- PRODUCTOS NOTABLES

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¡BIENVENIDOS!
Hoy revisaremos el 
siguiente tema: 
PRODUCTOS NOTABLES
CONTENIDO DE LA CLASE
 PRODUCTOS NOTABLES
 Propiedades 
 Ejemplos
PRODUCTOS NOTABLES
EJEMPLO 1 DEL MANUAL DE MATEMÁTICAS 
BINOMIO AL CUADRADO
(𝑎 + 𝑏)2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2
1er Término
al cuadrado
El doble producto 
del 1er T. por el 
2do T.
2do Término
al cuadrado (3𝑥 + 5)2
= 9𝑥2 + 30𝑥 + 25
a) = (3𝑥)2 + 2 3𝑥 (5) + (5)2
1er Término:
2do Término:
𝑎
𝑏
Mismo signo
(𝑎 − 𝑏)2 = 𝑎2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏2
Mismo signo
1er Término:
2do Término:
3𝑥
5
1er Término
al cuadrado
El doble producto del 
1er T. por el 2do T.
2do 
Término
al cuadrado
Mismo signo
(3𝑥 − 2𝑦)2b) = (3𝑥)2 − 2 3𝑥 (2𝑦) + (2𝑦)2
= 9𝑥2 − 12𝑥𝑦 + 4𝑦2
DIFERENCIA DE CUADRADOS
1er Término:
2do Término:
1er Término
al cuadrado
2do Término
al cuadrado
𝑎 + 𝑏 𝑎 − 𝑏 = 𝑎2 − 𝑏2
Suma y 
Diferencia
𝑎
𝑏
menos
c) 4𝑥 + 1 4𝑥 − 1
= 16𝑥2 − 1Suma y 
Diferencia
= (4𝑥)2 − (1)2
1er Término
al cuadrado
2do Término
al cuadrado
1er Término:
2do Término:
4𝑥
1
menos
PRODUCTOS NOTABLES
1er T.
al cubo
2do T.
al cubo
BINOMIO AL CUBO
(𝑎 + 𝑏)3= 𝑎3 + 𝑏3 + 3𝑎𝑏(𝑎 + 𝑏)
(𝑎 − 𝑏)3= 𝑎3 − 𝑏3 − 3𝑎𝑏(𝑎 − 𝑏)
Prod. Suma
1er Término:
2do Término:
𝑎
𝑏
Prod. Dif.
1er T.
al cubo
d) (2𝑥 + 1)3
= 8𝑥3 + 1 + 6𝑥(2𝑥 + 1)
= 8𝑥3 + 1 + 12𝑥2 + 6𝑥
= 8𝑥3 + 12𝑥2 + 6𝑥 + 1
Prod Suma
= (2𝑥)3+ 13 + 3(2𝑥)(1)(2𝑥 + 1)
1er Término: 2𝑥
2do Término: 1 2do T.
al cubo
PRODUCTOS NOTABLES
DIFERENCIA DE CUBOS
SUMA DE CUBOS
𝑎 + 𝑏 𝑎2 − 𝑎𝑏 + 𝑏2 = 𝑎3 + 𝑏3
Mismo signo
Signos 
Opuestos
𝑎 − 𝑏 𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑏2 = 𝑎3 − 𝑏3
Signos 
Opuestos
2𝑎 + 3 4𝑎2 − 6𝑎 + 9e)
= 2𝑎 3 + 33
= 8𝑥3 + 27
= (2𝑎 + 3)( 2𝑎 2 − 2𝑎 3 + 32)
Suma de Cubos
Signos Opuestos
1er T al cuadrado, 
Producto del 1er T y el 
2do T, 2do T. al cuadrado
1er T. al 
cuadrado
2do T. al 
cuadrado
Producto 
Del 1er
y 2do T.
Mismo signo
1er T. al 
cuadrado
2do T. al 
cuadrado
Producto 
Del 1er
y 2do T.
1er Término: 𝑎
2do Término: 𝑏
1er Término:2𝑎
2do Término: 3
PRODUCTOS NOTABLES
TRINOMIO AL CUADRADO
(𝑎 + 𝑏 + 𝑐)2
El doble producto de 
las combinaciones de 
dos en dos
Suma de los 
cuadrados de los tres 
Términos
(𝑥 − 2𝑦 − 3𝑧)2
Ejemplo:
= 𝑥2 + −2𝑦 2 + −3𝑧 2
= 𝑥2 + 4𝑦2 + 9𝑧2 − 4𝑥𝑦 − 6𝑥𝑧 + 12𝑦𝑧
1er Término: 𝑎
2do Término: 𝑏
3er Término: 𝑐
1er Término: 𝑥
2do Término:−2𝑦
3er Término: −3𝑧
+2𝑎𝑏= 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 +2𝑎𝑐 +2𝑏𝑐
Suma de los 
cuadrados de los tres 
términos
El doble producto de 
las combinaciones de 
dos en dos
+ 2 𝑥 −2𝑦 + 2 𝑥 −3𝑧 + 2 −2𝑦 −3𝑧
PRODUCTOS NOTABLES
IDENTIDADES DE LEGENDRE
(𝑎 + 𝑏)2+(𝑎 − 𝑏)2 = 2(𝑎2 + 𝑏2)
(𝑎 + 𝑏)2− 𝑎 − 𝑏 2 = 4𝑎𝑏
𝑆𝑖:
𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 = −2𝑎𝑏 − 2𝑏𝑐 − 2𝑎𝑐
𝑎3 + 𝑏3 + 𝑐3 = 3𝑎𝑏𝑐
IDENTIDADES CONDICIONALES
𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 0 entonces
PRODUCTOS NOTABLES
Ejemplos
Solución:
1. Si a + b = 6 y ab = 4, calcula:
a) a2 + b2
a + b = 6
a + b 2 = 62
a2 + 2ab + b2 = 36
a2 + b2 + 2(4) = 36
a2 + b2 = 28
1. Si a + b = 6 y ab = 4, calcula:
Solución:
b) a3 + b3
a + b = 6
a + b 3 = 63
a3 + b3 + 3ab(a + b) = 216
a3 + b3 + 3(4)(6) = 216
a3 + b3 + 72 = 216
a3 + b3 = 144
1. Si a + b = 6 y ab = 4, calcula:
Solución:
c) a4 + b4
a2 + b2 = 28
a2 + b2 2 = 282
a4 + 2a2b2 + b4 = 784
a4 + b4 + 2 4 2 = 784
a4 + b4 + 32 = 784
a4 + b4 = 752
Solución:
2. Si 𝑥 +
1
𝑥
= 4
𝑥3 +
1
𝑥3
+ 3 𝑥
1
𝑥
𝑥 +
1
𝑥
= 64
, halla 𝑥3 +
1
𝑥3
𝑥 +
1
𝑥
3
= 43
𝑥3 +
1
𝑥3
+ 3 4 = 64
𝑥3 +
1
𝑥3
+ 12 = 64 𝑥3 +
1
𝑥3
= 52
𝑎 + 𝑏 3 = 𝑎3 + 𝑏3 + 3𝑎𝑏(𝑎 + 𝑏)
Solución:
3. Simplifica:
E = ( 𝑥 + 1)( 𝑥 − 1)(𝑥2 + 𝑥 + 1)(𝑥3 + 1)
𝑎 + 𝑏 𝑎 − 𝑏 = 𝑎2 − 𝑏2
E = ( 𝑥 + 1)( 𝑥 − 1)(𝑥2 + 𝑥 + 1)(𝑥3 + 1)
E = (𝑥 − 1)(𝑥2 + 𝑥 + 1)(𝑥3 + 1)
𝑎 − 𝑏 (𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑏2) = 𝑎3 − 𝑏3
E = (𝑥3 − 1) (𝑥3 + 1)
E = 𝑥6 − 1
E = 𝑥
2
− 1 (𝑥2 + 𝑥 + 1)(𝑥3 + 1)
Solución:
4. Simplifica:
𝑥 + 3 𝑥 − 3 𝑥2 − 3𝑥 + 9 𝑥2 + 3𝑥 + 9
𝑎 − 𝑏 (𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑏2) = 𝑎3 − 𝑏3
𝑥 + 3 𝑥2 − 3𝑥 + 9 (𝑥 − 3) 𝑥2 + 3𝑥 + 9
𝑎 + 𝑏 𝑎2 − 𝑎𝑏 + 𝑏2 = 𝑎3 + 𝑏3
𝑥3 + 33 (𝑥3 − 33)
𝑥6 − 36 = 𝑥6 − 729
Solución:
5. Si
1
a
+
1
b
=
4
a + b
, halla
5a + 7b
3a + b
1
𝑥
+
1
𝑦
=
𝑥 + 𝑦
𝑥𝑦
1
a
+
1
b
=
4
a + b
a + b
ab
=
4
a + b
a + b 2 = 4ab
a2 + 2ab + b2 = 4ab
a2 − 2ab + b2 = 0
a − b 2 = 0 a = b
Reemplazamos:
5a + 7b
3a + b
=
5a + 7a
3a + a
=
12a
4a
= 3
Solución:
6. Si 𝑥 − 𝑦 2 + 𝑦 − 𝑧 2 = 0 ,
halla
𝑥𝑦 + 4𝑥2 + 5𝑧2
3𝑦2 + 2𝑥𝑧
𝑥 = 𝑦 = 𝑧
𝑥 − 𝑦 2 + 𝑦 − 𝑧 2 = 0
0 0
Reemplazamos:
𝑥𝑦 + 4𝑥2 + 5𝑧2
3𝑦2 + 2𝑥𝑧
=
𝑥(𝑥) + 4𝑥2 + 5𝑥2
3𝑥2 + 2𝑥(𝑥)
=
10𝑥2
5𝑥2
= 2
Solución:
7. Reduce:
M = 𝑥2 − 9 𝑥2 + 3𝑥 + 9 𝑥2 − 3𝑥 + 9 − 𝑥3 − 27 2 + 1 458
𝑎 − 𝑏 (𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑏2) = 𝑎3 − 𝑏3
𝑎 + 𝑏 𝑎2 − 𝑎𝑏 + 𝑏2 = 𝑎3 + 𝑏3
M = 𝑥2 − 9 𝑥2 + 3𝑥 + 9 𝑥2 − 3𝑥 + 9 − 𝑥3 − 27 2 + 1 458
M = (𝑥 − 3) 𝑥2 + 3𝑥 + 9 (𝑥 + 3) 𝑥2 − 3𝑥 + 9 − 𝑥3 − 27 2 + 1 458
M = (𝑥3 − 33)(𝑥3 + 33) − 𝑥3 − 33 2 + 1 458
M = (𝑥6 − 36) − 𝑥3 − 33 2 + 1 458
M = (𝑥6 − 36) − (𝑥6 − 2 33 𝑥3 + 36) + 1 458
M = −729 + 54𝑥3 − 729 + 1 458 = 54𝑥3
Solución:
Se conoce lo siguiente:
a + b + c = 10
R = a + b 2 + a + c 2 + b + c 2
a2 + b2 + c2 = 40
Halla el valor de R.
a + b + c 2 = 10 2
a2 + b2 + c2 + 2(ab + ac + bc) = 100
40 + 2(ab + ac + bc) = 100
2(ab + ac + bc) = 60
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 2 = 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 + 2(𝑥𝑦 + 𝑦𝑧 + 𝑥𝑧)
8.
Solución:
Se conoce lo siguiente:
a + b + c = 10
R = a + b 2 + a + c 2 + b + c 2
a2 + b2 + c2 = 40
Halla el valor de R.
R = a + b 2 + a + c 2 + b + c 2
R = a2 + 2ab + b2 + a2 + 2ac + b2 + (b2 + 2bc + c2)
2 ab + ac + bc = 60
R = 2 a2 + b2 + c2 + 2(ab + ac + bc)
R = 2 40 + 60 = 140
8.