Diapositiva8

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última actualización: 30 de julio de 2018
Módulo 1 - Diapositiva 8
Desigualdades y Valor Absoluto
Universidad de Antioquia
Facultad de Ciencias Exactas y Naturales
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Temas
Desigualdades
Intervalos
Valor absoluto
Ecuaciones e inecuaciones con valor absoluto
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Desigualdades
Desigualdades o inecuaciones
Es un enunciado en el que se comparan dos
expresiones mediante la relación mayor o menor
que (mayor o igual, menor o igual)
Las siguientes son ejemplos de desigualdades:
x < 2, a ≤ b + c, 3x2 − x + 5 > 0
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Desigualdades
Inecuaciones
La inecuación:
−1 < x < 3
posee infinitas soluciones, pues todos los valores de x entre −1 y
3 verifican la desigualdad, por tanto el conjunto solución de la
desigualdad puede verse intuitivamente como el tramo de la
recta real entre −1 y 3.
Cómo pueden definirse estos conjuntos que dan solución a estas
desigualdades?
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Intervalos
Suponga que a, b son dos números reales tales que a < b. En estas
condiciones definimos lo siguiente:
(a, b) = {x ∈ R : a < x < b}
[a, b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b}
[a, b) = {x ∈ R : a ≤ x < b}
(a, b] = {x ∈ R : a < x ≤ b}
(a,∞) = {x ∈ R : x > a}
[a,∞) = {x ∈ R : x ≥ a}
(−∞, b) = {x ∈ R : x < b}
(−∞, b] = {x ∈ R : x ≤ b}
(−∞,∞) = R
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Intervalos: Representación Geométrica
Intervalo cerrado
[a, b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b}
Intervalo abierto
(−∞, b) = {x ∈ R : x < b}
Ejercicio
Mustre la representación geométrica de los intervalos faltantes.
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Desigualdades
Propiedades de las desigualdades
Sean a, b, c ∈ R
a2 ≥ 0
a ≤ b ⇔ a± c ≤ b± c
a ≤ b y c ≤ d, entonces a + c ≤ b + d.
Si c > 0, entonces: a ≤ b ⇔ ca ≤ cb
Si c < 0, entonces: a ≤ b ⇔ ca ≥ cb
Si a > 0 y b > 0, entonces: a ≤ b ⇔ 1
a
≥ 1
b
Si a > 0, entonces
1
a
> 0 y si a < 0, entonces
1
a
< 0
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Ejemplos de desigualdades lineales
1 Para solucionar la desigualdad 2x− 5 > 3, tenemos en cuenta las
propiedades de las desigualdades y obtenemos que
x >
3 + 5
2
, es decir x > 4.
Por tanto el conjunto solución es el intervalo (4,∞).
2 Para solucionar la desigualdad −6− x ≥ −9, tenemos en cuenta
las propiedades de las desigualdades y obtenemos que
−x ≥ −9 + 6, es decir x ≤ 3.
Por tanto el conjunto solución es el intervalo (−∞, 3].
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Ejemplo de desigualdad no lineal
Para solucionar la desigualdad
16x ≤ x3
es necesario factorizar:
(4− x)(4 + x)x ≤ 0
y analizar cuando el producto de estos tres factores es negativo o cero.
Para esto basta analizar el signo de cada uno de estos tres factores y
el conjunto solución será aquel en el cual los tres factores sean
negativos o uno solo de los tres sea negativo.
Aśı el conjunto solución es:
[−4, 0] ∪ [4,∞)
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Ejemplo:
Para resolver la desigualdad:
x2 − x− 6
1− x
≥ 0
Factorizamos y aplicamos la ley de los signos a:
(x + 2)(x− 3)
(1− x)
≥ 0
La imagen muestra como cambian los signos para cada uno de los
factores que componen la fracción:
Aśı, la solución está dada por el conjunto: (−∞,−2] ∪ (1, 3]
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Valor Absoluto de un número real
El valor absoluto de un número real, puede verse gráficamente como
la distancia que hay de la representación de dicho número en la recta
real al origen.
Interpretación geométrica
Valor Absoluto
El valor absoluto de un número real x está dado por:
|x| =
{
x, si x ≥ 0
−x, si x < 0
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Propiedades del valor absoluto
Propiedades
Para a, b ∈ R:
|a| ≥ 0
|a|2 = a2
|a| = 0⇔ a = 0
|a + b| ≤ |a|+ |b|
|ab| = |a| |b|∣∣∣a
b
∣∣∣ =
|a|
|b|
, b 6= 0.
Suponga que c ∈ R tal que c > 0 :
|a| = c ⇔ a = c ó a = −c
|a| ≤ c ⇔ −c ≤ a ≤ c
|a| ≥ c ⇔ a ≤ −c ó a ≥ c
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Ejemplo
Si queremos resolver la siguiente ecuación con valor absoluto:∣∣∣∣3x− 1
4x
∣∣∣∣ = 1
necesitamos primero imponer la condición x 6= 0 para que la expresión
tenga sentido en los reales. Luego utilizamos la propiedad para
igualdades con valor absoluto
3x− 1
4x
= 1 ó
3x− 1
4x
= −1
y obtenemos dos soluciones
x = −1 ó x =
1
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Ejemplo
Para resolver la desigualdad:
|x− 1| ≥ 1
utilizamos la propiedad para desigualdades con valor absoluto
x− 1 ≤ −1 ó x− 1 ≥ 1.
Resolvemos ambas desigualdades por separado para luego hacer la
unión de los dos conjuntos solución y obtener la solución de la
desigualdad, que en este caso es el conjunto
(−∞, 0] ∪ [2,+∞)
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Ejemplo
Si queremos resolver la desigualdad:∣∣∣∣x + 4
x− 2
∣∣∣∣ ≤ 2
necesitamos primero imponer la condición x 6= 2 para que la expresión
tenga sentido en los reales. Luego utilizamos la propiedad para
desigualdades con valor absoluto
−2 ≤ x + 4
x− 2
≤ 2
y resolvemos las siguientes dos desigualdades por separado
−2 ≤ x + 4
x− 2
y
x + 4
x− 2
≤ 2
luego hacemos la intersección de los dos conjuntos solución y esta será
la solución de la desigualdad, que en este caso es el conjunto:
(−∞, 0] ∪ [8,∞)
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Referencias
Sullivan, M. Álgebra y Trigonometŕıa, 7a Edición. Editorial Pearson
Prentice Hall, 2006.
Swokowski, E.W. Cole, J.A. Álgebra y Trigonometŕıa con Geometŕıa
Anaĺıtica 13a Edición. Editorial Cengage Learning, 2011
Zill, D. G. Dewar, J. M. Álgebra, Trigonometŕıa y Geometŕıa
Anaĺıtica, 3a Edición. Editorial McGraw-Hill, 2012.
16
	Desigualdades
	Intervalos
	Valor Absoluto
	Ecuaciones e inecuaciones con valor absoluto
	Referencias