ECUACIONES DE PRIMER GRADO, SISTEMAS DE ECUACIONES

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¡BIENVENIDOS!
Hoy revisaremos los 
siguientes temas: 
• ECUACIONES DE PRIMER GRADO
• SISTEMAS DE ECUACIONES
CONTENIDO DE LA CLASE
 DEFINICIÓN Y CLASIFICACIÓN DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO
 Definición
 Clasificación
 Ecuaciones de primer grado con una variable
 Ejemplos
CONTENIDO DE LA CLASE
 SISTEMAS DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO
 Definición
 Resolución de sistema de ecuaciones de primer grado
 Ejemplos
 Clasificación
Las ecuaciones son igualdades condicionales que se cumplen para algunos valores
particulares de sus variables o incógnitas.
CLASIFICACIÓN DE LAS ECUACIONES
 SEGÚN EL GRADO
 Ecuaciones de primer grado
4𝑥 − 3 = 5Ejemplo:
 Ecuaciones de segundo grado
Ejemplo: 𝑥2 − 3𝑥 + 2 = 0
DEFINICIÓN Y CLASIFICACIÓN
 SEGÚN EL TIPO DE COEFICIENTES
 Numéricos
5𝑥 + 4 = 3𝑥 + 1Ejemplo:
 Literales
Ejemplo: 𝑎𝑥 + 𝑏 = 𝑐
 SEGÚN EL NÚMERO DE INCÓGNITAS
 Una incógnita
3𝑥 + 1 = 𝑥 + 7Ejemplo:
 Dos incógnitas
2𝑥 + 3𝑦 = 5Ejemplo:
 Tres incógnitas
𝑥 − 2𝑦 − 3𝑧 = 1Ejemplo:
DEFINICIÓN Y CLASIFICACIÓN
Ecuación de 
primer grado y 
una incógnita
Ecuación 
compatible
¿La ecuación tiene 
solución?
¿Cuántas soluciones tiene?
Ecuación 
compatible 
determinada
Ecuación 
compatible 
indeterminada
Ecuación 
incompatible
0 𝑥 = 𝑛, 𝑛 ≠ 0
Sí No
Una solución Infinitas soluciones
 SEGÚN LAS SOLUCIONES
0 𝑥 = 0𝑎 𝑥 = 𝑏, 𝑎 ≠ 0, 𝑏 ∈ ℝ
DEFINICIÓN Y CLASIFICACIÓN
Ejemplo: 3𝑥 + 1 = 𝑥 + 7 ⟹ 𝑥 = 3
C.S. = { 3 }
Tiene una sola solución.
Ejemplo: 2𝑥 − 3 = 1 + 𝑥 + 𝑥 − 4 ⟹ 0𝑥 = 0
es verdadero, entonces tiene infinitas 
soluciones. 
Cualquier 𝑥 ℝ es solución.
𝑥
2
+
𝑥
3
=
5𝑥
6
+ 1 ⟹ 0𝑥 = 1
𝐶. 𝑆. = ∅
Es falso, absurdo, no existe 𝑥  ℝ
que sea solución.
0 𝑥 = 0
0 𝑥 = 𝑛, 𝑛 ≠ 0
𝑎 𝑥 = 𝑏, 𝑎 ≠ 0, 𝑏 ∈ ℝ
𝐶. 𝑆. = ℝ
ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA
Compatibles
Determinadas
Indeterminadas
Incompatibles
Ejemplo:
Ejemplos
Solución:
1. Resuelve:
𝑥 + 1
3
−
𝑥
4
=
1
2
𝐶. 𝑆. = 2
Multiplicamos por M.C.M 3; 4; 2 = 12𝑥 + 1
3
−
𝑥
4
× 12 =
1
2
× 12
4 𝑥 + 1 − 3𝑥 = 6
4𝑥 + 4 − 3𝑥 = 6
𝑥 = 2
Solución:
2. Resuelve:
2𝑥 + 3 = 7 − (4 − 2𝑥)
2𝑥 + 3 = 7 − 4 + 2𝑥
3 = 3 (𝑣𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒𝑟𝑜)
𝐶. 𝑆. = ℝ
5𝑥 + 7 = 4𝑥 − (2 − 𝑥)
Solución:
5𝑥 + 7 = 4𝑥 − 2 + 𝑥
7 = −2 (𝑓𝑎𝑙𝑠𝑜)
𝐶. 𝑆. = 𝜙
a. b.
Solución:
3. Resuelve:
3𝑥 − 2 2𝑥 − 5 = 2 𝑥 + 3 − 8
𝐶. 𝑆. = 4
3𝑥 − 4𝑥 + 10 = 2𝑥 + 6 − 8
−𝑥 + 10 = 2𝑥 − 2
12 = 3𝑥
𝑥 = 4
Solución:
4. Resuelve:
𝐶. 𝑆. = −
1
2
8 2𝑥 − 1 − 𝑥 + 13 = 72𝑥 + 15(𝑥 + 1)
2𝑥 − 1
3
−
𝑥 + 13
24
= 3𝑥 +
5(𝑥 + 1)
8
Multiplicamos por M. C.M 3;24; 8 = 24
24 ×
2𝑥 − 1
3
−
𝑥 + 13
24
= 24 × 3𝑥 +
5 𝑥 + 1
8
16𝑥 − 8 − 𝑥 − 13 = 72𝑥 + 15𝑥 + 15
15𝑥 − 21 = 72𝑥 + 15𝑥 + 15
−36 = 72𝑥
𝑥 = −
1
224 ×
2𝑥 − 1
3
− 24 ×
𝑥 + 13
24
= 24 3𝑥 + 24 ×
5(𝑥 + 1)
8
Solución:
5. Se conoce la siguiente ecuación en la variable x:
𝑎𝑥 + 2 = 7𝑥 − 3𝑏
= 0
i) Halla los valores de a y b para que la
ecuación sea compatible indeterminada
ii) Halla los valores de a y b para que la
ecuación sea incompatible.
𝑎𝑥 + 2 = 7𝑥 − 3𝑏
𝑎𝑥 − 7𝑥 = −3𝑏 − 2
𝑥(𝑎 − 7) = −3𝑏 − 2
≠ 0
𝑎 = 7 𝑏 = −
2
3
= 0
Solución:
= 0
𝑎𝑥 + 2 = 7𝑥 − 3𝑏
𝑎𝑥 − 7𝑥 = −3𝑏 − 2
𝑥(𝑎 − 7) = −3𝑏 − 2
𝑎 = 7 𝑏 ≠ −
2
3
Sistema de ecuaciones 
de primer grado
DEFINICIÓN 
Es el conjunto de ecuaciones de primer grado que se verifican para los mismos 
valores de sus incógnitas o variables.
2 + 𝑥 = 17 − 3𝑦
6𝑥 − 2𝑦 = 16 + 𝑥
Sistema de dos ecuaciones
en las variables 𝑥 e 𝑦
3𝑥 + 5𝑦 = 50
2𝑦 − 5𝑧 = 16
6𝑥 − 2𝑧 = 8
Sistema de tres ecuaciones
en las variables 𝑥, 𝑦; 𝑧
3𝑎 + 5𝑏 = 50
6𝑎 − 2𝑏 = 16
Sistema de dos ecuaciones
en las variables 𝑎 y 𝑏
Ejemplos:
DEFINICIÓN
Ejemplo: 
Conjunto solución(C.S.) 
𝐶. 𝑆. = {(5; 7)}
Es el conjunto formado por los valores de 
las variables que verifican las ecuaciones.
el Conjunto Solución es
Forma general de un sistema de ecuaciones
en las variables 𝒙 e 𝒚.
𝑚 𝑥 + 𝑛 𝑦 = 𝑝
𝑎 𝑥 + 𝑏 𝑦 = 𝑐
𝑎; 𝑏; 𝑐; 𝑚; 𝑛; 𝑝 ∶ 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑒𝑠
𝑥; 𝑦 ∶ 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠 𝑎 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟
En la mayoría de casos, es recomendable ordenar 
el sistema de la siguiente forma:
3𝑥 + 5𝑦 = 50
6𝑥 − 2𝑦 = 16
Donde
En el sistema
Es decir 𝑥 = 5 e 𝑦 = 7
Clasificación
𝑥 + 𝑦 = 4
𝑥 − 𝑦 = 2
𝐶. 𝑆. = { 3; 1 }
2𝑥 + 4𝑦 = 4
𝑥 + 2𝑦 = 2
𝐶. 𝑆. = { 2 − 2𝑡; 𝑡 , 𝑡 𝜖 ℝ}
𝑥 + 𝑦 = 2
𝑥 + 𝑦 = 3
𝐶. 𝑆. = 𝜙
Ejemplo:
Ejemplo: Ejemplo:
CLASIFICACIÓN
𝑎 𝑥 + 𝑏 𝑦 = 𝑐
𝑚 𝑥 + 𝑛 𝑦 = 𝑝
Compatible
Incompatible
El sistema:
¿Tiene solución? No
Número limitado
de soluciones
El sistema no 
tiene soluciónInfinitas soluciones
Determinado Indeterminado
Sí
CLASIFICACIÓN
𝑎 𝑥 + 𝑏 𝑦 = 𝑐
𝑚 𝑥 + 𝑛 𝑦 = 𝑝
Compatible
Incompatible
El sistema:
¿Tiene solución? No
Número limitado
de soluciones
El sistema no 
tiene soluciónInfinitas soluciones
Determinado Indeterminado
𝑎
𝑚
≠
𝑏
𝑛
𝑎
𝑚
=
𝑏
𝑛
=
𝑐
𝑝
𝑎
𝑚
=
𝑏
𝑛
≠
𝑐
𝑝
Se cumple Se cumple Se cumple
Sí
Resolución
MÉTODOS DE RESOLUCIÓN
Resolver el sistema:
2𝑥 + 9𝑦 = 20
3𝑥 − 6𝑦 = −9
4𝑥 + 18𝑦 = 40
9𝑥 − 18𝑦 = −27
13𝑥 = 13
× 2
2(1) + 9𝑦 = 20
𝐶. 𝑆. = {(1; 2)}
 MÉTODO DE ELIMINACIÓN
………… (1)
………… (2) × 3
2(2𝑥) + 2(9𝑦) = 2(20)
3(3𝑥) − 3(6𝑦) = 3(−9)
𝑥 = 1
𝑦 = 2
MÉTODOS DE RESOLUCIÓN
Resolver el sistema:
2𝑥 − 3𝑦 = 4
𝑥 − 2𝑦 = 0
2 2𝑦 − 3𝑦 = 4
𝑦 = 4
𝑥 = 2(4)
𝐶. 𝑆. = {(8; 4)}
 MÉTODO DE SUSTITUCIÓN
………… (1)
………… (2)
Reemplazamos: 𝑥 = 8
De (2): 𝑥 = 2𝑦
2𝑥 − 3𝑦 = 4
MÉTODOS DE RESOLUCIÓN
Resolver el sistema:
𝑦 − 3 = 5𝑥 − 7
𝑦 + 2 = 2(𝑥 + 5)
𝑥 = 4
𝐶. 𝑆. = {(4; 16)}
 MÉTODO DE IGUALACIÓN
………… (1)
…………(2)
Despejamos 𝑦 :
𝑦 = 5𝑥 − 4
𝑦 = 2𝑥 + 8
5𝑥 − 4 = 2𝑥 + 8
𝑦 = 5𝑥 − 4
𝑦 = 5 4 − 4
𝑦 = 16
De (1):
De (2):
Ejemplos
Solución:
1. Resuelve:
4 𝑥 − 2 + 3𝑦 = 10
2 𝑥 − 1 − 𝑦 = 2 𝑦 + 1 − 4
………… (1)
…………(2)
De 1 : 4𝑥 − 8 + 3𝑦 = 10
4𝑥 + 3𝑦 = 18
De 2 : 2𝑥 − 2 − 𝑦 = 2𝑦 + 2 − 4
2𝑥 = 3𝑦
Reemplazamos:
4𝑥 + 2𝑥 = 18
6𝑥 = 18 𝑥 = 3
2(3) = 3𝑦 𝑦 = 2
𝐶. 𝑆. = 3; 2
4𝑥 + 3𝑦 = 18
Solución:
2. Resuelve:
3
𝑥
+
5
𝑦
= 2 ………… (1)
………… (2)
× 2
Reemplazamos:
𝑦 = 5
𝑥 = 3
𝐶. 𝑆. = 3; 5
9
𝑥
−
10
𝑦
= 1
6
𝑥
+
10
𝑦
= 4
9
𝑥
−
10
𝑦
= 1
15
𝑥
= 5
9
3
−
10
𝑦
= 1
3 −
10
𝑦
= 1
10
𝑦
= 2
+
Solución:
3. Resuelve:
1
𝑥 + 2
+
1
𝑦 − 1
=
5
6
………… (1)
………… (2)
𝑦 = 4
𝑥 = 0
𝐶. 𝑆. = 0; 4
1
𝑥 + 2
=
1
2
2
𝑥 + 2
+
3
𝑦 − 1
= 2
3
𝑥 + 2
+
3
𝑦 − 1
=
5
2
2
𝑥 + 2
+
3
𝑦 − 1
= 2
1
0 + 2
+
1
𝑦 − 1
=
5
6
1
2
+
1
𝑦 − 1
=
5
6
1
𝑦 − 1
=
1
3
× 3
−
Reemplazamos:
Solución:
4. Resuelve:
𝑥 + 𝑦 = 18
z = 5
𝐶. 𝑆. = 11; 7; 5
18
𝑥 + 𝑧 = 16
𝑦 + 𝑧 = 12
𝑥 + 𝑦 = 18
𝑥 + 𝑧 = 16
𝑦 + 𝑧 = 12
2(𝑥 + 𝑦 + 𝑧) = 46
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 23
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 23
𝑦 = 7
𝑥 = 11
+
Solución:
5. Se conoce el siguiente sistema de ecuaciones en las variables x e y :
(𝑎 + 𝑏)𝑥 + 𝑎𝑦 = 8
Si 𝑥 = 3 ˄ 𝑦 = −2 , halla los valores de a y b.
(𝑎 − 𝑏)𝑥 + (𝑏 + 2)𝑦 = 6
𝑥 = 3 𝑦 = −2
3 𝑎 + 𝑏 − 2𝑎 = 8
𝑎 + 3𝑏 = 8
3 𝑎 − 𝑏 − 2(𝑏 + 2) = 6
3𝑎 − 5𝑏 = 10
……(1)
……(2)
3𝑎 + 9𝑏 = 24
3𝑎 − 5𝑏 = 10
14𝑏 = 14 𝑏 = 1
𝑎 + 3(1) = 8 𝑎 = 5
𝑎 + 3𝑏 = 8 × 3……(1)
……(2)
−
Solución:
6. Resuelve:
2𝑥 − 3𝑦
3𝑥 − 4𝑦
=
3
5
………… (1)
………… (2)
De 1 :
8𝑦 = 8
𝐶. 𝑆. = 3; 1
5(2𝑥 − 3𝑦) = 3(3𝑥 − 4𝑦)
3 3𝑦 = 𝑦 + 8
𝑥 − 2
𝑦 + 2
=
1
3
10𝑥 − 15𝑦 = 9𝑥 − 12𝑦
𝑥 = 3𝑦
De 2 : 3 𝑥 − 2 = 𝑦 + 2
3𝑥 − 6 = 𝑦 + 2
3𝑥 = 𝑦 + 8
Reemplazamos:
𝑦 = 1
𝑥 = 3𝑦
3𝑥 = 𝑦 + 8
𝑥 = 3(1) 𝑥 = 3