ANÁLISIS DINÁMICO - MODAL - EJERCICIO PRÁCTICO

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ANÁLISIS DINÁMICO 
ANÁLISIS MODAL : "VIBRACIONES MODALES"
El pórtico presenta columnas con una misma sección para cada nivel y las masas de cada nivel están 
concentradas en el medio diafragma de cada nivel. Asimismo K1 corresponde a la rigidez del primer nivel, 
K2 la rigidez del segundo nivel y K3 a la rigidez del tercer nivel. De la misma forma se denotará a las 
masas m1, m2 y m3.
1) Datos:
≔k1 96400 ――
tonf
cm
≔m1 96 ton
≔k2 96400 ――
tonf
cm
≔m2 96 ton
≔k3 96400 ――
tonf
cm
≔m3 48 ton
2) Matriz de masa y rigidez:
≔m =
m1 0 0
0 m2 0
0 0 m3
⎡
⎢
⎢
⎢⎣
⎤
⎥
⎥
⎥⎦
96 0 0
0 96 0
0 0 48
⎡
⎢
⎢
⎣
⎤
⎥
⎥
⎦
ton
≔k =
+k1 k2 -k2 0
-k2 +k2 k3 -k3
0 -k3 k3
⎡
⎢
⎢
⎢⎣
⎤
⎥
⎥
⎥⎦
192800 -96400 0
-96400 192800 -96400
0 -96400 96400
⎡
⎢
⎢
⎣
⎤
⎥
⎥
⎦
――
tonf
cm
Bach. Santos Quichua Luis Angel Página 1
ANÁLISIS DINÁMICO 
3) Cálculo de autovalores: ＝det (( -k ⋅λ m)) 0 ＝λj wj
2 ＝A ―
1
λ
≔A =⋅k-1 m
0.0001 0.0001 0.00005
0.0001 0.0002 0.0001
0.0001 0.0002 0.00015
⎡
⎢
⎢
⎣
⎤
⎥
⎥
⎦
⋅⋅―
s2
m
――
cm
s2
s2
≔δi =eigenvals ((A))
0.00038
0.00005
0.00003
⎡
⎢
⎢
⎣
⎤
⎥
⎥
⎦
⋅⋅―
s2
m
――
cm
s2
s2
≔λ1 =―
1
δi
⋅2.64 104
⋅1.97 105
⋅3.68 105
⎡
⎢
⎢
⎢⎣
⎤
⎥
⎥
⎥⎦
⋅―
1
s2
10
4) Velocidad angular, Periodo y Frecuencia:
≔ωi =‾‾λ1
51.368
140.339
191.707
⎡
⎢
⎢
⎣
⎤
⎥
⎥
⎦
⋅―
1
s
10
≔ω1 51.368 ――
rad
s
≔T1 =――
⋅2 π
ω1
0.122 s ≔f1 =―
1
T1
8.18 Hz
≔ω2 140.339 ――
rad
s
≔T2 =――
⋅2 π
ω2
0.045 s ≔f2 =―
1
T2
22.34 Hz
≔ω3 191.707 ――
rad
s
≔T3 =――
⋅2 π
ω3
0.033 s ≔f3 =―
1
T3
30.51 Hz
5) Cálculo de auto vectores:
≔ϕi =eigenvecs((A))
-0.354 -0.707 0.354
-0.612 0 -0.612
-0.707 0.707 0.707
⎡
⎢
⎢
⎣
⎤
⎥
⎥
⎦
Modo N°3, desplazamiento 1 unitario en el nivel 3:
≔u1 =―――
-0.354
-0.707
0.501
≔ui
-0.354
-0.612
-0.707
⎡
⎢
⎢
⎣
⎤
⎥
⎥
⎦
>＝
≔u2 =―――
-0.612
-0.707
0.866
≔u3 =―――
-0.707
-0.707
1
>＝
≔ϕ1 =
u1
u2
u3
⎡
⎢
⎢
⎢⎣
⎤
⎥
⎥
⎥⎦
0.501
0.866
1
⎡
⎢
⎢
⎣
⎤
⎥
⎥
⎦
Bach. Santos Quichua Luis Angel Página 2
ANÁLISIS DINÁMICO 
Modo N°2, desplazamiento 1 unitario en el nivel 3:
≔u1 =―――
-0.707
0.707
-1
≔ui
-0.707
0.000
0.707
⎡
⎢
⎢
⎣
⎤
⎥
⎥
⎦
>＝
≔u2 =――
0
0.707
0
≔u3 =――
0.707
0.707
1
>＝
≔ϕ2 =
u1
u2
u3
⎡
⎢
⎢
⎢⎣
⎤
⎥
⎥
⎥⎦
-1
0
1
⎡
⎢
⎢
⎣
⎤
⎥
⎥
⎦
Modo N°3, desplazamiento 1 unitario en el nivel 3:
≔u1 =――
0.354
0.707
0.501
≔ui
0.354
-0.612
0.707
⎡
⎢
⎢
⎣
⎤
⎥
⎥
⎦
>＝
≔u2 =―――
-0.612
0.707
-0.866
≔u3 =――
0.707
0.707
1
>＝
≔ϕ3 =
u1
u2
u3
⎡
⎢
⎢
⎢⎣
⎤
⎥
⎥
⎥⎦
0.501
-0.866
1
⎡
⎢
⎢
⎣
⎤
⎥
⎥
⎦
Finalmente:
≔ϕ
0.501 -1 0.501
0.866 0 -0.866
1 1 1
⎡
⎢
⎢
⎣
⎤
⎥
⎥
⎦
Bach. Santos Quichua Luis Angel Página 3
ANÁLISIS DINÁMICO 
FORMA DE MODO N°1:
=ϕ1
0.501
0.866
1
⎡
⎢
⎢
⎣
⎤
⎥
⎥
⎦
≔x1
0
3
6
9
⎡
⎢
⎢
⎢
⎣
⎤
⎥
⎥
⎥
⎦
≔ϕ11
0
0.501
0.866
1
⎡
⎢
⎢
⎢
⎣
⎤
⎥
⎥
⎥
⎦
FORMA DE MODO N°2:
≔x2
0
3
6
9
⎡
⎢
⎢
⎢
⎣
⎤
⎥
⎥
⎥
⎦
≔ϕ22
0
-1
0
1
⎡
⎢
⎢
⎢
⎣
⎤
⎥
⎥
⎥
⎦
=ϕ2
-1
0
1
⎡
⎢
⎢
⎣
⎤
⎥
⎥
⎦
Bach. Santos Quichua Luis Angel Página 4
ANÁLISIS DINÁMICO 
FORMA DE MODO N°3:
≔x3
0
3
6
9
⎡
⎢
⎢
⎢
⎣
⎤
⎥
⎥
⎥
⎦
≔ϕ33
0
0.501
-0.866
1
⎡
⎢
⎢
⎢
⎣
⎤
⎥
⎥
⎥
⎦
=ϕ3
0.501
-0.866
1
⎡
⎢
⎢
⎣
⎤
⎥
⎥
⎦
Bach. Santos Quichua Luis Angel Página 5