modulacion-metrica-de-sus-posibilidades-proporcionales-a-sus-caracteristicas-percetuales

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ConservatorConservatorio de Las io de Las Rosas A. C.Rosas A. C.
Tesina que presentaTesina que presenta
Leonardo Miguel Solorio ReyesLeonardo Miguel Solorio Reyes
en el área de Composiciónen el área de Composición
Modulación Métrica: de Modulación Métrica: de sus posibilidades proporcionalesus posibilidades proporcionaless
a sus a sus características perceptualcaracterísticas perceptualeses
AsesorAsesor
Juan Sebastián Lach LauJuan Sebastián Lach Lau
Morelia, Michoacán, Junio, 2016Morelia, Michoacán, Junio, 2016
IntroducciónIntroducción
Capítulo I. Concepto de Modulación MétricaCapítulo I. Concepto de Modulación Métrica
1.1.1.1. ConceptoConcepto
1.2.1.2. OrígenesOrígenes
1.3.1.3. Elementos EsencialesElementos Esenciales
1.3.A.1.3.A. Cálculo Alternativo de MMCálculo Alternativo de MM
1.4.1.4. Elementos secundarios, dos consideraciones sobre la MMElementos secundarios, dos consideraciones sobre la MM
1.4.A.1.4.A. Ecuación del tempoEcuación del tempo
1.4.B.1.4.B. Sobre las indicaciones italianas de tempoSobre las indicaciones italianas de tempo
Capítulo II. La Modulación en la Partitura, RecuCapítulo II. La Modulación en la Partitura, Recuento Histórico y Análisisento Histórico y Análisis
1.1.1.1. Recuento HistóricoRecuento Histórico
1.2.1.2. AnálisisAnálisis
1.2.A.1.2.A. Primer Cuarteto de Cuerdas de Elliott CarterPrimer Cuarteto de Cuerdas de Elliott Carter
1.2.A.a.1.2.A.a. Sobre la Estructura de la ObraSobre la Estructura de la Obra
1.2.B.1.2.B. Segundo Cuarteto de Cuerdas de Elliott CarterSegundo Cuarteto de Cuerdas de Elliott Carter
1.2.C.1.2.C.  Reliquary Reliquary, Movimiento I de, Movimiento I de Dum Transisset  Dum Transisset  de Brian Ferneyhough de Brian Ferneyhough
1.2.D.1.2.D. Estudio II Estudio II de Estudios sobre la de Estudios sobre la Modulación Métrica, de JoséModulación Métrica, de José
Manuel López LópezManuel López López
1.2.E.1.2.E. Silbury Air de Harrison BirtwistleSilbury Air de Harrison Birtwistle
Capítulo III. Coincidencias y DisidenciasCapítulo III. Coincidencias y Disidencias
MM y Modulación TonalMM y Modulación Tonal
Capítulo IV. Modulación Métrica, Constitución y ExpansiónCapítulo IV. Modulación Métrica, Constitución y Expansión
1.1.1.1. ConstituciónConstitución
1.2.1.2. Expansión, Redes de TempoExpansión, Redes de Tempo
1.3.1.3. Los Márgenes Perceptuales de la Modulación MétricaLos Márgenes Perceptuales de la Modulación Métrica
1.3.A.1.3.A. Elementos a ExplorarElementos a Explorar
1.3.B.1.3.B. TerminologíaTerminología
1.3.C.1.3.C. La Naturaleza del ProblemaLa Naturaleza del Problema
11
33
33
66
88
99
99
1313
1515
2020
2020
2727
3838
3131
3434
4141
4747
5353
5858
6666
6767
6868
7070
1.3.D.1.3.D. Intervalo de IndiferenciaIntervalo de Indiferencia
1.3.E.1.3.E. Subjective RhythmizationSubjective Rhythmization
1.3.F.1.3.F. Las RegionesLas Regiones
1.3.G.1.3.G. El Presente SicológicoEl Presente Sicológico
1.3.H.1.3.H. Percepción de Modulación de TempoPercepción de Modulación de Tempo
4. Sobre una obra personal con MM, Post Sicut (2016)4. Sobre una obra personal con MM, Post Sicut (2016)
ConclusionesConclusiones
BibliografíaBibliografía
7171
7373
7575
7676
7979
8383
8585
8787
IntroducciónIntroducción
ElEl drum and bassdrum and bass  y sus ritmos rápidos e irregulares que mediante secuenciadores crean texturas de  y sus ritmos rápidos e irregulares que mediante secuenciadores crean texturas de
complejidadcomplejidad superior a la realizable por cualquier intérprete humano, crearon en mí el deseo desuperior a la realizable por cualquier intérprete humano, crearon en mí el deseo de
componer una obra para percusiones acústicas que incorporara esta estética. El primer componer una obra para percusiones acústicas que incorporara esta estética. El primer acercamientoacercamiento
 para hacerlo  para hacerlo vino a travino a través de la psvés de la psicoacústica, en icoacústica, en especial de un especial de un estudioestudio11 sobre la ilusión auditiva de un sobre la ilusión auditiva de un
tempo que parece acelerar infinitamente. El estudio me introdujo a un extenso abanico de artículos ytempo que parece acelerar infinitamente. El estudio me introdujo a un extenso abanico de artículos y
obras enfocadas al aspecto temporal de la música, es decir al aspecto que relaciona los eventos sonorosobras enfocadas al aspecto temporal de la música, es decir al aspecto que relaciona los eventos sonoros
con el tiempo cronométrico, aquel que resulta de retirar el timbre, el espacio, la dinámica y las alturascon el tiempo cronométrico, aquel que resulta de retirar el timbre, el espacio, la dinámica y las alturas
de la música.de la música.
Respecto a este elRespecto a este elemento de la música, emento de la música, la primera mitla primera mitad del siglo XX fad del siglo XX fue particularmente interesante.ue particularmente interesante.
El ritmicón de Henry Cowell o los estudios de la percepción del sonido y su relación con el tiempo deEl ritmicón de Henry Cowell o los estudios de la percepción del sonido y su relación con el tiempo de
Paul Fraisse son ejemplos de una multitud de eventos que revolucionaron la teoría y la prácticaPaul Fraisse son ejemplos de una multitud de eventos que revolucionaron la teoría y la práctica
musical. musical. En los años cincuenta, EllEn los años cincuenta, Elliott Carter encontró iott Carter encontró una noción musical una noción musical que eque entramaba los cambiosntramaba los cambios
de pulso, de compás y de subdivisión, consecuentemente el tempo fue entendido como una parte activade pulso, de compás y de subdivisión, consecuentemente el tempo fue entendido como una parte activa
de la música y por consiguiente del compás y su contenido. Esta nueva perspectiva abandonó lade la música y por consiguiente del compás y su contenido. Esta nueva perspectiva abandonó la
concepción unidimensional del ritmo y se adentró en un sinfín deconcepción unidimensional del ritmo y se adentró en un sinfín de tempitempi de relaciones proporcionales. de relaciones proporcionales.
Ensayos comoEnsayos como "… How time passes…" "… How time passes…"   de Karlheinz Stockhausen abrieron un campo de  de Karlheinz Stockhausen abrieron un campo de
experimentación temporal que apuntaba hacia la emancipación del ritmo. Estas nuevas investigacionesexperimentación temporal que apuntaba hacia la emancipación del ritmo. Estas nuevas investigaciones
sugerían que los umbrales perceptuales del continuo de frecuencias sonoras por debajo de 20 Hzsugerían que los umbrales perceptuales del continuo de frecuencias sonoras por debajo de 20 Hz
contenían universos musicales únicos y poco explorados.contenían universos musicales únicos y poco explorados.
Sin embargo, como otros aspectos musicales que el siglo XX nos legó inconclusos, la temporalidadSin embargo, como otros aspectos musicales que el siglo XX nos legó inconclusos, la temporalidad
musical no es la excepción; aún tenemos preguntas que no han sido resueltas: ¿cómo puede encontrar lamusical no es la excepción; aún tenemos preguntas que no han sido resueltas: ¿cómo puede encontrar la
música una capacidad de expresión cuando se prescinde de las alturas? ¿Cómo puede hacer conceptosmúsica una capacidad de expresión cuando se prescinde de las alturas? ¿Cómo puede hacer conceptos
no lineales de temporalidad cuando la escucha está siempre supeditada a la secuencia lineal del tiempo?no lineales de temporalidad cuando la escucha está siempre supeditada a la secuencia lineal del tiempo?
En este trabajo exploro sistemáticamente un aspecto particular del tempo: la modulación métrica.En este trabajo exploro sistemáticamente un aspecto particular del tempo: la modulación métrica.
En su nivel fundamental, la modulación métrica entrelaza dos planos temporales para trascender laEn su nivel fundamental, la modulación métrica entrelaza dos planos temporales para trascender la
 barrera  barrera unidimensional unidimensional del del tempotempo en en la la exploración exploración de de un un área área dede tempitempi  teóricamente ilimitada. Esta  teóricamente ilimitada. Esta
variedad ilimitada de posibilidades de tempo es una materia prima sin reglas de uso, por eso en estevariedad ilimitada de posibilidades de tempo es una materia prima sin reglas de uso, por eso en este
trabajo estudio sus cualidades en las diversas regiones de la percepción para extender y construir sobretrabajo estudio sus cualidades en las diversas regiones de la percepción para extender y construir sobre
11 Madison, Guy, “An Auditory Illusion of infinite Tempo Change Based on Multiple Temporal Levels”,Madison, Guy, “An Auditory Illusion of infinite Tempo Change Based on Multiple Temporal Levels”,  PLos ONE, PLos ONE, vol. 4,vol. 4,
núm. 12, 2009,núm. 12, 2009, http://www.plohttp://www.plosone.org/article/sone.org/article/info%3Adoi%2F10.1371%2Finfo%3Adoi%2F10.1371%2Fjournal.pone.0008151journal.pone.0008151..
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éstas una sensibilidad musical informada. El punto de partida es la composición influenciada por laséstas una sensibilidad musical informada. El punto de partida es la composición influenciada por las
teorías perceptuales del tempo, con el objetivo de crear y manipular elementos musicales.teorías perceptuales del tempo, con el objetivo de crear y manipular elementos musicales.
El objetivo principal de este trabajo es enriquecer mis composiciones a través del entendimientoEl objetivo principal de este trabajo es enriquecer mis composiciones a través del entendimiento
integral de la modulación métrica, y promover activamente una herramienta musical que propongaintegral de la modulación métrica, y promover activamente una herramienta musical que proponga
retos a la práctica compositiva general y provea de recursos para una nueva valoración del tempo y suretos a la práctica compositiva general y provea de recursos para una nueva valoración del tempo y su
rol activo en la música.rol activo en la música.
Teniendo en cuenta estas consideraciones, el presente trabajo está estructurado en cuatro capítulos: elTeniendo en cuenta estas consideraciones, el presente trabajo está estructurado en cuatro capítulos: el
 primero discierne las  primero discierne las diferencias semánticas diferencias semánticas y prácticas de y prácticas de todo lo todo lo que hque ha sido a sido nombrado “modunombrado “modulaciónlación
métrica”; en este mismo capítulométrica”; en este mismo capítulo se demuestra el funcionar básico de la misma. El segundo compila yse demuestra el funcionar básico de la misma. El segundo compila y
clasifica un vasto número de obras con modulación métrica y posteriormente analiza cinco obras queclasifica un vasto número de obras con modulación métrica y posteriormente analiza cinco obras que
 presentan u presentan un an alto núlto número de mero de modulaciones mmodulaciones métricas. étricas. El tercerEl tercero pro propone opone un un análisis canálisis comparativo omparativo entreentre
modulación tonal y modulación métrica que muestra los conceptos comunes que ambas comparten ymodulación tonal y modulación métrica que muestra los conceptos comunes que ambas comparten y
las direcciones individuales en las que cada una se desarrolla. El último capítulo plantea una técnicalas direcciones individuales en las que cada una se desarrolla. El último capítulo plantea una técnica
que proporciona un cúmulo deque proporciona un cúmulo de tempitempi proporcionales  proporcionales al al que que cualquier cualquier tempo tempo puede puede acceder acceder y dy describeescribe
las particularidades psicoacústicas del ámbito de frecuencias sonoras pertinentes a la modulaciónlas particularidades psicoacústicas del ámbito de frecuencias sonoras pertinentes a la modulación
métrica.métrica.
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Capítulo ICapítulo I
Modulación MétricaModulación Métrica
1.1. ConceptoConcepto
La corta existencia temporal de la modulación métrica (de aquí en adelante referida como MM) permiteLa corta existencia temporal de la modulación métrica (de aquí en adelante referida como MM) permite
entenderla como un término que aún evoluciona. Ha generado una multiplicidad de definiciones sinentenderla como un término que aún evoluciona. Ha generado una multiplicidad de definiciones sin
haber logrado todavía un consenso final. De la musicología alhaber logrado todavía un consenso final. De la musicología al death metal death metal  se ha nombrado MM a una se ha nombrado MM a una
variedad de conceptos diferentes. En este trabajo entenderemos a la MM como el cambio proporcionalvariedad de conceptos diferentes. En este trabajo entenderemos a la MM como el cambio proporcional
de tempo a través de una duración común. Las siguientes de tempo a través de una duración común. Las siguientes páginas explicarán páginas explicarán con detalle lo que en estecon detalle lo que en este
momento puede parecer como una formulación enigmática.momento puede parecer como una formulación enigmática.
2. Orígenes2. Orígenes
El término ‘modulación métrica’ fue inventado en 1951, en el análisis que Richard Franko GoldmanEl término ‘modulación métrica’ fue inventado en 1951, en el análisis que Richard Franko Goldman22
realizó derealizó de Cello SonataCello Sonata de Elliott Carter. Es el nombre que le dio al cambio de tempo y de compás.de Elliott Carter. Es el nombre que le dio al cambio de tempo y de compás.
Es una denominación derivada de un solo evento auditivo: el cambio de velocidad o del paso,Es una denominación derivada de un solo evento auditivo: el cambio de velocidad o del paso,33 que era que era
la principal preocupación de Carter.la principal preocupación de Carter.44  Sin embargo la independencia de compás y tempo llevó a la  Sin embargo la independencia de compás y tempo llevó a la
 práctica  práctica musical musical a a explorar explorar nociones nociones rítmicas rítmicas como como cambio cambio de de compás,compás,55  cambio de tempo sin  cambio de tempo sin
transición, hemiola,transición, hemiola,66 conjunción de cambio de compás con cambio de tempo, cambios en la subdivisión conjunción de cambio de compás con cambio de tempo, cambios en la subdivisión
22 Goldman, Richard F., “The music of Elliott Carter”,Goldman, Richard F., “The music of Elliott Carter”, The Musical Quarterly,The Musical Quarterly, vol. 43, núm. 2, Oxford University Press,vol. 43, núm. 2, Oxford University Press,
Londres, 1957, pp. 151-170.Londres, 1957, pp. 151-170.
33 “[E]l tempo sicológico que llamaremos “paso” depende de cómo es llenado el tiempo d“[E]l tempo sicológico que llamaremos “paso” depende de cómo es llenado el tiempo de cuántos patrones aparecen en une cuántos patrones aparecen en un
espacio de tiempo dado”. Cooper, Grosvenor y Meyer, Leonardespacio de tiempo dado”. Cooper, Grosvenor y Meyer, Leonard ,The Rhythmic Structure of Music ,The Rhythmic Structure of Music , University of Chicago,, University of Chicago,
Chicago, 1960, (tr. castellana de T. Paul Silles;Chicago, 1960, (tr. castellana de T. Paul Silles;  Estructura Rít Estructura Rítmica de la Música,mica de la Música, Idea Books, Barcelona, 2000)Idea Books, Barcelona, 2000) p.12. p.12.
44 StrizicStrizich, Robert h, Robert “Notation in “Notation in Elliott Carter’s Double Concerto”Elliott Carter’s Double Concerto”  Ex Tempore Ex Tempore, Vol. I/1: enero 1981, vol. I/2: , Vol. I/1: enero 1981, vol. I/2: octubre 1981,octubre 1981,
vol. II/1: enero 1982.West Springfield, Massachusetts .vol. II/1: enero 1982.West Springfield, Massachusetts .
55 Bouchard, Jean-Luc, Bouchard, Jean-Luc, La Modulation  La Modulation Agogique: DéfinitionAgogique: Définition, Typologie et , Typologie et Analogie avec lAnalogie avec la Modulation Ta Modulation Tonal,onal, tesis detesis de
maestría, Université Laval, Québec, 2008, p.28.maestría, Université Laval, Québec, 2008, p.28.
66 Cooper, Grosvenor y Me Cooper, Grosvenor y Meyer, Leonard B.,yer, Leonard B., op. cit.op. cit. p.13. p.13.
 Ejemplo 1 Ejemplo 1: Cello Sonata, III, c. 6 y 7: CelloSonata, III, c. 6 y 7
44
de un pulso,de un pulso,77 cambios en la agrupación de acentos cambios en la agrupación de acentos88 y agruparlas bajo el mismo nombre. Es posible que y agruparlas bajo el mismo nombre. Es posible que
varios conceptos rítmicos hayan sido nombrados como MM porque comparten un modo de operaciónvarios conceptos rítmicos hayan sido nombrados como MM porque comparten un modo de operación
rítmica no tradicional; son ajenos a la acentuación habitual del compás o ajenos a la periodicidadrítmica no tradicional; son ajenos a la acentuación habitual del compás o ajenos a la periodicidad
 permanente del pulso. permanente del pulso.
En un artículo publicado en 1989 François Nicolas cuenta una anécdota:En un artículo publicado en 1989 François Nicolas cuenta una anécdota:
(...)hace ya cierto tiempo, Ellliott Carter fue interrogado en la radio sobre el significado del(...)hace ya cierto tiempo, Ellliott Carter fue interrogado en la radio sobre el significado del
término “modulación métrica” frecuentemente utilizado en relación a su música. Fuetérmino “modulación métrica” frecuentemente utilizado en relación a su música. Fue
cuestionado en ese punto por un crítico musical -dotado de la competencia musical requerida- encuestionado en ese punto por un crítico musical -dotado de la competencia musical requerida- en
 presencia de  presencia de un joven un joven compositor del compositor del conservatorio -fconservatorio -formado por ormado por algunos maestros algunos maestros eruditos deeruditos de
esa institución-. Ninguno de los tres protagonistas supo (o quiso) proponer ese día unaesa institución-. Ninguno de los tres protagonistas supo (o quiso) proponer ese día una
formulación simple del término, cada uno de ellos dio su opinión que se trataba de un fenómenoformulación simple del término, cada uno de ellos dio su opinión que se trataba de un fenómeno
muy complejo para ser definido en pocas muy complejo para ser definido en pocas palabras(...).palabras(...).99
El estado teórico de donde surgió la MM carecía de la fortaleza académica de otros campos musicalesEl estado teórico de donde surgió la MM carecía de la fortaleza académica de otros campos musicales
contemporáneos como el espectralismo, serialismo o la indeterminación. Los primeros intentoscontemporáneos como el espectralismo, serialismo o la indeterminación. Los primeros intentos
concisos de formular una definición clara se darían hasta principios del siglo XXI. Fernando Benadon,concisos de formular una definición clara se darían hasta principios del siglo XXI. Fernando Benadon,
compositor y catedrático de la Universidad de Berkeley dice:compositor y catedrático de la Universidad de Berkeley dice:
Ya que todo TM (Ya que todo TM (tempo modulationtempo modulation) puede ser notado utilizando dos formatos, no es) puede ser notado utilizando dos formatos, no es
sorprendente que los términos "modulación de tempo" y "modulación métrica" hayan sidosorprendente que los términos "modulación de tempo" y "modulación métrica" hayan sido
utilizados indiferentemente. El primero es utilizado aquí por la razón de que mientras unautilizados indiferentemente. El primero es utilizado aquí por la razón de que mientras una
modulación puede ser expresión de un cambio métrico es siempre un cambio de tempo.modulación puede ser expresión de un cambio métrico es siempre un cambio de tempo. 1010
77 Kampela, Arthur, “MicroKampela, Arthur, “Micro--Metric Rhythms and Noises: Emanations from the Metric Rhythms and Noises: Emanations from the Stochastic Cloud”Stochastic Cloud” , , Current Musicology,Current Musicology,
Composers IssueComposers Issue, vol. 67 y 68, C, vol. 67 y 68, Columbia University, Nueva York, 2002, p.7.olumbia University, Nueva York, 2002, p.7.
88 Cooper, Grosvenor y Meyer, Leonard B., Cooper, Grosvenor y Meyer, Leonard B., op. cit.op. cit. p.13. p.13.
99 (...)Elliott Carter, il y a quelque  (...)Elliott Carter, il y a quelque temps, était interrogé à la radio sur la temps, était interrogé à la radio sur la signification du terme "modulatisignification du terme "modulation métrique"on métrique"
 souvent utilisé à l souvent utilisé à l'égard de sa musiq'égard de sa musique. Il était ue. Il était questionné sur questionné sur ce point par un ce point par un critique musicacritique musical -doté de la compétenl -doté de la compétencece
musicale requise- en présence d'un jeune compositeur du musicale requise- en présence d'un jeune compositeur du conservatoire -formé par quelques maîtres érudits de cetteconservatoire -formé par quelques maîtres érudits de cette
institution-institution-. Or aucun . Or aucun des trois protagonistes ne sut des trois protagonistes ne sut (ou ne voulut) ce jour-là (ou ne voulut) ce jour-là proposer une formulation simple du terme,proposer une formulation simple du terme,
chacun d'eux se rangeant chacun d'eux se rangeant à l'opinion qu'il s'agissait là de phénomènes trop complexes pour à l'opinion qu'il s'agissait là de phénomènes trop complexes pour être cernables en quelquesêtre cernables en quelques
mots(...)mots(...) Mi traducción. Nicolas, François, “Le feuillete du tempo: Mi traducción. Nicolas, François, “Le feuillete du tempo: Essai sur les Essai sur les modulatiomodulation métriques”n métriques”  Entretemps Entretemps núm. 9,núm. 9,
París, 1990, pp. 51-77.París, 1990, pp. 51-77.
1010 "Since any TM (tempo modulation)  "Since any TM (tempo modulation) can be notated using two fcan be notated using two formats it is not surprising that the terms ormats it is not surprising that the terms "tempo"tempo
modulatiomodulation" and n" and "metric modulat"metric modulation" have been usion" have been used interchangeably. The former term is employed here for the reason thated interchangeably. The former term is employed here for the reason that
while a modulation can be while a modulation can be expression of a metric shift, it is alwaexpression of a metric shift, it is always a tempo shift" Mi traducción. Benadon, Fernando,ys a tempo shift" Mi traducción. Benadon, Fernando,
“Towards a Theory of Tempo Modulation”“Towards a Theory of Tempo Modulation” , , Manuscritos del octavo ICMPC,Manuscritos del octavo ICMPC, 2004, p. 563,2004, p. 563,
http://www.ichttp://www.icmpc8.umn.edu/proceedmpc8.umn.edu/proceedings/ICMPC8/PDF/AUTHOR/MP040228.PDFings/ICMPC8/PDF/AUTHOR/MP040228.PDF
55
Los siguientes ejemplos muestran la equivalencia entre cambio de compás y modulación de tempo, enLos siguientes ejemplos muestran la equivalencia entre cambio de compás y modulación de tempo, en
términos de términos de Benadon. El ejemplo 2a muestra una MM, el Benadon. El ejemplo 2a muestra una MM, el 2b un cambio de compás. Ambos ejemplos2b un cambio de compás. Ambos ejemplos
son auditivamente idénticos y sólo se distinguen en el papel.son auditivamente idénticos y sólo se distinguen en el papel.
Después de la publicación del análisis deDespués de la publicación del análisis de Cello SonataCello Sonata  de Franko Goldman, dijo que Carter "ha  de Franko Goldman, dijo que Carter "ha
 preferido el término modulación de tempo ya que es el tempo el que cambia, no la métrica". preferido el término modulación de tempo ya que es el tempo el que cambia, no la métrica".1111
El argumento que Carter y Benadon comparten es claro e irrefutable: la modulación de tempo indicaEl argumento que Carter y Benadon comparten es claro e irrefutable: la modulación de tempo indica
que el tempo cambia, la MM se refiere al cambio de métrica (o sea la distribución jerárquica de pulsos).que el tempo cambia, la MM se refiere al cambio de métrica (o sea la distribución jerárquica de pulsos).
A pesar de ello en el presente trabajo nos referiremos a la MM como el cambio proporcional de tempoA pesar de ello en el presente trabajo nos referiremos a la MM como el cambio proporcional de tempo
a través de una unidad constante de duración, por tres razones:a través de una unidad constante de duración, por tres razones:
•• El término “El término“tempo modulation”tempo modulation”  ha sido apropiado por la psicoacústica para referirse a todas las  ha sido apropiado por la psicoacústica para referirse a todas las
fluctuaciones de tempo, sean continuas, como ritardandos y accelerandos; o discontinuas comofluctuaciones de tempo, sean continuas, como ritardandos y accelerandos; o discontinuas como
variaciones en la estabilidad del pulso en el contexto de la expresividad,variaciones en la estabilidad del pulso en el contexto de la expresividad,1212 por lo que puede prestarse por lo que puede prestarse
a más confusión.a más confusión.
•• En la actualidad se ha alcanzado cierto consenso respecto al concepto “MM” el cual coincide con elEn la actualidad se ha alcanzado cierto consenso respecto al concepto “MM” el cual coincide con el
término de nuestro propósito.término de nuestro propósito.1313
1111 “Carter has come to prefer the term tempo modulation since it “Carter has come to prefer the term tempo modulation since it is the tempo that changes, not the meter” Mi is the tempo that changes, not the meter” Mi propiapropia
traducción. Schiff, David,traducción. Schiff, David, The music of The music of Elliot Carter,Elliot Carter, Eulenburg Books, LondreEulenburg Books, Londres, Reino Unido, 1983, (2.ª ed., Cornels, Reino Unido, 1983, (2.ª ed., Cornelll
University Press, Nueva York, 1998) p. 97.University Press, Nueva York, 1998) p. 97.
1212 Royal, Matthew Stratton, Royal, Matthew Stratton, The Perception of Rhythm and Tempo Modulation in Music,The Perception of Rhythm and Tempo Modulation in Music, tesis de doctorado, Facultad detesis de doctorado, Facultad de
Música, University of Western OntarioMúsica, University of Western Ontario , ,1995, p.7.1995, p.7.
1313 Delaere, Mark, Delaere, Mark, ““Rhythms - durations- rhythmic cells - grRhythms - durations- rhythmic cells - groups. Concepts of microlevel time-organisatiooups. Concepts of microlevel time-organisation in sn in serial musicerial music
and their consequences on shaping time on higher and their consequences on shaping time on higher structural levels”,structural levels”, Unfolding Time, Studies in Unfolding Time, Studies in Temporality in Twentieth-Temporality in Twentieth-
Century Music,Century Music, Leuven University Press, Bélgica, 2009, p.Leuven University Press, Bélgica, 2009, p. 20.20.
 Ejemplo 2b Ejemplo 2b. Cambio de compás. Cambio de compás
 Ejemplo 2a Ejemplo 2a. Modulación Métrica. Modulación Métrica
66
•• La tercera razón la otorga Jonathan Bernard al publicar en 1988, “sin embargo porque el término seLa tercera razón la otorga Jonathan Bernard al publicar en 1988, “sin embargo porque el término se
ha vuelto común y porque Carter mismo lo utiliza, aquí sigo la práctica general”ha vuelto común y porque Carter mismo lo utiliza, aquí sigo la práctica general”1414  haciendo  haciendo
referencia al término “referencia al término “metric modulationmetric modulation”. Est”. Esta publicación es posterior a la de Schiff quien afirmaa publicación es posterior a la de Schiff quien afirma
que Carter prefería el término “que Carter prefería el término “Tempo ModulationTempo Modulation”.”.
Pienso que estos problemas terminológicos validan preguntarse por los papeles que el tempo y elPienso que estos problemas terminológicos validan preguntarse por los papeles que el tempo y el
tiempo jtiempo juegan en la práctica musical uegan en la práctica musical actual. actual. Las conexiones entre el estado de lLas conexiones entre el estado de la teoría rítmica y a teoría rítmica y lala
MM apuntan a una tendencia estética que oculta al tiempo detrás de otros aspectos sónicos. El énfasisMM apuntan a una tendencia estética que oculta al tiempo detrás de otros aspectos sónicos. El énfasis
de este interés es en ver al ritmo no solamente como lo que constituye la coordinación musical, sinode este interés es en ver al ritmo no solamente como lo que constituye la coordinación musical, sino
que también es posible imaginarlo como poseedor de una estructura propia.que también es posible imaginarlo como poseedor de una estructura propia.
Estudiar el ritmo es estudiar toda la Estudiar el ritmo es estudiar toda la música. El ritmo organiza y es a música. El ritmo organiza y es a su vez organizado por todos lossu vez organizado por todos los
elementos que crean y dan forma elementos que crean y dan forma a los procesos musicales.a los procesos musicales. 1515
Wallace Berry en 1987 decía:Wallace Berry en 1987 decía:
Todos los procesos-elemento son rítmicos. En un sentido importante, el estudio del ritmo es por loTodos los procesos-elemento son rítmicos. En un sentido importante, el estudio del ritmo es por lo
tanto el estudio de todos los elementos musicales, las acciones de esos elementos produciendo lostanto el estudio de todos los elementos musicales, las acciones de esos elementos produciendo los
efectos de “paso”, patrón y aefectos de “paso”, patrón y agrupamiento que constgrupamiento que constituyen ritmo .ituyen ritmo .1616
3. Elementos Esenciales3. Elementos Esenciales
Dos preguntas guían a la MM: ¿a quéDos preguntas guían a la MM: ¿a qué tempitempi puede acceder una subdivisión especifica?,- ¿qué puede acceder una subdivisión especifica?,- ¿qué
subdivisión me permite llegar a un tempo especifico?subdivisión me permite llegar a un tempo especifico?
Ambas preguntas comprenden la misma respuesta: la totalidad de MM posibles (que serán revisadas enAmbas preguntas comprenden la misma respuesta: la totalidad de MM posibles (que serán revisadas en
el capítulo IV). Su diferencia es que una va de la subdivisión al tempo y la otra del tempo a lael capítulo IV). Su diferencia es que una va de la subdivisión al tempo y la otra del tempo a la
subdivisión. La proporcionalidad referida a la MM puede ser formulada de la siguiente manera:subdivisión. La proporcionalidad referida a la MM puede ser formulada de la siguiente manera:
1414 ““However, because the term has stuck, and However, because the term has stuck, and because Carter himself uses it, ibecause Carter himself uses it, i follow the general practice here”. Mifollow the general practice here”. Mi
 propia traducc propia traducción. Bernard, Joión. Bernard, Jonathan W., “The nathan W., “The Evolution of EEvolution of Elliott Carlliott Carter Rhythmic ter Rhythmic Practice”,Practice”, Perspectives o Perspectives of New Musicf New Music,,
vol. 26, núm. 2, verano, Seattle, Washington, 1988, pp. 164vol. 26, núm. 2, verano, Seattle, Washington, 1988, pp. 164-203.-203.
1515 Cooper, Grosvenor y Meyer, Leonard Cooper, Grosvenor y Meyer, Leonard  ,T  ,T op. cit.op. cit. p. p. 9.9.
1616 “All element“All element-processes are rhythmic. In an important sense, the study of -processes are rhythmic. In an important sense, the study of rhythm is thus the studrhythm is thus the study of all musical y of all musical elements,elements,
the actions of those elements producing the effects of pace, pattern, and grthe actions of those elements producing the effects of pace, pattern, and grouping which constitute rhythm”. Mi propiaouping which constitute rhythm”. Mi propia
traducción. Berry, Wallace,traducción. Berry, Wallace, Structural Functions in Music,Structural Functions in Music, Englewoods Cliffs, New Jersey, 1976, (2.ª ed. Dover, NEnglewoods Cliffs, New Jersey, 1976, (2.ª ed. Dover, Nuevaueva
York, 1987) p. 301.York, 1987) p. 301.
77
La primera pregunta puede ser entendida con el siguiente mecanismo:La primera pregunta puede ser entendida con el siguiente mecanismo:
Antes de modular tenemos un tempo y una figura rítmica que tendrá el papel de pivote. El tempo finalAntes de modular tenemos un tempo y una figura rítmica que tendrá el papel de pivote. El tempo final
dependerá de la proporción en que cambiamos dicho pivote, que puede ser cualquier valor de nota.dependerá de la proporción en que cambiamos dicho pivote, que puede ser cualquier valor de nota.
Después de modular necesitamos responder a qué tempo modulamos. Si elegimos al tresillode corcheaDespués de modular necesitamos responder a qué tempo modulamos. Si elegimos al tresillo de corchea
(1/12) como pivote y decidimos que su valor sea 1/14 (sietillo) en el nuevo tempo. Como en una regla(1/12) como pivote y decidimos que su valor sea 1/14 (sietillo) en el nuevo tempo. Como en una regla
de tres, tres datos proporcionan el cuarto, que en este caso es 61.71.de tres, tres datos proporcionan el cuarto, que en este caso es 61.71.
 Ejemplo 3 Ejemplo 3. Figuras y su proporción a. Figuras y su proporción a
 partir de una redonda partir de una redonda
 Ejemplo 4 Ejemplo 4. MM que convierte al tresillo. MM que convierte al tresillo
en sietilloen sietillo
88
Este primer enfoque avisora el segundo enfoque, que transita mas fácilmente por la totalidad de tempiEste primer enfoque avisora el segundo enfoque, que transita mas fácilmente por la totalidad de tempi
que la MM permite.que la MM permite.
Esta formula de calcular o pensar la MM será útil para explorar con mas facilidad el ir del tempo a laEsta formula de calcular o pensar la MM será útil para explorar con mas facilidad el ir del tempo a la
figura, que será explorado en el capítulo IV.figura, que será explorado en el capítulo IV.
Mientras, este procedimiento es suficiente para comprender el funcionamiento de la MM.Mientras, este procedimiento es suficiente para comprender el funcionamiento de la MM.
3.A Cálculo alternativo de MM3.A Cálculo alternativo de MM
Weisberg, ávido intérprete y director de la obra de Carter, sugiere dos maneras sencillas y efectivasWeisberg, ávido intérprete y director de la obra de Carter, sugiere dos maneras sencillas y efectivas
 para deducir las modulaciones: para deducir las modulaciones:1717
 Un ejemplo de modulación, mediante elUn ejemplo de modulación, mediante el large way,large way,  es que a través de una negra de tresillo  es que a través de una negra de tresillo
encontremos un valor más largo a través de la siguiente pregunta: ¿cuál es la figura a la que seencontremos un valor más largo a través de la siguiente pregunta: ¿cuál es la figura a la que se
sujeta un tresillo de negra? El tresillo de negra se sujeta a una blanca (es decir que caben tressujeta un tresillo de negra? El tresillo de negra se sujeta a una blanca (es decir que caben tres
negras de tresillo en una blanca o en un medio). Si el tempo es 100 bpmnegras de tresillo en una blanca o en un medio). Si el tempo es 100 bpm1818 el cuarto, la blanca el cuarto, la blanca
tiene un valor metronómico dos veces más lento que el cuarto, o sea 50 bpm. Si hay tres valorestiene un valor metronómico dos veces más lento que el cuarto, o sea 50 bpm. Si hay tres valores
en esa blanca, sólo es necesario multiplicar por tres el valor metronómico de la blanca:en esa blanca, sólo es necesario multiplicar por tres el valor metronómico de la blanca:
 Con el mismo problema pero a través delCon el mismo problema pero a través del  small  small wayway es necesario encontrar un valor más corto es necesario encontrar un valor más corto
con la pregunta siguiente: ¿qué valor de tresillo cabe en una negra de tresillo? Dos corcheas decon la pregunta siguiente: ¿qué valor de tresillo cabe en una negra de tresillo? Dos corcheas de
tresillo. El valor de cada corchea de tresillo puede ser obtenido multiplicando por tres el valortresillo. El valor de cada corchea de tresillo puede ser obtenido multiplicando por tres el valor
1717 Weisberg, Arthur, Weisberg, Arthur, Performing Twentieth-Century Music Performing Twentieth-Century Music:: A Handbook f A Handbook for Conductors and or Conductors and InstrumentalInstrumentalists,ists, YaleYale
University Press, New Haven, Connecticut, 1993, p. 52.University Press, New Haven, Connecticut, 1993, p. 52.
1818 beats per minutebeats per minute o pulsos por minuto o pulsos por minuto
99
metronómico de la negra (100 x 3 = 300) ya que hay tres corcheas de tresillo dentro de unametronómico de la negra (100 x 3 = 300) ya que hay tres corcheas de tresillo dentro de una
negra. Si una corchea de tresillo es igual a 300 bpm, entonces una negra de tresillo que es dosnegra. Si una corchea de tresillo es igual a 300 bpm, entonces una negra de tresillo que es dos
veces más lenta es igual a 150 bpm.veces más lenta es igual a 150 bpm.
Mediante elMediante el large waylarge way se busca que el valor dado (en este caso negra de tresillo) sea una subdivisón de se busca que el valor dado (en este caso negra de tresillo) sea una subdivisón de
un valor más grande, en el caso delun valor más grande, en el caso del  small  small wayway  se buscan las subdivisiones del valor dado. Ambos  se buscan las subdivisiones del valor dado. Ambos
métodos son igualmente efectivos; su uso dependerá de su contexto.métodos son igualmente efectivos; su uso dependerá de su contexto.
4.4. Elementos secundarios, dos consideraciones sobre la MMElementos secundarios, dos consideraciones sobre la MM
Ecuación del tempoEcuación del tempo
La MM sustenta su existencia en la equivalencia de pulso musical y duración física:La MM sustenta su existencia en la equivalencia de pulso musical y duración física:
La nota musical de la indicación de tempo (negra o cuarto en este caso) representa la duración; esLa nota musical de la indicación de tempo (negra o cuarto en este caso) representa la duración; es
generalmente la unidad musical que determina el pulso;generalmente la unidad musical que determina el pulso;19, 2019, 20 y no y no es una es una observación musicalmenteobservación musicalmente
irrelevante, ya que ésta unidad musical puede sugerir cierto carácter a la obra. Por ejemplo, el primerirrelevante, ya que ésta unidad musical puede sugerir cierto carácter a la obra. Por ejemplo, el primer
cambio de tempo en el ‘Aprendiz de Brujo’ de Paul Dukas, muestra la importancia de la definicióncambio de tempo en el ‘Aprendiz de Brujo’ de Paul Dukas, muestra la importancia de la definición
aparentemente arbitraria de la unidad musical a la corchea, cuando parece que era más simple elegiraparentemente arbitraria de la unidad musical a la corchea, cuando parece que era más simple elegir
una unidad más larga, como la negra(una unidad más larga, como la negra(ee = 90-103 a = 90-103 a ee = 168). = 168).
1919 Delaere, Mark, Delaere, Mark, op. cit.op. cit. p.20. p.20.
2020 Subjective RhythmizationSubjective Rhythmization o  o ritmización subjetiva.ritmización subjetiva.
1010
Sin embargo, la aceleración del tempo de 90 a 168 engendra un carácter musical de tiempo más densoSin embargo, la aceleración del tempo de 90 a 168 engendra un carácter musical de tiempo más denso
dentro de un tiempo dilatado; la notación contribuye a hacer más claro este cambio de velocidaddentro de un tiempo dilatado; la notación contribuye a hacer más claro este cambio de velocidad
temporal.temporal.
El número del lado derecho de la indicación de tempo enuncia la frecuencia del pulso elegido. Es elEl número del lado derecho de la indicación de tempo enuncia la frecuencia del pulso elegido. Es el
tiempo estriadotiempo estriado2121  o discontinuo  o discontinuo2222  que indica una sucesión periódica de instantes distribuidos  que indica una sucesión periódica de instantes distribuidos
equidistantemente en un minuto.equidistantemente en un minuto.
Como compositor es pertinente tener en cuenta que la repartición periódica de estos pulsos esComo compositor es pertinente tener en cuenta que la repartición periódica de estos pulsos es
solamente periódica en términos musicales pero irregular en términos físicos absolutos, en especialsolamente periódica en términos musicales pero irregular en términos físicos absolutos, en especial
cuando el compás o la métrica entran en la interpretación,cuando el compás o la métrica entran en la interpretación,2323 ya que ha sido demostrado ya que ha sido demostrado 2424 que cuando que cuando
interpretamos el primer tiempo de cada compás tendemos no sólo a acentuarlo sino también ainterpretamos el primer tiempo de cada compás tendemosno sólo a acentuarlo sino también a
 prolongar  prolongar su su duración, duración, tocando tocando el el resto resto de de los los pulsos pulsos con con una una duración duración sutilmente sutilmente más más breve. breve. EsteEste
fenómeno perceptivo indica que la relevancia métrica también se demuestra con la duración de losfenómeno perceptivo indica que la relevancia métrica también se demuestra con la duración de los
 pulsos, es decir, a pulsos más largos punt pulsos, es decir, a pulsos más largos puntos métricos más relevantes.os métricos más relevantes.2525
Al parecer no somos conscientes de que la jerarquización de pulsos métricosAl parecer no somos conscientes de que la jerarquización de pulsos métricos2626  funcione así debido a funcione así debido a
que la percepción que la percepción del pulso tiene del pulso tiene un promedio de tolerancia de 6%, un promedio de tolerancia de 6%, es decir es decir que cuando escuchamosque cuando escuchamos
2121 Pierre Boulez nombra a la división del tiempo cronómetrico ‘tiempo estriado’ en contraposición al ‘tiempo liso’, que esPierre Boulez nombra a la división del tiempo cronómetrico ‘tiempo estriado’ en contraposición al ‘tiempo liso’, que es
tiempo musical que no presenta divisiones de ningún tiempo musical que no presenta divisiones de ningún orden. Véase: Boulez, Pierre,orden. Véase: Boulez, Pierre,  Points de repère Points de repère, Christian Bourgois,, Christian Bourgois,
París, 1981, (3.ª ed., “Tiempo, notación París, 1981, (3.ª ed., “Tiempo, notación y código”,y código”, Puntos de Referencia Puntos de Referencia, Editorial Gedisa, Barcelona, 2001) p. 79., Editorial Gedisa, Barcelona, 2001) p. 79.
2222 Julio Estrada llama ‘discontinuas’ a las frecuencias de ‘orden rítmico‘ en contraposición a las Julio Estrada llama ‘discontinuas’ a las frecuencias de ‘orden rítmico‘ en contraposición a las ‘continuas’ que son de‘continuas’ que son de
‘orden sonoro’. Estrada señala a los 16 Hz como el punto medio entre ‘continuo’ y ‘discontinuo’. Véase: Estrada, Julio,‘orden sonoro’. Estrada señala a los 16 Hz como el punto medio entre ‘continuo’ y ‘discontinuo’. Véase: Estrada, Julio,
Théorie de la Théorie de la Composition: DiscontinComposition: Discontinuum - uum - Continuum,Continuum, tesis de doctorado, Université de Sttesis de doctorado, Université de Strasbourg II, Estrasburgo, 1994,rasbourg II, Estrasburgo, 1994,
 p. 89. p. 89.
2323 Royal, Matthew Stratton, Royal, Matthew Stratton, op. cit.op. cit. p.6. p.6.
2424 Bregman, Albert S., Bregman, Albert S.,  Auditory Scene Analysis:  Auditory Scene Analysis: the perceptual othe perceptual organization of sound,rganization of sound, , MIT Press, Cambridge, , MIT Press, Cambridge,
Massachusetts, 1990, p. 4.Massachusetts, 1990, p. 4.
2525 Barlow, Clarence, Barlow, Clarence, On Musiquantics,On Musiquantics, Bereich Miusikinfomatik, Bereich Miusikinfomatik, MusikwissenschaftMusikwissenschaftliches Institutliches Institut Johannes Gutenberg-Johannes Gutenberg-
Universität Mainz, Mainz, 2012, p.Universität Mainz, Mainz, 2012, p. 22.22.
2626 Fraisse, Paul, Fraisse, Paul, ““Rhythm and Tempo”, en (editora) Deutsch, Diana,Rhythm and Tempo”, en (editora) Deutsch, Diana, The Psychology of MusicThe Psychology of Music, Academic Press, Nueva, Academic Press, Nueva
York, 1982, pp. 149-180.York, 1982, pp. 149-180.
 Ejemplo 6  Ejemplo 6 . El aprendiz de brujo, parte de flauta, compases 12-15.. El aprendiz de brujo, parte de flauta, compases 12-15.
1111
un pulso a 72 bpm resulta indiscernible (para el oído no entrenadoun pulso a 72 bpm resulta indiscernible (para el oído no entrenado2727) de 73 bpm hasta 76.2) de 73 bpm hasta 76.2
aproximadamente.aproximadamente.2828
François Nicolas, François Nicolas, hace una hace una aclaración muy preciaclaración muy precisa al respecto:sa al respecto:
(…) no conviene confun(…) no conviene confundir métrica y compás. dir métrica y compás. La métrica, tiempo ha, es La métrica, tiempo ha, es el objeto de comentariosel objeto de comentarios
en el campo de la en el campo de la poética contempopoética contemporánea... propongo simplificar las cosas así: el coránea... propongo simplificar las cosas así: el compás, primermpás, primer
nivel de agrupamiento de los pulsos, discierne entidades articulnivel de agrupamiento de los pulsos, discierne entidades articuladas que no se adas que no se hacen perceptibleshacen perceptibles
como aquellas perceptibles en una métrica, ese nivel más vasto de agrupamiento que a la vezcomo aquellas perceptibles en una métrica, ese nivel más vasto de agrupamiento que a la vez
establece un periodo (envolviendo más compases) establece un periodo (envolviendo más compases) y al mismo tiempo ary al mismo tiempo articula interiormente cadaticula interiormente cada
uno de los compases (diferenciando sus pulsos de acuerdo a la polaridad fuerte/débil). Así launo de los compases (diferenciando sus pulsos de acuerdo a la polaridad fuerte/débil). Así la
métrica subsume al compás de suerte que éste se convierte a la vez en elemento (uno demétrica subsume al compás de suerte que éste se convierte a la vez en elemento (uno de
compases) y parte (conjunto de pulsos) de métrica. En esta disposición groseramentecompases) y parte (conjunto de pulsos) de métrica. En esta disposición groseramente
simplificada, parece entonces que el compás puede permanecer como una unidad eminente delsimplificada, parece entonces que el compás puede permanecer como una unidad eminente del
 pensamiento musical  pensamiento musical contemporáneo cuando contemporáneo cuando el el de de la la métrica parece métrica parece devenir devenir más problemáticomás problemático
en particular porque sugiere regularidad (debido a la jerarquización interna de tiempos fuertes yen particular porque sugiere regularidad (debido a la jerarquización interna de tiempos fuertes y
débiles) y de la repetición: el caso débiles) y de la repetición: el caso del compás, paradigma de toda métrica si del compás, paradigma de toda métrica si creemos en la teoríacreemos en la teoría
del ritmo y de la métrica según H. Riemann- ser el modelo de eso que ha devenidodel ritmo y de la métrica según H. Riemann- ser el modelo de eso que ha devenido
definitivamente impracticdefinitivamente impracticable able para el pensamiento musical contemporáneopara el pensamiento musical contemporáneo 2929
Estos tres caracteres (figura musical, signo de igual y valor bpm) en su función de indicadores deEstos tres caracteres (figura musical, signo de igual y valor bpm) en su función de indicadores de
tempo han sido fundamentales en la historia de la MM, de manera tal que si dentro de una obra latempo han sido fundamentales en la historia de la MM, de manera tal que si dentro de una obra la
figura musical cambia y el valor bpm permanece en el valor original se habrá dado una MM (ejemplofigura musical cambia y el valor bpm permanece en el valor original se habrá dado una MM (ejemplo
2727 Henry Cowell menciona en Henry Cowell menciona en  New Musical  New Musical Resources,Resources, Cambridge University Press, Cambridge, Reino Unido, 1996, p. 64 Cambridge University Press, Cambridge, Reino Unido, 1996, p. 64
que las aptitudes rítmicas pueden dominar los tuples anidados.que las aptitudes rítmicas pueden dominar los tuples anidados.
2828 Boltz, Marilyn G., “Tempo discrimation of musical patterns: Effects due Boltz, Marilyn G., “Tempo discrimation of musical patterns: Effects due to pitch and to pitch and rhythmic structure”rhythmic structure”  Perception  Perception &&
 Psychophysics, Psychophysics, vol. 60, núm. 8vol. 60, núm. 8 , , Haverford College, Haverford, Pennsylvania, 1998, p. 1357.Haverford College, Haverford, Pennsylvania, 1998, p. 1357.
2929 Dernière précision:  Dernière précision: il ne convient pas dil ne convient pas de confondre mètre e confondre mètre et mesure. Let mesure. Le mètre a de mètre a depuis longtemps epuis longtemps fait l'objet fait l'objet dede
commentaires dans le champ de la commentaires dansle champ de la poétique contemporaine: la poésie moderne a procédé en effet à poétique contemporaine: la poésie moderne a procédé en effet à une dislocation desune dislocation des
mètres de la versification traditionnelle (dont le paradigme est l'alexandrin) sans que ceci la dépouille pour mètres de la versification traditionnelle (dont le paradigme est l'alexandrin) sans que ceci la dépouille pour autant de touteautant de toute
unité métrique (_). Dans l'espace circonscrit de cet arunité métrique (_). Dans l'espace circonscrit de cet ar ticle, je proposerai de simplifier (_) les choses ainsi: la mesure,ticle, je proposerai de simplifier (_) les choses ainsi: la mesure,
 premier niveau de r premier niveau de regroupement des battuegroupement des battues, découpe des entes, découpe des entités articuléités articulées qui ne deviennent es qui ne deviennent perceptibles perceptibles comme tellecomme telless
que prises dans que prises dans un mètre, ce niveau plus vaste de un mètre, ce niveau plus vaste de regroupement qui à la fregroupement qui à la fois établit une période (enveloppant plusieursois établit une période (enveloppant plusieurs
mesures) et en même temps articule intérieurement chacune des mesures (en différenciant leurs battues selon la polaritémesures) et en même temps articule intérieurement chacune des mesures (en différenciant leurs battues selon la polarité
temps fort/faible) (_). Ainsi le mètre subsume-t-il la mesure en sorte que temps fort/faible) (_). Ainsi le mètre subsume-t-il la mesure en sorte que celle-ci devient à la fois élément (une celle-ci devient à la fois élément (une des mesures)des mesures)
et partie (sous-ensemble de et partie (sous-ensemble de plusieurs battues) du mètre (_). En plusieurs battues) du mètre (_). En cette disposition grossièrement simplifiée, il apparaîtraitcette disposition grossièrement simplifiée, il apparaîtrait
alors que la alors que la mesure puisse rester une unité éminente de la mesure puisse rester une unité éminente de la pensée musicale contemporaine (_) quand celui de pensée musicale contemporaine (_) quand celui de mètremètre
 paraîtrait devenir plu paraîtrait devenir plus problématique s problématique en particulier pen particulier pour ce qu'il our ce qu'il suggère de régularitsuggère de régularité (quant à la é (quant à la hiérarchisation inthiérarchisation interneerne
des temps forts et faibles) et de répétition: le cas de la carrure -paradigme de tout mètre si l'on en croit la théorie du rythmedes temps forts et faibles) et de répétition: le cas de la carrure -paradigme de tout mètre si l'on en croit la théorie du rythme
et du mètre selon et du mètre selon H.Riemann- serait ainsi le modèle de ce qui est H.Riemann- serait ainsi le modèle de ce qui est devenu définitivement impraticabldevenu définitivement impraticable pour la e pour la penséepensée
musicale contemporaine.musicale contemporaine. Mi traducción. Nicolas, François, “Le feuillete du tempo: Mi traducción. Nicolas, François, “Le feuillete du tempo: Essai sur les Essai sur les modulatiomodulation métriques”n métriques”
 Entretemps Entretemps núm. 9, París, 1990, pp. 51-77.núm. 9, París, 1990, pp. 51-77.
1212
6a). De igual forma si la indicación de bpm cambia y la figura musical permanece tendremos también6a). De igual forma si la indicación de bpm cambia y la figura musical permanece tendremos también
una modulación (ejemplo 6b).una modulación (ejemplo 6b).
En los ejemplos 6a y 6b, la modulación reduce el tempo original a la mitad -al doble de lento- lo cual esEn los ejemplos 6a y 6b, la modulación reduce el tempo original a la mitad -al doble de lento- lo cual es
realizable por el intérprete. Sin embargo si deseamos ejecutar una modulación hacia un tempo que norealizable por el intérprete. Sin embargo si deseamos ejecutar una modulación hacia un tempo que no
sea el doble o la mitad del original es necesario introducir una MM en forma, de manera que lossea el doble o la mitad del original es necesario introducir una MM en forma, de manera que los
caracteres indiquen una relación proporcional distinta de 2/1 entre dos figuras:caracteres indiquen una relación proporcional distinta de 2/1 entre dos figuras:
Ampliando la definición, podemos hablar de “MM brusca” cuando el cambio de tempo se realiza sinAmpliando la definición, podemos hablar de “MM brusca” cuando el cambio de tempo se realiza sin
una figura de transición o duración común, que operaría de la misma forma que las modulacionesuna figura de transición o duración común, que operaría de la misma forma que las modulaciones
tonales sin transición como hacía Scriabin, por ejemplo. Podemos concluir que cualquier modificacióntonales sin transición como hacía Scriabin, por ejemplo. Podemos concluir que cualquier modificación
en la indicación de tempo a lo largo de una obra es indicativa de una MM, ya sea brusca o conen la indicación de tempo a lo largo de una obra es indicativa de una MM, ya sea brusca o con
transición. Al respecto de las “modulaciones bruscas” es pertinente ser consciente de su naturatransición. Al respecto de las “modulaciones bruscas” es pertinente ser consciente de su natura leza noleza no
 proporcional,  proporcional, ya ya que que sin sin un un marco marco temporal temporal de de referencia referencia las las posibilidades posibilidades de de llevar llevar a a cabo cabo concon
 precisión una  precisión una modulación de modulación de este teste tipo dependen ipo dependen de de la exla exigua cantidad digua cantidad de intérpretes e intérpretes capaces capaces de tempode tempo
absoluto, carencia que puede ser remediable gracias al click-track y la memorización de las relacionesabsoluto, carencia que puede ser remediable gracias al click-track y la memorización de las relaciones
de velocidad.de velocidad.
Concluimos entonces que el elemento que distingue los dos tipos de modulación es la duración común,Concluimos entonces que el elemento que distingue los dos tipos de modulación es la duración común,
si existe es modulación con transición, si no, es brusca.si existe es modulación con transición, si no, es brusca.
 Ejemplo 6a Ejemplo 6a. MM que afecta a la. MM que afecta a la
figura musicalfigura musical
 Ejemplo 6b Ejemplo 6b. MM que afecta al. MM que afecta al
tiempo físicotiempo físico
1313
Sobre las indicaciones italianas de tempoSobre las indicaciones italianas de tempo
A pesar de que las unidades de bpm son notadas en la gran mayoría de las MM, en realidad sonA pesar de que las unidades de bpm son notadas en la gran mayoría de las MM, en realidad son
 prescindibles para indicar un cambio de tempo. prescindibles para indicar un cambio de tempo.
Probablemente el primer ejemplo histórico de MM (realizada sin notación de bpm) seaProbablemente el primer ejemplo histórico de MM (realizada sin notación de bpm) sea Sub ArturoSub Arturo
 plebs. plebs. Compuesta por John Aleyn en 1358, este motete de disminución isorrítmica,Compuesta por John Aleyn en 1358, este motete de disminución isorrítmica,3030  permuta la  permuta la
duración de una línea melódica de 9 a 6 y finalmente a 4 unidades rítmicas.duración de una línea melódica de 9 a 6 y finalmente a 4 unidades rítmicas.3131 Esta música anterior a la Esta música anterior a la
tonalidad contiene también compases simultáneos de 3/4, 6/8 y 2/4 y ninguna indicación de tempo.tonalidad contiene también compases simultáneos de 3/4, 6/8 y 2/4 y ninguna indicación de tempo.
Al prescindir de la estructura tonal, esta música modal encontró en elAl prescindir de la estructura tonal, esta música modal encontró en el tempustempus  perfectum perfectum ee
imperfectumimperfectum3232 y en la notación mensurada en general, un alto nivel de organización de eventos sonoros y en la notación mensurada en general, un alto nivel de organización de eventos sonoros
; característica inherente a la música europea.; característica inherente a la música europea.
Entre el renacimiento y el siglo XX el “ritmo es solamente significativo en la medidaen que subyace aEntre el renacimiento y el siglo XX el “ritmo es solamente significativo en la medida en que subyace a
cada sub-estructura inter-cada sub-estructura inter-dimensional”.dimensional”.3333 La mayor parte de la práctica musical de estos siglos entendía La mayor parte de la práctica musical de estos siglos entendía
al ritmo como un elemento musical estable y pasivo, sobre el cual erigir la armonía y el timbre.al ritmo como un elemento musical estable y pasivo, sobre el cual erigir la armonía y el timbre. SubSub
 Arturo plebs Arturo plebs de la misma manera que muchas obras de los siglos XIV y XV enfatiza la importancia del de la misma manera que muchas obras de los siglos XIV y XV enfatiza la importancia del
ritmo y lo concibe como un elemento esencial a la estructura de la obra. Históricamente la tonalidad yritmo y lo concibe como un elemento esencial a la estructura de la obra. Históricamente la tonalidad y
el serialismo son predominantes cuando la música centrada en el ritmo se encuentra en segundo planoel serialismo son predominantes cuando la música centrada en el ritmo se encuentra en segundo plano
y viceversa. Posiblemente el ‘espectralismo’ y la escuela de la ‘nueva complejidad’ hayan sido losy viceversa. Posiblemente el ‘espectralismo’ y la escuela de la ‘nueva complejidad’ hayan sido los
 primeros en equiparar altura, timbre y ritmo. primeros en equiparar altura, timbre y ritmo.
Con el ejemplo Con el ejemplo de John Aleyn y su obra con MM y de John Aleyn y su obra con MM y ausencia de notación sobre el tausencia de notación sobre el tempo, empo, es más claroes más claro
ver que el rol del bpm, es solamente un punto de referencia para el intérprete,ver que el rol del bpm, es solamente un punto de referencia para el intérprete,
que en ocasiones puede llegar a ser un punto de referencia intimidante, en especial si el interprete noque en ocasiones puede llegar a ser un punto de referencia intimidante, en especial si el interprete no
está familiarizado con la MM y se enfrenta con bpm con números decimales:está familiarizado con la MM y se enfrenta con bpm con números decimales:3434
3030  Bent, Margaret,  Bent, Margaret, Two 14th-Century Motets in Praise of MusicTwo 14th-Century Motets in Praise of Music , Antico Edition, Norwich, Reino Unido, 1977, p.30., Antico Edition, Norwich, Reino Unido, 1977, p.30.
3131 Günther, Ursula, en Günther, Ursula y Finscher, Ludwig Günther, Ursula, en Günther, Ursula y Finscher, Ludwig (editores) "Aspects of Music in Chur(editores) "Aspects of Music in Church, Court, and Town ch, Court, and Town fromfrom
the 13th to the 15th Cthe 13th to the 15th Century",entury", Musica Discipli Musica Disciplinana vol. 38 , Middlevol. 38 , Middleton , Wisconsin, 1984, p. 127ton , Wisconsin, 1984, p. 127..
3232 Perfectum Perfectum es la  es la denominacdenominación latina de una ión latina de una nota dividida en tres partes,nota dividida en tres partes, imperfectum,imperfectum, dividida en dos. Para una dividida en dos. Para una
explicación a fondo véase: Apel, Willi,explicación a fondo véase: Apel, Willi, ““The Notation of Polyphonic Music 900The Notation of Polyphonic Music 900  –1600 “ –1600 “ The Medieval Academy ofThe Medieval Academy of
 America, 38 America, 38. Cambridge, Massachusetts, 1961, p. 32.. Cambridge, Massachusetts, 1961, p. 32.
3333 “[R]hythm is only meaningful only insofar as it subsum[es] every dimensional and inter “[R]hythm is only meaningful only insofar as it subsum[es] every dimensional and inter -dimensional substructu-dimensional substructure” Mire” Mi
traducción. Boretztraducción. Boretz, Benjamin, “In Qu, Benjamin, “In Quest of the est of the Rhythmic Genius”,Rhythmic Genius”, Perspective Perspectives of New Ms of New Musicusic, vol. 9, núm. 2 y vol. 10,, vol. 9, núm. 2 y vol. 10,
núm. 1, pp. 149-155.núm. 1, pp. 149-155.
3434 Véase Véase GruppenGruppen de Karlheinz Stockhausen.de Karlheinz Stockhausen.
1414
La principal intención de este trabajo es crear un enfoque práctico de la expansión de la MMLa principal intención de este trabajo es crear un enfoque práctico de la expansión de la MM
"tradicional", consecuentemente cambiar la "interpretación aproximada""tradicional", consecuentemente cambiar la "interpretación aproximada"3535  que va de la mano de la  que va de la mano de la
estética ‘nueva complejidad’ para reducir lo aproximativo de la interpretación de ritmos complejos. Porestética ‘nueva complejidad’ para reducir lo aproximativo de la interpretación de ritmos complejos. Por
lo tanto notar una MM sin bpm podría ser información insuficiente en el mismo caso. Un punto mediolo tanto notar una MM sin bpm podría ser información insuficiente en el mismo caso. Un punto medio
es la MM con las indicaciones clásicas de tempo.es la MM con las indicaciones clásicas de tempo.
3535
““The extent to which the perThe extent to which the performer is technically and spiritually able to recognize and former is technically and spiritually able to recognize and embody the demands of fidelityembody the demands of fidelity
(not exactitude!)(not exactitude!)”. “En la m”. “En la medida en a que edida en a que el intérprete es capaz técnica y espiritualmente de reconocer e incorporar lasel intérprete es capaz técnica y espiritualmente de reconocer e incorporar las
demandas de fidelidad (¡no exactitud!)”.demandas de fidelidad (¡no exactitud!)”. Mi traducción.Mi traducción. “Duration and Rhythm as Compositional Resources” en Boros,“Duration and Rhythm as Compositional Resources” en Boros,
James y Toop, Richard,James y Toop, Richard, Brian Ferneyhough:  Brian Ferneyhough: Collected WCollected Writings,ritings, Routledge, Nueva York, 1995. p. 12.Routledge, Nueva York, 1995. p. 12.
 Ejemplo 11 Ejemplo 11. MM con i. MM con indicacionendicaciones clásicass clásicas
de tempode tempo
1515
Capítulo IICapítulo II
La Modulación en la PartituraLa Modulación en la Partitura
Recuento Histórico y AnálisisRecuento Histórico y Análisis
1.1. Recuento HistóricoRecuento Histórico
La MM a lo largo de los siglos XX y XXI ha tenido una existencia tímida. Sus pocas apariciones en elLa MM a lo largo de los siglos XX y XXI ha tenido una existencia tímida. Sus pocas apariciones en el
repertorio contemporáneo tienen una importancia menor en la estructura general de casi cualquier obra.repertorio contemporáneo tienen una importancia menor en la estructura general de casi cualquier obra.
En la mayoría de sus apariciones transforma un tempo ternario en uno binario o viceversa. Después deEn la mayoría de sus apariciones transforma un tempo ternario en uno binario o viceversa. Después de
cumplida su función, desaparece. Sin embargo existen excepciones notables a esta tendencia, donde lacumplida su función, desaparece. Sin embargo existen excepciones notables a esta tendencia, donde la
modulación toma un papel central generando una vasta riqueza de planos temporales, en su mayoríamodulación toma un papel central generando una vasta riqueza de planos temporales, en su mayoría
aún inexplorada.aún inexplorada.
En el siguiente apartado listo algunas de las obras que hacen uso de MM. Este listado no pretende serEn el siguiente apartado listo algunas de las obras que hacen uso de MM. Este listado no pretende ser
exhaustivo; es incluso muy probable que desconozca un alto número de obras con modulacionesexhaustivo; es incluso muy probable que desconozca un alto número de obras con modulaciones
métricas interesantes, sin emmétricas interesantes, sin embargo, bargo, en él incluí todas len él incluí todas las obras a las que tas obras a las que tengo acceso que utiliengo acceso que utilizan a lazan a la
MM en cualquier medida.MM en cualquier medida.
Al lado derecho del título de cada obra introduje un número que puede ser 1, 2 ó 3 para indicar laAl lado derecho del título de cada obra introduje un número que puede ser 1, 2 ó 3 para indicar la
relevancia de la MM en la obra citada; 1 es una relevancia mínima y tres una relevancia máxima. Pararelevanciade la MM en la obra citada; 1 es una relevancia mínima y tres una relevancia máxima. Para
facilitar su consulta, indico la página o páginas en donde las modulaciones se encuentran y en algunosfacilitar su consulta, indico la página o páginas en donde las modulaciones se encuentran y en algunos
casos donde la página no se encontró, el número de compás y el año en que fueron compuestas.casos donde la página no se encontró, el número de compás y el año en que fueron compuestas.
•• Adams, JohnAdams, John
Phrygian Gates (1977-78), p. 45.Phrygian Gates (1977-78), p. 45. 
Shaker Loops Part III, Loops and Verses (1978)Shaker Loops Part III, Loops and Verses (1978)
A flowering tree (2005-06), p. 251.A flowering tree (2005-06), p. 251.
•• Ades, ThomasAdes, Thomas
Trace Overheard (1995-96), pp. 16, 19.Trace Overheard (1995-96), pp. 16, 19.
Asyla(1997), p. 22.Asyla(1997), p. 22.
•• André, MarkAndré, Mark
Contrapunctus p. 7.Contrapunctus p. 7.
•• Andriessen, LouisAndriessen, Louis
Triplum (1962)Triplum (1962)
•• Aperghis, GeorgesAperghis, Georges
1616
Alter Face (2004)Alter Face (2004)
•• Benjamin, GeorgeBenjamin, George
Antara (1985-7), p. 72.Antara (1985-7), p. 72.
Fantasy on Iambic Rhythm (1985), compFantasy on Iambic Rhythm (1985), compáás 101.s 101.
Into the Little Hill (2006), compInto the Little Hill (2006), compáás 618-619.s 618-619.
Sudden Time (1989-93), pp. 19, 26, 42, 55, 64, 69.Sudden Time (1989-93), pp. 19, 26, 42, 55, 64, 69.
•• Berg, AlbanBerg, Alban
Lulu (1929-35) pp. 144, 162, 285, 328.Lulu (1929-35) pp. 144, 162, 285, 328.
•• Berio LucianoBerio Luciano
Chemins II su sequenza VI (1967), pp. 17, 27, 28.Chemins II su sequenza VI (1967), pp. 17, 27, 28.
 Notturno (1993), p. 2 Notturno (1993), p. 2
•• Birtwistle, HarrisonBirtwistle, Harrison
Crowd (2005)Crowd (2005)
Silbury Air (1977, rev. 2003).Silbury Air (1977, rev. 2003).
Clarinet Quintet (1981), p. 18.Clarinet Quintet (1981), p. 18.
Cortege (2007), p. 15.Cortege (2007), p. 15.
Exody (1997), p. 48, 52.Exody (1997), p. 48, 52.
GawainGawain´́s Journey (1991), p. 31.s Journey (1991), p. 31.
Clocks (1998), p. 14.Clocks (1998), p. 14.
Secret Theatre (1984), pp. 3,107.Secret Theatre (1984), pp. 3,107.
Theseus Game (2002), p. 4.Theseus Game (2002), p. 4.
•• Boulez, PierreBoulez, Pierre
Marteau sans MaMarteau sans Maîître (1952), p. 20.tre (1952), p. 20.
Sur Incises (1996-8), pp. 88, 144.Sur Incises (1996-8), pp. 88, 144.
Pli selon pli (1957), p. 10.Pli selon pli (1957), p. 10.
•• Brawaeys, LucBrawaeys, Luc
Jocasta (2003)Jocasta (2003)
String Quartet III (2002), p. 26.String Quartet III (2002), p. 26.
•• Britten, BenjaminBritten, Benjamin
A midsummer A midsummer ́́s night dream (1960), pp. 183, 198, 200, 361, 481.s night dream (1960), pp. 183, 198, 200, 361, 481.
Albert Herring (1947), p. 15, 46, 192, 247, 248, 249, 250, 251, 404, 479, 496.Albert Herring (1947), p. 15, 46, 192, 247, 248, 249, 250, 251, 404, 479, 496.
1717
Lachrymae (1976), p. 12.Lachrymae (1976), p. 12.
Suite for cello solo (1964)Suite for cello solo (1964)  
Winter Words, 3. Wagtail and Baby (1953).Winter Words, 3. Wagtail and Baby (1953).
Gloriana, 5. first Lute Song (1977), pg. 85, 86, 87.Gloriana, 5. first Lute Song (1977), pg. 85, 86, 87.
The turn of the screw (1957), p. 36, 39.The turn of the screw (1957), p. 36, 39.
•• Cassidy, AaronCassidy, Aaron
The Relief of Construction (1997), p. 41.The Relief of Construction (1997), p. 41.
•• Crumb, GeorgeCrumb, George
Echoes of time and the River (1967), p. 11.Echoes of time and the River (1967), p. 11.
•• Davies, Peter M.Davies, Peter M.
Piano Sonata (1981), pg. 6.Piano Sonata (1981), pg. 6.
•• Dutilleux, HenriDutilleux, Henri
Ainsi la Nuit (1976), p. 11.Ainsi la Nuit (1976), p. 11.
•• Fedele, IvanFedele, Ivan
Corrente, p. 2Corrente, p. 2
Modus (1988), p. 5.Modus (1988), p. 5.
Arcipielago MArcipielago Möö bius (2004), p. 8. bius (2004), p. 8.
•• Ferneyhough, BrianFerneyhough, Brian
Carcere dCarcere d´́Invenzione I (1982), compases 61-62, 149-150.Invenzione I (1982), compases 61-62, 149-150.
Carcere dCarcere d´́Invenzione III (1986), compases 11-12, 13-14, 15-16, 16-17, 32-33, 52-53, 83-84.Invenzione III (1986), compases 11-12, 13-14, 15-16, 16-17, 32-33, 52-53, 83-84.
Chronos- Aion (2008), p. 6.Chronos- Aion (2008), p. 6.
Drum-Transisset I (2006).Drum-Transisset I (2006).
Shadowtime (1990-2004), p. 168, act III, p. 2.Shadowtime (1990-2004), p. 168, act III, p. 2.
String Quartet 5 (2006), c. 159.String Quartet 5 (2006), c. 159.
The doctrine of similarity (2001) Dust to DuskThe doctrine of similarity (2001) Dust to Dusk
•• Gervasoni,Gervasoni,
Irrene Stime (2006), pp. 11, 12.Irrene Stime (2006), pp. 11, 12.
•• Halfter, CristóbalHalfter, Cristóbal
Epitafio (2008), p. 24.Epitafio (2008), p. 24.
•• Harvey, JonathanHarvey, Jonathan
Cello Concerto (1990), p. 19, 20, 21, 27.Cello Concerto (1990), p. 19, 20, 21, 27.
1818
Body Mandale (2006), p. 46.Body Mandale (2006), p. 46.
Concerto Percussion (1997), p. 60.Concerto Percussion (1997), p. 60.
•• Hurtado, José LuisHurtado, José Luis
LL´́Arditto (2006), pp. 8, 10.Arditto (2006), pp. 8, 10.
•• Ives, CharlesIves, Charles
Sonata 2 para piano (1915), p. 12.Sonata 2 para piano (1915), p. 12.
Study 23 (1907-1912), pp. 5, 6, 9.Study 23 (1907-1912), pp. 5, 6, 9.
The Celestial Road (1924), pp. 4, 15.The Celestial Road (1924), pp. 4, 15.
•• Jarrell, MichelJarrell, Michel
Assonance para clarinete en sib (1983), pp. 1, 3.Assonance para clarinete en sib (1983), pp. 1, 3.
Modifications (1989), pp. 8, 19, 25, 27.Modifications (1989), pp. 8, 19, 25, 27.
•• Johnston, BenJohnston, Ben
String Quartet No. 4String Quartet No. 4
•• Kúrtag, GyörgyKúrtag, György
Messages of the Late, pp. 49, 50.Messages of the Late, pp. 49, 50.
Quasi una fantasia (1988), p. 21.Quasi una fantasia (1988), p. 21.
•• Lach, Juan SebastiánLach, Juan Sebastián
Chamba de um acorde (2011)Chamba de um acorde (2011)
•• Lachenmann, HelmutLachenmann, Helmut
Concertini (2004) , pp. 80, 90, 91, 98.Concertini (2004) , pp. 80, 90, 91, 98.
Streichquartett II (1989), p. 68.Streichquartett II (1989), p. 68.
Tanzsuite mit Deutschlandlied (1979-80), pp. 1, 2, 20, 26, 42, 45, 68, 114.Tanzsuite mit Deutschlandlied (1979-80), pp. 1, 2, 20, 26, 42, 45, 68, 114.
•• Levy, FabienLevy, Fabien
Durch (1998), p. 8.Durch (1998), p. 8.
•• Ligeti, GyörgyLigeti, György
Konzert f Konzert f üür Violine und Orchester (1990-92), pp. 9, 22.r Violine und Orchester (1990-92), pp. 9, 22.
•• Lindberg, MagnusLindberg, Magnus
Feria (1997), pp. 33, 60.Feria (1997), pp. 33, 60.
Graffiti (2009), pp. 2, 3, 4, 9, 13, 16, 21.Graffiti (2009), pp. 2, 3, 4, 9, 13, 16, 21.
Gran DGran Dúúo (2005), pp. 3, 4, 9, 13, 14.o (2005), pp. 3, 4, 9, 13, 14.
Piano Trio (2005), pp. 11, 13, 14, 17.Piano Trio (2005), pp. 11, 13, 14, 17.
1919
Seht die Sonne (2007), pp. 4, 11, 15, 18, 27.Seht die Sonne (2007), pp. 4, 11, 15, 18, 27.
•• López López, Juan ManuelLópez López, Juan Manuel
Cuarteto de Cuerdas nCuarteto de Cuerdas nºº I (2007), pp. 5, 14, 18, 22, 24, 30, 32, 41, 42, 45, 61. I (2007), pp. 5, 14, 18, 22, 24, 30, 32, 41, 42, 45, 61.
Un instante anterior al tiempo (2006), pp. 3, 4, 5.Un instante anterior al tiempo (2006), pp. 3, 4, 5.
Estudio II sobre la ModulaciEstudio II sobre la Modulacióón Mn Méétrica (2006).trica (2006).
•• Macmillan, JamesMacmillan, James
Veni Veni Emmanuel (1992), pp. 44, 122.Veni Veni Emmanuel (1992), pp. 44, 122.
WorldWorld´́s Ransoming (1997), pp. 14, 39, 52.s Ransoming (1997), pp. 14, 39, 52.
•• Martinu, BohuslavMartinu, Bohuslav
Symphony 4 (1945), pp. 54, 83.Symphony 4 (1945), pp. 54, 83.
Symphony 5 (1946), pp. 85, 104.Symphony 5 (1946), pp. 85, 104.
•• Murail, TristanMurail, Tristan
Ethers (1978), p. 18.Ethers (1978), p. 18.
Erosion (1976), pp. 40, 62.Erosion (1976), pp. 40,62.
La Barque Mystique (1993), p. 93.La Barque Mystique (1993), p. 93.
•• Pärt, ArvoPärt, Arvo
La Sindone (2005). p. 41.La Sindone (2005). p. 41.
•• Pesson, GerárdPesson, Gerárd
Recreations FranRecreations Franççaises (2001), pp. 23, 46.aises (2001), pp. 23, 46.
•• Rautavaara, EinojuhaniRautavaara, Einojuhani
Sonata for Basson and Piano, op. 26 (1970), p. 13.Sonata for Basson and Piano, op. 26 (1970), p. 13.
•• Saariaho, KaijaSaariaho, Kaija
Cendres (1998), pp. 13, 15.Cendres (1998), pp. 13, 15.
Du Cristal (1989-90), pp. 3, 42.Du Cristal (1989-90), pp. 3, 42.
Io (1986-87), pp. 20, 22, 24, 27, 35, 37, 42, 43.Io (1986-87), pp. 20, 22, 24, 27, 35, 37, 42, 43.
LL´́Amour de Loin (2000).Amour de Loin (2000).
Orion (2002)Orion (2002)
•• Scelsi, GiacintoScelsi, Giacinto
Cinque Incantesimi , p. 18Cinque Incantesimi , p. 18
Concerto for Piano, p. 10.Concerto for Piano, p. 10.
•• Sotelo, MauricioSotelo, Mauricio
2020
Wall of Black Light (2006), p. 22.Wall of Black Light (2006), p. 22.
•• Spahlinger, MathiasSpahlinger, Mathias
Gegen unedlich (1995), compGegen unedlich (1995), compáás 247 y 267.s 247 y 267.
 Nah, getrennt (1992) Nah, getrennt (1992)
Furioso (1991-92), pp. 19, 23, 25, 33.Furioso (1991-92), pp. 19, 23, 25, 33.
•• Staud, Johannes MariaStaud, Johannes Maria
Violent Incidents (2005), p. 19.Violent Incidents (2005), p. 19.
Fur Balint Andras Vargas (2007), pp. 5, 8.Fur Balint Andras Vargas (2007), pp. 5, 8.
Apeiron (2004-05), pp, 10, 22.Apeiron (2004-05), pp, 10, 22.
Portugal (2006), p. 4.Portugal (2006), p. 4.
•• Stroppa, MarcoStroppa, Marco
Tangata Manu (1995), compTangata Manu (1995), compáás 37.s 37.
•• Takemitsu, ToruTakemitsu, Toru
Litany (1990), p. 8.Litany (1990), p. 8.
2.2. AnálisisAnálisis
Dentro del reducido repertorio de obras con uso de MM, hice una selección de las más interesantes paraDentro del reducido repertorio de obras con uso de MM, hice una selección de las más interesantes para
ser analizadas. El criterio para elegirlas fue el siguiente: si presenta más de siete modulaciones que noser analizadas. El criterio para elegirlas fue el siguiente: si presenta más de siete modulaciones que no
sean relaciones de 2 a 3 o viceversa, es analizada. En el caso de Elliott Carter analizo dos obrassean relaciones de 2 a 3 o viceversa, es analizada. En el caso de Elliott Carter analizo dos obras
representativas o particularmente interesantes.representativas o particularmente interesantes.
Cada obra de las cinco siguientes hace un uso particular y muy diferenciado del tempoCada obra de las cinco siguientes hace un uso particular y muy diferenciado del tempo y la MM. Eny la MM. En
ocasiones, el cambio de velocidades metronómicas estará ligado a las alturas, en otras prescindirá deocasiones, el cambio de velocidades metronómicas estará ligado a las alturas, en otras prescindirá de
ellas. A veces la selección deellas. A veces la selección de tempitempi  parecerá parecerá un evento fortuito y en otras claramente planeado. Laun evento fortuito y en otras claramente planeado. La
variedad de aproximaciones impide establecer un sistema analítico absoluto por lo que adecuo lavariedad de aproximaciones impide establecer un sistema analítico absoluto por lo que adecuo la
estrategia de análisis para cada caso específico.estrategia de análisis para cada caso específico.
2.A. Primer 2.A. Primer Cuarteto de Cuarteto de Cuerdas de Cuerdas de Elliot CarterElliot Carter
El Primer Cuarteto de Cuerdas de Elliott Carter fue compuesto a lo largo de 1950 en uno de losEl Primer Cuarteto de Cuerdas de Elliott Carter fue compuesto a lo largo de 1950 en uno de los
episodios más ricos y novedosos en términos musicales de la vida de Carter. A través de una becaepisodios más ricos y novedosos en términos musicales de la vida de Carter. A través de una beca
Guggenheim y una subvención delGuggenheim y una subvención del National Institute  National Institute of Arts and of Arts and LettersLetters hizo un hiato de un año de suhizo un hiato de un año de su
labor catedrática enlabor catedrática en la Universidad de Columbiala Universidad de Columbia para dedicarse p para dedicarse por completo a la cor completo a la composición de estosomposición de estos
magníficos 35 minutos de cuarteto, vanguardistas por la plétora de usos del ritmo.magníficos 35 minutos de cuarteto, vanguardistas por la plétora de usos del ritmo.
2121
A lo largo de este cuarteto podemos ver un uso muy recurrente de la MM en las obras Carter, enA lo largo de este cuarteto podemos ver un uso muy recurrente de la MM en las obras Carter, en
especial en dotaciones de más de un instrumento, que es el cambio simultáneo de subdivisión, ritmo,especial en dotaciones de más de un instrumento, que es el cambio simultáneo de subdivisión, ritmo,
compás y tempo, para establecer un reino de posibilidades de duración tremendamente vasto que a lacompás y tempo, para establecer un reino de posibilidades de duración tremendamente vasto que a la
vez es claro de entender y fácil de llevar a cabo.vez es claro de entender y fácil de llevar a cabo.
Sobre este cuarteto, Carter dijo: “Decidí de una vez por todasSobre este cuarteto, Carter dijo: “Decidí de una vez por todas escribir una obra muy interesante para escribir una obra muy interesante para
mi, y así decir ‘al demonio’ con el público y también con los intérpretes. Quería escribir una obra quemi, y así decir ‘al demonio’ con el público y también con los intérpretes. Quería escribir una obra que
se encargara completamente de las varias ideas que tenía en ese entonces sobre la forma de la música,se encargara completamente de las varias ideas que tenía en ese entonces sobre la forma de la música,
sobre la tsobre la textura y la armonía”.extura y la armonía”.3636
Citado por el NY Times dice: “había esperado uCitado por el NY Times dice: “había esperado una oportunidad así para dar na oportunidad así para dar forma a un número de ideasforma a un número de ideas
noveles que había tenido a lo largo de los años anteriores y para trabajar en una composición extensa,noveles que había tenido a lo largo de los años anteriores y para trabajar en una composición extensa,
el carácter, expresión y lógica que estas ideas parecían demandar. Sentí que constantemente estabael carácter, expresión y lógica que estas ideas parecían demandar. Sentí que constantemente estaba
empujando hacia un reino musical inexplorado”,empujando hacia un reino musical inexplorado”,3737 siendo  siendo el el papel estructural papel estructural que el que el ritmo organizadoritmo organizado
toma una de las más radicales y novedosas.toma una de las más radicales y novedosas.
El análisis que aquí muestro hace un recuento de todas las modulaciones hechas en el primerEl análisis que aquí muestro hace un recuento de todas las modulaciones hechas en el primer
movimiento,movimiento,  Fantasia. Fantasia. Uno de los rasgos más característicos de este movimiento es que lasUno de los rasgos más característicos de este movimiento es que las
modulaciones se hacen a través de un conjunto de movimientos rítmicos que implican cambios demodulaciones se hacen a través de un conjunto de movimientos rítmicos que implican cambios de
compás sumados a cambios de tempo que no son necesariamente dependientes de los otroscompás sumados a cambios de tempo que no son necesariamente dependientes de los otros
instrumentos. La modulación numerada 7 en la tabla (compases 49-50) es un claro ejemplo de ello. Eninstrumentos. La modulación numerada 7 en la tabla (compases 49-50) es un claro ejemplo de ello. En
el compás 49 el violín I está en un compás de 6/4 agrupado binariamente (como dos grupos de 6/8) y lael compás 49 el violín I está en un compás de 6/4 agrupado binariamente (como dos grupos de 6/8) y la
MM que la viola y el cello realizan entre los compases 49 y 50 ya fue hecha entre los compases 48 yMM que la viola y el cello realizan entre los compases 49 y 50 ya fue hecha entre