- MCD MCM

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REVISIÓN DE CONCEPTOS BÁSICOS − CIENCIAS 1 
Semana 5 
Máximo Común Divisor 
Mínimo Común Múltiplo 
 
CUADRADO MÁGICO 
Los antecedentes más lejanos que se tienen de los 
cuadrados mágicos se remontan a la milenaria 
China, hacia el 2200 a.C. El Lo Shu es el cuadrado 
mágico más antiguo que se conoce. 
Otro cuadrado mágico famoso es el que aparece en 
el lado superior derecho de la obra “Melancolía” del 
famoso artista del Renacimiento Alberto Durero 
(Alemania, 1471 – 1528). 
Se llama orden de un cuadrado mágico al número 
de filas (o de columnas) que tiene la matriz que lo 
representa. Así, el Lo Shu es de orden 3, mientras 
que el cuadrado mágico que aparece en la 
“Melancolía” de Durero es de orden 4. 
 
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¿SABÍAS QUÉ? … 
LOS ZURDOS SON EXCELENTES PARA LOS 
CÁLCULOS 
Los estudios de las habilidades de zurdos y diestros para 
resolver tareas matemáticas atribuyen el desempeño 
superior de los zurdos a no estar especializados en el 
hemisferio derecho, como sucede con los diestros. Las 
áreas del cerebro que los zurdos emplean para procesar 
las matemáticas están distribuidas en forma más amplia 
en ambos hemisferios. Su superioridad procede de una 
ventaja de procesamiento de “más cerebro” sobre los 
diestros para la computación y los cálculos matemáticos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
JUEGOS PARA EJERCITAR EL CEREBRO 
Allen D. Bragdon y David Gamo, Ph.D. 
 
PENSAR INCREMENTA EL FLUJO DE SANGRE 
AL CEREBRO 
Por años, los científicos pensaron que era constante el 
flujo de sangre al cerebro, pero estudios recientes 
demuestran que el flujo de sangre al cerebro aumenta 
cuando piensa. Con el fin de pensar, el cerebro debe 
crear energía. La energía se crea descomponiendo 
glucosa, y para hacerlo, se necesita oxígeno fresco de la 
sangre. Después de que se descompone la glucosa, se 
liberan los subproductos del metabolismo y rápidamente 
los toma la sangre y los retira del cerebro. El cuerpo 
sabe con exactitud qué partes del cerebro requieren 
sangre extra. Aumentará el flujo de sangre hacia el área 
especializada para el problema que se esté resolviendo. 
Los estudios con tomografía de emisión de positrones 
muestran que el flujo de sangre aumenta más en el lado 
izquierdo del cerebro para analogías y más en el lado 
derecho para pruebas que requieren razonamiento 
espacial. 
JUEGOS PARA EJERCITAR EL CEREBRO 
Allen D. Bragdon y David Gamo, Ph.D. 
 
 
2 C E P R E P U C 2021.0 
 
MCD − MCM 
 
DEFINICIONES 
 
 
 
 
 
NOTACIÓN 
 
 
 
 
 
IMPORTANTE: El MCD y el MCM siempre son números naturales. 
 
Ejemplos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MÉTODOS DE CÁLCULO 
 
1. POR DESCOMPOSICIÓN EN FACTORES PRIMOS 
El MCD está dado por el producto de los factores primos comunes elevados al menor exponente. 
El MCM está dado por el producto de los factores primos comunes y no comunes elevados al mayor 
exponente. 
 
Ejemplo 
 
 Halla el MCD y el MCM de 120; 180 y 2100. 
 
 120 = 2 3
x 3 x 5 
 180 = 2 2
x 3 2
x 5 
 2100 = 2 2
x 3 x 5 2
x 7 
 
 Entonces: MCD (120; 180; 2100) = 2 2
x 3 x 5 = 60 
 MCM (120; 180; 2100) = 2 3
x 3 2 x 5 2
x 7 = 12 600 
 
El máximo común divisor de dos o más 
números naturales es el mayor de los divisores 
comunes de dichos números. 
El mínimo común múltiplo de dos o más 
números naturales es el menor de los múltiplos 
comunes positivos de dichos números. 
El máximo común divisor de a, b, c y d se 
denota por MCD (a; b; c; d). 
El mínimo común múltiplo de a, b, c y d se 
denota por MCM (a; b; c; d). 
 
Divisores de 9: D9 = { 1; 3; 9 } 
Divisores de 18: D18 = { 1; 2; 3; 6; 9; 18 } 
Divisores comunes: 
 D9  D18 = { 1; 3; 9 } 
El mayor es 9, luego el MCD (9; 18) = 9. 
 
 
Múltiplos de 2: 
 M2 = { 0; 2; 4; 6; 8; 10; 12; 14; … } 
Múltiplos de 3: 
 M3 = { 0; 3; 6; 9; 12; 15; 18; … } 
Múltiplos comunes positivos: 
 M2  M3 = { 6; 12; 18; … } 
El menor es 6, luego el MCM (2; 3) = 6. 
 
REVISIÓN DE CONCEPTOS BÁSICOS − CIENCIAS 3 
 
2. POR DESCOMPOSICIÓN SIMULTÁNEA 
 
Se escriben los números naturales cuyo MCD se desea encontrar, uno a continuación del otro. Se dividen 
todos estos números por el menor factor primo común a todos ellos. Los cocientes que se obtienen se 
dividen por otro factor primo común a todos ellos y así sucesivamente hasta que los cocientes resultantes 
sean primos entre sí. El MCD es el producto de los primos comunes. Si a continuación se sigue dividiendo 
los números hasta que todos los resultados sean iguales a uno, el MCM es el producto de todos los 
factores. 
 
Ejemplos 
 
 Halla el MCD y el MCM de los números 12; 54 y 90. 
 
12 54 90 2 
 6 27 45 3 
 2 9 15 2 
 1 9 15 3 
 1 3 5 3 
 1 1 5 5 
 1 1 1 
 
 
Ejemplos 
1. Por descomposición en factores primos. 2. Por descomposición simultánea 
 A = 2 x 3 4 x 7 x 11 
 
 B = 2 4 x 3 2 x 5 4 x 7 2 
 
 C = 2 3 x 3 3 x 5 3 x 7 3 x 13 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 1365 − 1190 − 5005 
 
 
 
MCD (12; 54; 90) = 2 x 3 = 6 
MCM (12; 54; 90) = 2 2
x 3 3
x 5 = 540 
 
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PROPIEDADES 
1. El MCD de dos números divisibles entre sí es el 
menor de ellos. 
Ejemplo: 
A es múltiplo de B. 
MCD (A; B) = B 
MCD (9; 18) = 9 
El MCM de dos números divisibles entre sí es el 
mayor de ellos. 
Ejemplo: 
A es múltiplo de B 
MCM (A; B) = A 
MCM (6; 36) = 36 
2. Todo divisor común de dos o más números es 
divisor de su MCD. 
Ejemplo: 
3 es divisor del MCD (9; 18) = 9 
Todo múltiplo común de dos o más números es 
múltiplo de su MCM. 
Ejemplo: 
12 es múltiplo del MCM (2; 3) = 6. 
3. El MCD de dos números primos relativos es la uni-
dad. 
Si A y B primos relativos MCD(A; B) = 1 
Ejemplo: 
4 y 15 son P.E.S., entonces: 
MCD (4; 15) = 1. 
El MCM de dos primos relativos es igual al 
producto de dichos números. 
Si A y B primos relativos MCM(A; B) = AB 
Ejemplo: 
6 y 25 son P.E.S., entonces: 
MCM (6; 25) = 150. 
4. Los cocientes de dividir dos números entre su 
MCD son primos entre sí. 
Ejemplo: Sean los números 24 y 18. 
El MCD (24; 18) = 6, luego: 
)18;24(MCD
24
= 4 y 
)18;24(MCD
18
= 3 
entonces 4 y 3 son P.E.S. 
Los cocientes de dividir el MCM de dos números 
entre los mismos son primos entre sí. 
Ejemplo: Sean los números 30 y 42. 
El MCM (30; 42) = 210, luego: 
30
)42;30(MCM
 = 7 y 
42
)42;30(MCM
 = 5 
 entonces 7 y 5 son P.E.S. 
5. MCD (kA; kB) = k MCD (A; B) 
Ejemplo: Sean los números 52 800 y 43 200. 
MCD (52 800; 43 200) = 100 MCD (528; 432) 
 = 100(48) 
 = 4800 
MCM (kA; kB) = k MCM (A; B) 
Ejemplo: Sean los números 600 y 700. 
MCM (600; 700) = 100 MCM (6; 7) 
 = 100(42) 
 = 4 200 
6. Para dos números naturales positivos A y B, 
MCD (A; B) x MCM (A; B) = A x B. 
Ejemplo: Sean los números 2 y 4, el MCD (2; 4) = 2 y el MCM (2; 4) = 4. 
 Entonces: MCD (2; 4) x MCM (2; 4) = 8 = 4 x 2 
 
 
 
REVISIÓN DE CONCEPTOS BÁSICOS − CIENCIAS 5 
 Problemas 
1. Calcula AB si se conoce lo siguiente: 
MCD(34A; 51B) = 85 
MCM(16A; 24B) = 192 
 
2. ¿Cuántos divisores comunes tienen 180 y 
252? 
 
3. En un almacén hay tres lotes de 140; 168 y 224 
lapiceros. Cada lote debe colocarse en cajas que 
contengan la misma cantidad de lapiceros. 
 a. ¿Cuántos lapiceros debe contener cada caja si 
esta debe ser la mayor cantidad posible? 
 
 
 
 
 
 
 
 b. ¿Cuántas cajas serán necesarias si la cantidad 
de lapicero por cada caja debe ser la mayor 
posible? 
4. Un terreno rectangular tiene por dimensiones 
180 m y 234 m, y se desea dividirlo en lotes 
cuadrados. ¿Cuál debe ser la longitud del 
lado de cada lote y cuántos lotes se 
obtendrán: 
 a. si la longitud del lado es la mayor posible? 
 
 
 
 
 
 
 b. si la longitud del lado está entre 8 m y 12 
m? 
 
 
6 C E PR E P U C 2021.0 
 
5. Leopoldo ha decidido visitar a sus padres 
después de algunos años de residencia en los 
Estados Unidos. Sus padres están en el Perú al 
igual que sus tres hermanos, los cuales visitan 
a sus padres con cierta frecuencia. Si el 2 de 
septiembre Leopoldo se enteró que ese día sus 
hermanos habían coincidido en la casa de sus 
padres y al charlar con ellos supo que ellos los 
visitan cada 6; 9 y 12 días, respectivamente. 
¿En qué fecha debe retornar al Perú si su 
intención es reunirse con sus padres y 
hermanos? 
 
6. Un terreno tiene forma triangular y sus lados 
miden 144 m, 180 m y 240 m. En el contorno 
de dicho terreno se ha plantado árboles 
igualmente espaciados. Si en cada vértice 
hay un árbol, ¿cuántos árboles se necesita 
como mínimo para cercar el terreno? 
7. Un terreno rectangular de 264 m de largo y 168 
m de ancho se divide en parcelas cuadradas 
iguales de área máxima sin que sobre terreno. 
Si en cada esquina de las parcelas se planta un 
árbol y cada uno de ellos cuesta $ 28, ¿cuánto 
se gasta en total en plantar los árboles? 
8. Un albañil dispone de ladrillos iguales que tienen 
forma de paralelepípedo rectangular cuyas 
dimensiones son 8 cm, 12 cm y 20 cm. Con 
estos ladrillos, construye un cubo compacto cuya 
arista mide entre 3,2 m y 3,8 m. ¿Cuántos 
ladrillos utilizó para construir dicho cubo? 
 
 
REVISIÓN DE CONCEPTOS BÁSICOS − CIENCIAS 7 
 
9. Un comerciante de frutas desea almacenar un 
lote de piñas en cajas de manera que cada caja 
contenga exactamente la misma cantidad de 
estas frutas. Entonces descubre que, si colocara 
12 piñas en cada caja, le sobrarían 5. Por otro 
lado, si cada caja contuviera 15 piñas, sobrarían 
8. Calcula la cantidad de piñas que contiene el 
lote si se sabe que son más de 500 y menos de 
580. 
10. Si A y B son números naturales y positivos, 
indique cuáles de las siguientes afirmaciones 
son verdaderas: 
I. Si A y B son números primos y diferentes 
entonces MCM(A;B) es impar. 
II. Si A – B > 2, entonces MCD(A;B) > 1 
III. Si MCD (A;B) = d, entonces A + B es 
múltiplo de d.