑇2 + 𝑇2𝐵 = 80 + 𝑟 
Así: 
𝑀𝐵2 + 𝑀𝐶2
2 = 𝐵𝐶2
2 ⇒ 402 + (80 − 𝑟)2 = (80 + 𝑟)2 
 1600 + 6400 − 160𝑟 + 𝑟2 = 6400 + 160𝑟 + 𝑟2 ⇒ 
𝑟2 − 𝑟2 − 160𝑟 − 160𝑟 = 6400 − 1600 − 6400 ⇒ 
−320𝑟 = −1600 ⇒ 𝑟 =
−1600
−320
= 5 
La longitud del radio de la circunferencia pequeña (naranja) es 𝒓 = 𝟓 𝒎𝒎. 
 
Análisis del problema. 
Como podemos apreciar, el nivel de dificultad de este problema es más alto respecto al resto 
de situaciones que se plantean en este libro, ya que a la hora de resolverlo es necesario poner 
en común tanto conocimientos de geometría como de álgebra. Sin embargo, este problema