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APRENDIZAJES ESPERADOS A continuación mostramos una imagen que entre otras cosas nos sirve para el seguimiento del desplazamiento de las tormentas y huracanes. Este es un mapa situado en un plano coordenado de la península del Caribe con las coordenadas geográficas de cada punto. Uno de los objetivos del mapa es que los usuarios de internet puedan imprimirlo y dar seguimiento escrito en papel al huracán, aún en caso de pérdida de comunicaciones de datos. Otros de los usos es el de saber qué áreas podrían verse afectadas. SEGUIMOS CON EL AGRADABLE TEMA DE ÁREAS Y LAS COORDENADAS Comunicación matemática • Identificar los polígonos y elementos que intervienen en la comparación de sus áreas. • Identificar los elementos en un plano coordenado y el cálculo en ellos. Resolución de problemas • Calcula con los datos disponibles, las relaciones entre áreas, las partes circulares y los cálculos haciendo uso de los planos cartesianos. • Formula estrategias de resolución en diferentes tipos de problemas donde se calcule áreas circulares, relaciones y el uso de las coordenadas rectangulares. UNIDAD 1UNIDAD 7 Geometría 4to - III Bim.indd 169 31/10/2014 11:46:03 a.m. 171170 TRILCE Colegios 1 En la antigüedad, se plantearon varios problemas famosos, uno de ellos era la denominada cuadratura del círculo. Este problema es irresoluble por Geometría y consiste en hallar _con solo regla y compás_ un cuadrado que posea un área que sea igual a la de un círculo dado. La resolución de este problema trató de abordarse repetidas veces, sin éxito, desde la antigüedad clásica hasta el siglo XIX. Hablando en sentido figurado, se dice de algo que es la "cuadratura del círculo" cuando representa un problema muy difícil o imposible de resolver. Relaciones de áreas En este capítulo aprenderemos: • A identificar los tipos de polígonos y los elementos que intervienen en la comparación de sus respectivas áreas. • A reconocer, diferenciar y aplicar las propiedades de las relaciones de áreas, en la resolución de problemas. p . R2 b2 4 2 1 3 1 4 2 3 Cuadratura de un triángulo Por otra parte, se trabajó en las cuadraturas de algunos polígonos. La siguiente figura nos muestra una manera muy interesante de mostrar la cuadratura de un triángulo, se observa cuatro cortes realizados en el triángulo de modo que encajan perfectamente en un cuadrado. • ¿Podría usarse estos cortes del triángulo como un aporte lúdico en matemática? 1 Geometría 4to - III Bim.indd 170 31/10/2014 11:46:03 a.m. 171170 TRILCE Colegios Unidad VII Geometría Conceptos básicos 1.ra Relación BF Ceviana AF Ceviana S1 S2 a b = S1 S2 m n = m n F A C B S1 a bF A C B S1 S2 S2 n 3n DA C B S 3S BD Ceviana 4.ta Relación 5.ta Relación 6.ta Relación MA C B S S 2.da Relación BM Mediana A C B S S M N P S S A C B S SS S S S 3.ra Relación G Baricentro G S= Área ABC 4 = S1 S2 a.b m.n = = = ...=K2 S1 S2 a2 b2 h1 h2 2 2 También: Si: aº=qº ó aº+qº=180º A C B 3S M N S aº aº qº qº S1 S2 h1 h2 MN // AC m n S2 qº a b S1 aº a b Si: 1 2 21 Geometría 4to - III Bim.indd 171 31/10/2014 11:46:04 a.m. Relaciones áreas 173172 TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe Central: 619-8100 Geometría En todo cuadrilátero convexo: En todo cuadrilátero: En el trapecio Para un paralelogramo Si: "M", "N", "P" y "Q" son puntos medios de los lados MNPQ es un paralelogramo Además: X= Área ABCD 2 A . B=x . y BC // ADB C A S1 S1 =S2 S2 D B C A x A =( x+ y) 2 y D 7.ma Relación 8.va Relación 9.na Relación 10.ma Relación A B y x A . B=x . y A= x= B= Luego: A . B= ah 2 . bH 2 Ordenando: A . B=aH 2 . bh 2 y= Demostración: A h B H y xa b ah 2 aH 2 bH 2 bh 2 A M B N C P DQ X B A C D S S B A C D A A A A B A C D P S S=A+B S=Área ABCD 2 "P" punto cualquiera de BC BA Geometría 4to - III Bim.indd 172 31/10/2014 11:46:04 a.m. Unidad VII Geometría 1 173172 TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe Central: 619-8100 Geometría Conceptos básicosAplica lo comprendido 10 x 5 50 Síntesis teórica • Dos figuras planas son equivalentes, cuando tienen la misma área. FIGURAS PLANAS EQUIVALENTES • Las áreas se encuentran en la relación de los lados a los cuales es relativa la altura. • Al trazar una mediana, el triángulo queda dividido en dos partes equivalentes. CUANDO DOS TRIÁNGULOS COMPARTEN UNA MISMA ALTURA • En todo trapecio, al trazar las diagonales se forman triángulos equivalentes. AL TRAZAR LAS DIAGONALES DE UN CUADRILÁTERO CONVEXO, SE DETERMINAN CUATRO TRIÁNGULOS TALES QUE EL PRODUCTO DE LAS ÁREAS DE LOS OPUESTOS SON IGUALES • Las áreas de dos polígonos semejantes son propor- cionales al cuadrado de sus elementos homólogos. FIGURAS SEMEJANTES 1. En las figuras mostradas, calcular la relación entre "S1" y "S2". a) n 3n S1 S2 b) 2n 5n S1 S2 2. Si el área de la región sombreada es de 12 3 cm2, calcular el área de la región triangular ABC. A B M C 3. Grafique al trapecio ABCD de base menor BC y donde las diagonales se cortan en "O". Si las áreas de las regiones triangulares ABO y OCD son de (x2 - 1) cm2 y 80 cm2 respectivamente, calcular el valor de "x". Geometría 4to - III Bim.indd 173 31/10/2014 11:46:05 a.m. Relaciones áreas 175174 TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe Central: 619-8100 Geometría Conceptos básicos Aprende más... 4. ABCD es un trapecio. Si las áreas de las regiones ABO y ADO son de 8 cm2 y 14 cm2, calcular el área de la región triangular ACD. A B C D O 5. La figura muestra a dos triángulos semejantes. Calcular la relación de sus áreas. 2l aº qº A B C 3l aº qºP Q R 6. Grafique al triángulo ABC y marque "M" punto medio de BC y "N" en AC, de modo que: NC=2AN. Si el área de la región triangular AMN es de 12 cm2, calcular el área de la región triangular AMB. 7. Grafique al cuadrilátero convexo ABCD cuyas diagonales se interceptan en "O". Si las áreas de las regiones triangulares AOB, BOC y OCD son de 8 cm2, 6 cm2 y 12 cm2 respectivamente, calcular el área de la región triangular AOD. 8. Grafique al trapecio ABCD de base menor BC y donde las diagonales se cortan en "O". Si las áreas de las regiones triangulares CBO y OAD son de 9 cm2 y 25 cm2 respectivamente, calcular el área de la región triangular COD. Comunicación matemática 1. Indicar si es verdadero (V) o falso (F), luego justifique y/o ejemplifique su respuesta. • En todo triángulo, al trazar una mediana, el triángulo queda dividido en dos partes equivalentes. ........................................(__) • Si dos triángulos son semejantes, sus áreas son proporcionales al cuadrado de sus elementos homólogos. .........................(__) • Si se une los puntos medios de las bases de un trapecio, esta se divide en dos partes de diferentes áreas. ..............................(__) 2. Completar de acuerdo al gráfico (A=área). a) A B C M AABM= ___ AABC b) AABF= ___ AABC 3l lA B CF c) ABCD: Trapecio A B S1 S2 C O D S1= Geometría 4to - III Bim.indd 174 31/10/201411:46:06 a.m. Unidad VII Geometría 1 175174 TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe Central: 619-8100 Geometría 3. Graficar lo que se le indica: • Un romboide ABCD y su punto medio "M" de BC. Sombree el área de la superficie in- terior al paralelogramo y exterior al triángu- lo AMD. • Al trapecio ABCD de base menor BC y al punto medio "M" de AB. Sombree la super- ficie de la región triangular DMC. • El cuadrado ABCD, los puntos medios "M", "N", "P" y "Q" de los lados BC, CD, AD y AB respectivamente. Sombree la superficie del cuadrado que determinan AM, BN, CP y DQ. Resolución de problemas 4. Grafique al triángulo ABC y trace la ceviana AF, de modo que FB=2FC y sea BM una mediana del triángulo ABF. Calcular el área de la región triangular ABC, sabiendo que el área de la región triangular ABM es de 12 cm2. 5. Grafique a dos triángulos semejantes cuyas bases están en la relación de 2 2 a 3 5 . Calcule la relación de sus áreas. 6. En el romboide ABCD mostrado, el área de la región paralelográmica MOPD es de 7 m2. Calcular el área de la región BNOQ. D M Q N P C O A B 7. Dado el triángulo ABC, se traza la mediana AM y se marca "F" en AC, de modo que AF=3FC. Calcule la relación de áreas de las regiones ABM y FMA respectivamente. 8. Dado el trapecio ABCD, las diagonales se cortan en "O" y su base menor es BC. Si las áreas de las regiones triangulares BOC y AOD son de 2 dm2 y 8 dm2 respectivamente, calcule el área de la región ABCD. 9. Si: EF=3EA, calcular la relación de áreas de los triángulos AEC y ABC respectivamente. A B F E C 10. Sea ABCD un cuadrilátero convexo cuyas diago- nales se cortan en "E". Si las áreas de las regio- nes triangulares ABE, ECD y AED son de 8'dm2, 18 dm2 y 36 dm2 respectivamente, calcular el área de la región triangular BEC. 11. ¿Qué porcentaje del área del rectángulo ABCD es el área de la región sombreada? A B C D 12. Dado el triángulo ABC, se traza EF // AC ("E" AB y "F" BC) de modo que las áreas de las regiones EBF y AEFC se encuentren en la relación de 2 a 3. Si AC mide 2 5 dm, calcule el valor de "EF". 13. En el gráfico, las áreas triangulares EBF y HFC son de 16 dm2 y 25 dm2 respectivamente. Cal- cule el área de la región triangular ABC, si: EF // AC y EA // FH. A B F H E C 14. En el gráfico, ABCD es un romboide. ¿Cuál es la relación correcta entre "S1", "S2" y "S3"? A D S1 S2 S3 B C Geometría 4to - III Bim.indd 175 31/10/2014 11:46:06 a.m. Relaciones áreas 177176 TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe Central: 619-8100 Geometría Conceptos básicos¡Tú puedes! 15. El área de una región triangular ABC es de 120'dm2 y "G" es su baricentro. Calcular el área de la región triangular ABG. 16. En un triángulo ABC, los lados AB y BC son pro- porcionales a 5 y 8. Si el área de la región trian- gular ABC es de 130 dm2, calcular la diferencia de las áreas de los triángulos ABF y FBC, siendo BF una bisectriz del triángulo ABC. 17. En un triángulo ABC, se traza la ceviana AF de modo que: 2(BF)=5(CF). Calcular el área de la región triangular ABC, si el área de la región triangular ABF es de 50 dm2. 18. El área de la región triangular ABC vale 64'dm2. Trace BD bisectriz y AM una mediana, ambas líneas se cortan en "E". Calcular el área de la región trian- gular BEM, si: AB=10 dm y CB=12'dm. 1. ABCD es un cuadrado donde "M" y "N" son puntos medios de BC y CD respectivamente. Calcular el área de la región cuadrangular AOND, siendo "O" el punto de corte de AM y BN. Además se sabe que el perímetro del cuadrado es 32 cm. 2. En el interior de un paralelogramo ABCD cuya área es de 90 m2 se ubica un punto "P", de modo que el área de la región triangular APB sea 30 m2. Calcule el área de la región triangular CPD. 3. ABCD es un cuadrilátero convexo de 24 cm2 de área. Marque "M" y "N" puntos medios de BC y AD respectivamente y calcule el área de la región cuadrangular AMCN. 4. Las bases de un trapecio miden 36 y 22 cm y su altura 14 cm. Calcular el área de la región triangular total, formada al prolongar los lados no paralelos. 5. ABCD es un trapecio de base menor BC. Sean "M", "N" y "Q" los puntos medios de AB, BC y AD respectivamente. Calcular la relación de áreas de los polígonos CMD y ABNQ. Aplicación cotidiana 19. Una piscina tiene 210 m2 de área y está formada por un rectángulo para los adultos y un trapecio rectángulo para los niños. Observa el dibujo y calcula la relación de áreas de la piscina menor y la mayor. 30 m 5 m 4 m 20. Andrea tiene un terreno de cultivo cuya forma es de un paralelogramo de 32'm de base y 30'm de altura. Ella consciente del problema de la contaminación ambiental, desea plantar árboles en dicho terreno. Calcule el número de árboles que Andrea va a plantar en dicho campo, sabiendo que cada árbol necesita para desarrollarse 4 m2 de área. Geometría 4to - III Bim.indd 176 31/10/2014 11:46:07 a.m. Unidad VII Geometría 177176 TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe Central: 619-8100 Geometría Conceptos básicosPractica en casa 18:10:45 1 1. Indicar si es verdadero (V) o falso (F), según corresponda y justifique su respuesta: • Si dos triángulos son semejantes, sus áreas son proporcionales al cubo de sus elementos homólogos. ........................(__) • Al unir los puntos medios de los lados de un cuadrilátero, se determina otro cuadrilátero cuya área es la mitad del cuadrilátero inicial. ..............................(__) • En todo triángulo, al trazar una altura, el triángulo queda dividido en dos partes equivalentes. .......................................(__) 2. Completar de acuerdo al gráfico (A=área). a) A B C Q AABQ=..... AAQC 4l l b) A B C G AABG= ___AABC 3. Graficar lo que se le indica: • Al cuadrilátero convexo ABCD. Ubique "M" en AD y "N" en CD. Sombree la superficie cuadrangular MBCN. • El triángulo ABC, de baricentro "G" y sombree la región cuadrangular AGBC. 4. Grafique a dos triángulos semejantes cuyas bases están en la relación de 3 2 y 2 5 . Calcule la relación de sus áreas. 5. Grafique al triángulo ABC y trace la ceviana AF, de modo que FB=3FC y sea BM una mediana del triángulo ABF. Calcular el área de la región triangular ABC, sabiendo que el área de la región triangular ABM es de 15 cm2. 6. Sea ABCD un paralelogramo y "M" un punto de BC, de modo que BM=2 CM. La diagonal BD intercepta a MA en "O". Calcule la relación de áreas de los triángulos BOM y AOD respectivamente. 7. En el trapecio ABCD, las diagonales se cortan en "O" y su base menor es BC. Si las áreas de las regiones triangulares BOC y AOD son de 9'dm2 y 16 dm2 respectivamente, calcule el área de la región ABCD. 8. En un triángulo ABC, trace las medianas AM y BN, cortándose en "G". Si el área de la región triangular GMN es de 5 dm2, calcule el área de la región triangular ABC. 9. El área de un cuadrilátero convexo es de 40'm2, hallar el área del cuadrilátero que tiene por vértices los puntos medios de los lados del primero. 10. En un triángulo ABC, AB=6 cm y BC=8 cm. Calcule la relación de las áreas de las regiones ABD y DBC respectivamente, siendo BD la bisectriz interior. 11. Grafique al triángulo ABC y marque los puntos medios "M" y "N" de AC y BC respectivamente. En BM marque "F" de modo que FB=3MF. Calcule la relación de áreas de los triángulos FNM y ABC respectivamente.12. Las áreas del triángulo EBF y del trapecio AEFC están en la relación de 3 a 5. Si EF=2 3 dm, calcule el valor de "AC". A B C FE Geometría 4to - III Bim.indd 177 31/10/2014 11:46:07 a.m. Relaciones áreas 179178 TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe Central: 619-8100 Geometría 13. El área de un trapecio ABCD es de 100 m2. Calcular el área del trapecio ABMN, siendo "M" y "N" puntos medios de las bases BC y AD respectivamente. 14. El área de la región de un triángulo ABC es de 120'm2. Hallar el área de la región triangular MGN, siendo "G" el baricentro y "M" y "N" puntos medios de AB y BC respectivamente. 15. Los lados de un triángulo ABC miden 13; 14 y 15 cm. Calcular el área de la región triangular AGM, siendo "G" el baricentro y "M" el punto medio de AC. 16. Si: BQ=5QM, calcular qué fracción del área del triángulo ABC, representa el área de la región sombreada. A B CM Q 17. El área de la región sombreada es al área de la región no sombreada como: 2nn 18. En un trapezoide ABCD, las diagonales se interceptan en "O". Si: SAOB=6 m 2; SBOC=8m 2 y SCOD=12 m 2, calcular: SAOD. 19. El área de la región sombreada es al área del romboide ABCD como: A D N B CM 20. Grafique al triángulo ABC y trace la ceviana BR de modo que: 7(CR)=5(AR) y el área del triángulo RBC sea de 50 dm2. Calcular el área triangular ABC. Geometría 4to - III Bim.indd 178 31/10/2014 11:46:07 a.m. 2 179178 TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe Central: 619-8100 Geometría El círculo es una figura geométrica bastante estudiada desde el colegio y que tiene innumerables aplicaciones. En él se puede distinguir a los sectores circulares, segmentos circulares, a la corona circular y otras figuras más. En esta oportunidad, deseo mostrar una aplicación práctica de la corona circular. En nuestros apreciables ojos hay una parte que los médicos llaman "la corona iridiana" y ella nos puede ayudar a mostrar ciertos casos de la situación de nuestro organismo. Ya decía la abuelita: "El estado de tus ojos refleja tu estado de ánimo y de salud". Los expertos elaboran una topografía del iris, que consiste en una representación gráfica de las áreas iridológicas correspondientes a cada órgano, sistema o región del cuerpo humano. En el centro del mapa está la pupila, cuyo tamaño puede variar según el grado de dilatación establecida por la mayor o menor cantidad de luz o por intoxicaciones o defectos orgánicos. A partir de la pupila se puede determinar en el iris siete zonas: 1. Área estomacal 2. Zona intestinal 3. Glándulas suprarrenales, área cardíaca, riñones y pituitaria 4. Conductos bronquiales, glándulas pineal y pitui- taria 5. Cerebro y órganos reproductores 6. Bazo, tiroides e hígado 7. Área de la piel, sistema linfático y circulatorio, glándulas sudoríficas, músculos y nervios motores y sensitivos. Como verán, el estudio matemático de la corona trasciende más allá de nuestros cuadernos y es interesante saber que en los ojos se pueden reflejar ciertas dolencias. Áreas de regiones circulares En este capítulo aprenderemos: • A identificar los tipos de áreas de regiones circulares, como el círculo, sector circular, corona circular, etc. • A reconocer, diferenciar y aplicar las propiedades que se dan entre las diferentes regiones circulares. A=p (R2 - r2) R r 2 Unidad VII Geometría 4to - III Bim.indd 179 31/10/2014 11:46:07 a.m. 181180 TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe Central: 619-8100 GeometríaÁreas de regiones circulares Conceptos básicos Saberes previos Antes de entrar al tema, recordemos lo siguiente: • Elementos asociados a la circunferencia: Secante TangenteB A Cuerda a) b) c) • Ten presente las siguientes partes de un círculo. O Sector circulara) Segmento circularb) • Circunferencias concéntricas. Dos circunferencias concéntricas a) Tres circunferencias concéntricas b) 1. Área del círculo A=p.R2 p=3,1416 L=2pR L=Longitud O R 2. Área del sector circular O A B R R a R A= 360° a p R2 Geometría 4to - III Bim.indd 180 31/10/2014 11:46:08 a.m. 181180 TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe Central: 619-8100 GeometríaGeometría 2 Unidad VII 3. Área de la corona circular S=pR2 - pr2 S=p(R2 - r2) O S r R 4. Trapecio circular S= -O A B O E F S= 360° ap(R2 - r2) O a A B R E Fr S 5. Área del segmento circular 6. Área de la zona circular S= - O O A AB B S= - Área AOB360° apR2 O BS a R A B F R S A E S= BA - FE Si: AB // EF 7. Figuras semejantes Demostración: x=S+Q S Q x S Q x a a a b b c c c S+Q=x Luego: S= 2 pa2 S+Q= S+Q= S+Q= 2 pa2 2 p c2 2 p Q= 2 pb2 + (a2+b2) 2 pb2 c2 (por Pitágoras) x= 2 pc2 Geometría 4to - III Bim.indd 181 31/10/2014 11:46:08 a.m. 183182 TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe Central: 619-8100 GeometríaÁreas de regiones circulares Síntesis teórica 8. Teorema de las lúnulas de Hipócrates x=S+Q Q S x Demostración: Q S x a a b b bc cc a N M S+Q=x S+Q+N+M=x+N+M S+N= 2 pa2 Q+M= 2 pb2 S+Q+N+M= 2 p (a2+b2) c2 (por Pitágoras) x+N+M= 2 pc2 .............. 1 S+Q+N+M= c2 2 p .............. 2 El área de un segmento circular se calcula como la diferencia de las áreas del sector circular y el triángulo correspondiente. O B S a R A El área de todo círculo es pR2 O R El área de un sector circular se calcula conociendo el radio y el ángulo central. O A B R r a r El área de la corona circular es igual a p por la diferencia de los cuadrados de sus radios. O S r R Geometría 4to - III Bim.indd 182 31/10/2014 11:46:10 a.m. 183182 TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe Central: 619-8100 Geometría Unidad VII Geometría 2 Conceptos básicosAprende más... Conceptos básicosAplica lo comprendido 10 x 5 50 1. La longitud de una circunferencia es de 10 p cm. Calcular el área de su círculo. 2. Calcule el área de la región sombreada en cada caso. a) 4 60º b) 6 120º 3. Calcule el área de cada corona circular mostrada a) 2 6 b) 4 4 4. La figura nos muestra a un segmento circular cuya área se desea calcular, sabiendo que la medida del arco AB es de 60º y el radio mide 4 cm. A B R 5. El área de un semicírculo es de 8p cm2. Calcule la longitud de su diámetro. 6. El área de un cuadrante circular es de 9p cm2. Calcule su perímetro. 7. En una circunferencia de 6 cm de radio, trace una cuerda que subtienda un arco de 30º. Calcular el área del segmento circular determinado. 8. Un círculo y un cuadrante de círculo son equivalentes. Calcular la relación de sus radios. Comunicación matemática 1. Indicar si es verdadero (V) o falso (F), luego justifique y/o ejemplifique su respuesta. • El área de un sector circular depende de su ángulo central. .................................(__) • Un segmento circular se determina al trazar solamente un diámetro. ..............(__) • La corona circular se determina al trazar dos circunferencias cualesquiera. .........(__) 2. Completar: a) Área del sector circular R aºO A= Geometría 4to - III Bim.indd 183 31/10/2014 11:46:10 a.m. 185184 TRILCE Colegios www.trilce.edu.peCentral: 619-8100 GeometríaÁreas de regiones circulares b) Área de la corona circular R r A= 3. Graficar lo que se le indica: • Un hexágono regular y la corona que determinan sus circunferencias inscrita y circunscrita. • Un cuadrado ABCD y a una semicircunfe- rencia de diámetro AD, interior al cuadra- do. Sombree la región interior al cuadrado y exterior a la semicircunferencia. • Dos circunferencias secantes y sombree la superficie en común. Resolución de problemas 4. Un sector circular de 60º de ángulo central y 6 cm de radio, es equivalente al área de un círculo. Calcular el radio de dicho círculo. 5. Grafique dos circunferencias concéntricas, de modo que el área de la corona sea equivalente al círculo menor. Calcular la relación de radios de estas circunferencias. 6. ABCD es un cuadrado inscrito en una circun- ferencia de 4 cm de radio. Calcular el área del segmento circular que determina el lado BC. 7. ABC es un triángulo equilátero inscrito en una circunferencia de 6 cm de radio. La altura AH, prolongada corta a la circunferencia en "M". Calcular el área del segmento circular MB. 8. La longitud de una circunferencia es de 20p dm y se tiene en dicha circunferencia un sector cir- cular de 60º de ángulo central. Calcule el área de dicho sector. 9. En una circunferencia de 3 cm de radio, se traza una cuerda AB de modo que su arco mida 60º. Calcule el área del segmento circular determi- nado. 10. Si la medida del arco AB es 120º y R=6 dm, calcular el área del segmento circular sombrea- do. A B R 11. La figura muestra al triángulo equilátero ABC de 12 dm de lado. Calcule el área de la región sombreada. A C M N B 12. ¿Qué porcentaje del círculo mayor es la región sombreada? 13. AOB es un triángulo equilátero de 6 3 m de perímetro. Calcular el área de la corona circular limitada por las circunferencias inscrita y cir- cunscrita. 14. AOB es un triángulo equilátero de 6 dm de lado. Calcular el área de la región limitada por la circunferencia y los dos arcos descritos y tan- gentes a la circunferencia. A B O M Geometría 4to - III Bim.indd 184 31/10/2014 11:46:10 a.m. 185184 TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe Central: 619-8100 Geometría Unidad VII Geometría 2 Conceptos básicos¡Tú puedes! 15. Dada dos circunferencias concéntricas, el área de la corona circular que determinan es el triple del área del círculo menor. Calcule la relación de radios. 16. En un triángulo equilátero, calcular el área de la corona circular que determinan las circun- ferencias inscrita y circunscrita al triángulo. El circunradio mide 4 dm. 17. Grafique a una semicircunferencia de diámetro AB y marque "F" en AB. Grafique dos semicir- cunferencias interiores de diámetros AF y FB. Calcule el área limitada por estas semicircunfe- rencias, si: AF=8 dm y FB=4 dm. 18. Dado el cuadrante AOB de radios: AO=OB=2 2m. Se trazan interiormente dos semicírculos de diá- metros AO y OB cortándose las dos semicircun- ferencias en "C". Calcular el área del triángulo curvilíneo ABC. Aplicación cotidiana 19. La figura nos muestra a un esquinero de baño en forma de un sector circular. Los soportes de madera en la que se apoya el esquinero mi- den 20 cm cada uno. Calcular la cantidad de vidrio gastado en este diseño, sabiendo además que las paredes forman un ángulo de 90º. 25% 10% 20% 30% 15% Balonmano Fútbol BaloncestoTenis Atletismo También se suele incluir en cada sector el valor del porcentaje correspondiente 20. En el aula de Julio Alberto, los alumnos practican balonmano, fútbol, baloncesto, tenis y atletismo. El entrenador del aula muestra un reporte estadístico del número de alumnos que practican estas disciplinas. Si Julio y Luz practican tenis, ¿cuál será el ángulo central del sector circular que los representa? 1. Un sector circular de ángulo central 60º y radio "R", se inscribe en una circunferencia. Calcular el área de la región exterior a la circunferencia e interior al sector. 2. Sobre el radio OB de un círculo AOB, se toma el punto "P", de modo que: PB=2 2 cm. Con centro en "P" y radio PB se traza un arco de circunferencia que corta a OA en el punto "N". Si: AN=PB, hallar el área de la región encerrada por los arcos AB; NB y el segmento AN. Geometría 4to - III Bim.indd 185 31/10/2014 11:46:10 a.m. 187186 TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe Central: 619-8100 GeometríaÁreas de regiones circulares Conceptos básicosPractica en casa 18:10:45 1. Graficar lo que se indica: • Una semicircunferencia y un cuadrado inscrito, tal que uno de sus lados esté sobre el diámetro. Sombree la superficie que limitan estas figuras. • Un pentágono y cinco semicircunferencias interiores cuyos diámetros sean los lados del pentágono. Sombree la superficie que limitan estas figuras. 2. Un sector circular de 60º de ángulo central y 12 cm de radio, es equivalente al área de un círculo. Calcular el diámetro de dicho círculo. 3. Grafique dos circunferencias concéntricas, de modo que el área del círculo menor sea la octava parte del área de la corona. Calcular la relación de los radios de estas circunferencias. 4. En una circunferencia de 6 cm de radio se traza una cuerda AC, que subtiende un arco que mide 45º. Calcular el área del segmento circular que forma la cuerda AC. 5. Un dodecágono regular está inscrito en una circunferencia de 8 cm de radio. Calcular el área de uno de los segmentos circulares que determina uno de sus lados. 6. Si el perímetro y el área de un círculo son numéricamente iguales, hallar el área del círculo. 7. Si el área de un sector circular es 3p m2, hallar la medida de su ángulo central, sabiendo que su radio mide 6m. 8. Se tiene un sector circular con ángulo central igual a 30º y radio 6 cm. Hallar la medida del radio del círculo equivalente al sector. 9. Hallar el área del círculo inscrito en un triángulo equilátero de 9 3 dm2 de área. 10. Se tiene un cuadrado ABCD de 4 m de lado, haciendo centro en "D" se traza el arco AC. Hallar el área de la región limitada por AB, BC y el arco AC. 11. En el gráfico, hallar el área de la región som- breada, si: AB=BC=4m. A B C D 12. En el gráfico, hallar el área de la región som- breada, si: AO=OB=R. ("B" centro del arco OD) A D BO 3. Hallar el área de una zona circular, determinada en un círculo de radio "R", sabiendo que las bases son los lados del triángulo equilátero y hexágono regular inscritos, situados a un mismo lado del centro. 4. Calcule el área de la corona circular determinada por las circunferencias inscrita y circunscrita a un pentágono regular de 30 cm de perímetro. 5. Grafique al cuadrado ABCD de 6 m de lado y ubique los puntos medios "M" y "N" de BC y CD respectivamente. Con centro en "A", describa un cuadrante y calcule el área del sector circular limitado por dicho cuadrante y los segmentos AM y NA. Geometría 4to - III Bim.indd 186 31/10/2014 11:46:11 a.m. 187186 TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe Central: 619-8100 Geometría Unidad VII Geometría 2 13. Si el perímetro de un círculo es de 24p cm, calcule su área. 14. Se tiene un círculo de 36p m2 de área, hallar el área del segmento circular limitada por una cuerda que subtiende un arco de 60º. 15. Hallar la relación de las medidas de los radios de dos sectores circulares equivalentes, de ángulos centrales de 120º y 60º respectivamente.16. Dadas dos circunferencias concéntricas, se tiene que el área del círculo menor es la cuarta parte del área de la corona circular. Calcular la relación de sus radios. 17. Hallar el área de la corona circular determinada por los círculos inscrito y circunscrito a un cuadrado de 16 cm2 de área. 18. En dos circunferencias concéntricas se toma una cuerda AB de la circunferencia mayor tal que sea tangente a la circunferencia menor. Hallar el área de la corona determinada, si: AB=4 m. 19. En el gráfico, los lados del cuadrado son diámetros de las semicircunferencias, además: AB=2 cm. Calcular el área de la región sombreada. A B C D 20. Calcular el área de la región sombreada, si: AB=AC=BC=2BN=2AM=4 dm. A B CM N Geometría 4to - III Bim.indd 187 31/10/2014 11:46:11 a.m. 189188 TRILCE Colegios 3 Se conoce como geometría analítica al estudio de ciertos objetos geométricos mediante técnicas básicas del análisis matemático y del álgebra. Se podría decir que es el desarrollo histórico que comienza con la geometría cartesiana y concluye con la aparición de la geometría diferencial con Gauss y más tarde con el desarrollo de la geometría algebraica. Geometría analítica I En este capítulo aprenderemos: • A reconocer el ángulo de inclinación de una recta, su pendiente y ecuación, encontrando una relación entre ellos. • A resolver problemas de la línea recta a partir del análisis de sus características, gráficas y ecuacio- nes. y x y= k x Lo novedoso de la geometría analítica es que per- mite representar figuras geométricas mediante fórmulas del tipo f(x; y)=0, donde "f" representa una función. En particular, las rectas pueden ex- presarse como ecuaciones polinómicas de grado uno (ejemplo: 2x+6y=0) y las circunferencias y el resto de cónicas como ecuaciones polinó- micas de grado dos (ejemplo: la circunferencia: x2+y2=4, la hipérbola: xy=1). Es bueno aclarar que nosotros en este curso de geometría escolar, solo veremos y estudiaremos hasta la ecuación de la recta. A P y x 1 1 r 3 Geometría 4to - III Bim.indd 188 31/10/2014 11:46:11 a.m. 189188 TRILCE Colegios Unidad VII Geometría Saberes previos Antes de entrar al tema, recordemos lo siguiente: • Coordenadas rectangulares II III I IV b) x0 y0 P(x0;y0) a) y x • Distancia entre dos puntos B(x2; y2) y x d=AB= (x1 - x2) 2+(y1 - y2) 2A(x1; y1) • Punto medio de un segmento B(x2; y2) A(x1; y1) M = = y x M= ; x1+x2 2 y1+y2 2 • Rectas perpendiculares • Rectas paralelas L1L2 L1 L2 Geometría 4to - III Bim.indd 189 31/10/2014 11:46:11 a.m. 191190 TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe Central: 619-8100 GeometríaGeometría analítica I Conceptos básicos LA RECTA EN EL PLANO CARTESIANO Elementos Dada la recta " " • (- a; 0) : intersección con "x" • (0; b) : intersección con "y" • "a" ∧ "b" : interceptos • "a" : ángulo de inclinación • (x0; y0) : punto de paso PENDIENTE DE UNA RECTA: m Dada la recta " " con su ángulo de inclinación "a"; se denomina pendiente de la recta al número "m" que se obtiene de la tangente del ángulo de inclinación. Observación: a (x0; y0)(0; b) y L x(- a; 0) a b 45º L x y ⇒ m=tg45º m=1 a) a) Si "a" es agudo: 0º < a < 90º ⇒ m: (+) Se calcula así: aº L x y m=tga b) Si "a" es obtuso: 90º<a<180º ⇒ m: ( - ) Se calcula así: m= - tg(180º - a) y aº L x c) Si: a=0º ⇒ m=0 d) Si: a=90º ⇒ m: no definida 120º L x y ⇒m= - tg(180º - 120º)= - tg60º m= - 3 b) Ejemplos Geometría 4to - III Bim.indd 190 31/10/2014 11:46:12 a.m. 191190 TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe Central: 619-8100 Geometría Unidad VII Geometría 3 L x y ⇒ m=tg0º m=0 c) d) ⇒ m=tg90º m= 90º x y L OBTENCIÓN DE LA PENDIENTE CON DOS PUNTOS DE PASO Dada la recta " " que pasa por los puntos P(x1; y1) y Q(x2; y2), la pendiente "m" se calcula así: aº L Q P xx1 y1 x2 y2 y m=tga= y2 - y1 x2 - x1 Por ejemplo del gráfico: Para : tga1=m1= 6 - 1 3 - ( - 2) m1=1 Para : tga2=m2= 4 - 0 2 - 6 m2= - 1 a1 a2 (3; 6) (-2; 1) (6; 0) y L1L2 x (2; 4) ECUACIÓN DE LA RECTA Es una relación algebraica que debe verificar tanto la abscisa como la ordenada de todo punto perteneciente a una recta. Para hallar esta relación se requiere de dos elementos necesarios y suficientes: a P0(x0; y0) P(x; y) y L x • m=tga → pendiente de la recta • P0(x0; y0) → punto de paso Luego: P ∈ ; se debe cumplir: m= y - y0 x - x0 ⇒ y - y0=m(x - x0) Ecuación de la recta Geometría 4to - III Bim.indd 191 31/10/2014 11:46:12 a.m. 193192 TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe Central: 619-8100 GeometríaGeometría analítica I También: La ecuación de la recta la podemos representar por la siguiente expresión: Ecuación ordinaria de la recta a y L1 x b y=mx+b Se le denomina Donde: m → pendiente de la recta = tg b → intersecto en "y" Si a la ecuación de una recta se le expresa de la forma: Ax+By+C=0, a esta se le conoce como ecuación general de la recta. Ax+By+C=0 Ecuación general de la recta POSICIONES PARTICULARES DE UNA RECTA a0 y x (a; 0) : x=a Recta vertical b 0 y x (0; b) : y=b Recta horizontal • Propiedades a) Dada la ecuación general de una recta : Ax+By+C=0, su pendiente "m" se calcula así: A B m= - b) Si un punto P(a; b) pertenece a una recta de ecuación general: Ax+By+C=0, entonces debe satisfacer la ecuación, es decir: • P(a; b) ∈ : Ax+By+C=0 Aa+Bb+C=0 c) Rectas paralelas ( / / ) Si dos rectas y son paralelas, entonces sus pendientes son iguales. Gráficamente: Si: // ⇒ m1=m2 qq Geometría 4to - III Bim.indd 192 31/10/2014 11:46:12 a.m. 193192 TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe Central: 619-8100 Geometría Unidad VII Geometría 3 d) Rectas perpendiculares ( ) Si dos rectas y son perpendiculares, entonces el producto de sus pendientes es - 1. Gráficamente: Si: ⇒ m1 . m2= - 1 L2 L1 Demostración: L2 L1 y x a q tga=m1 ∧ tgq=m2 - tg(180º - q)=m2 tg(180º - q)= - m2 como: tga=ctg(180º - q) tga= 1 tg(180º - q) m1= 1 - m2 ... m1 . m2= - 1 COORDENADAS DEL BARICENTRO DE UN TRIÁNGULO En un triángulo ABC cuyas coordenadas de sus vértices son A(x1; y1), B(x2; y2) y C(x3; y3) se trazan sus tres medianas denominándose al punto de intersección BARICENTRO, representado por G(x0; y0). A(x1; y1) B(x2; y2) C(x3; y3) G y x Las coordenadas del baricentro G(x0; y0) se calculan así: x1+x2+x3 3x0= y1+y2+y3 3y0= A+B+C 3 G=o también Geometría 4to - III Bim.indd 193 31/10/2014 11:46:12 a.m. 195194 TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe Central: 619-8100 GeometríaGeometría analítica I Conceptos básicosAplica lo comprendido 10 x 5 50 Síntesis teórica La recta en el plano cartesiano, ángulo y pendiente. 45º L P(x; y) y x Ecuación de la recta, perpendicularidad y paralelismo. Posiciones de la recta, baricentro de un triángulo y ejercicios de aplicación. 1. Indique el ángulo de inclinación de cada recta: a) 120º y x b) 40º y x c) 150º y x 2. Grafique una recta que forme con el ejede las abscisas un ángulo de 30º y calcule su pendiente. 3. Grafique una recta que forme con el eje de las abscisas un ángulo de 120º y calcule su pendiente. 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 -1 1 2 3 4 5-2-3-4-5 (2; 3) (0; -3) y x 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 -1 1 2 3 4 5-2-3-4-5 C B A y x Geometría 4to - III Bim.indd 194 31/10/2014 11:46:13 a.m. 195194 TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe Central: 619-8100 Geometría Unidad VII Geometría 3 Conceptos básicos Aprende más... 4. Calcule la pendiente de las rectas mostradas: (0; 5) (-2; 0) y x a) (0; 7) (3; 0) y x b) 5. Determinar la pendiente de una recta que pasa por A(- 5; 6) y B(2; - 5) 6. En la figura mostrada, determinar la pendiente de la recta que pasa por "A" y "B". B(5; 8) A(2; 4) y x 7. En el gráfico, calcular el ángulo de inclinación de la recta e indicar cuáles son los interceptos. (0; 4) (-3; 0) y x 8. Graficar la recta cuya ecuación es: 2x+y=8 Comunicación matemática 1. Indicar si es verdadero (V) o falso (F), luego justifique y/o ejemplifique su respuesta. • Si una recta forma un ángulo "b" con el eje "X", entonces se afirma que su pendiente es "senb". ............................(__) • El ángulo de inclinación de una recta en el plano cartesiano es siempre agudo ... .............................................................(__) • La pendiente de una recta horizontal es cero. ................................................(__) 2. Completar: La .................................... de una recta viene a ser la ................................. de su ángulo de inclinación. Resolución de problemas 3. Una recta forma con el eje de las abscisas un ángulo que mide 37º. Calcular su pendiente. 4. Una recta al cortar a los ejes coordenados, determina en ellas dos segmentos iguales. Calcular el ángulo de inclinación de dicha recta, si esta no se intercepta con el cuarto cuadrante. 5. Los extremos de un segmento de recta son A(2; 0) y B(0; 6). Calcule su pendiente. 6. La pendiente de una recta es 4/5 y pasa por el punto (-2; 5). Determine la ecuación de dicha recta. 7. Calcule la pendiente de la recta que pasa por los puntos A(5; 4) y B(- 7; 5). Geometría 4to - III Bim.indd 195 31/10/2014 11:46:14 a.m. 197196 TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe Central: 619-8100 GeometríaGeometría analítica I 8. Calcular la pendiente de la recta "L" del gráfico mostrado. 45º L P(x; y) y x 9. Determine el ángulo de inclinación de una recta que pasa por los puntos (- 1; 3) y (7; 9) 10. Determine la ecuación de la recta que pasa por el punto (1; 2) y tiene una pendiente de - 2/3. 11. Calcular la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(3; 7) y B(- 5; 1). 12. Determinar la ecuación de la recta que pasa por los puntos P(1; 5) y Q(- 3; 2). 13. Los vértices de un triángulo son los puntos: A(2; 3), B(5; - 4) y C(1; 8). Calcular la pendiente del lado mayor. 14. Calcule la ecuación de la recta "L" de la figura mostrada. (0; 6) (5; 0) y L x 15. Los vértices de un triángulo son los puntos: A(2; 2), B(- 1; 4) y C(4; 5). Calcular la pendiente de cada uno de sus lados. 16. Si los vértices de un triángulo son los puntos: A(- 2; - 3), B(- 1; 7) y C(12; 2), determinar las coordenadas del baricentro. 17. Teniendo en cuenta el problema anterior, determinar el punto medio de AB y la pendiente de la recta que pasa por "A" y "B". 18. Una recta de pendiente 3 pasa por el punto (3; 2) y la abscisa de otro punto de la recta es 4. Hallar la ordenada de este punto. 20. Las curvas de oferta y demanda forman parte de la cultura general de todo alumno de secundaria. En realidad estas "curvas" las dibujamos más como líneas rectas que como curvas. La curva de oferta está inclinada hacia adelante y la curva de demanda está inclinada hacia atrás (las ordenadas representan el precio y las abscisas la cantidad). El precio y la cantidad de equilibrio se encuentran en el punto de intersección de las dos curvas. En este punto la cantidad demandada es igual a la cantidad ofrecida. Conteste Ud. lo siguiente: a) ¿Cómo son las pendientes de la demanda y de la oferta? b) ¿Qué nos representa el punto "E" y qué significa? Aplicación cotidiana 19. En un día de campamento, Karem ubica su carpa en el punto (30 2; 0) y tiene que ir a recoger agua de un río cuya trayectoria se encuentra representada por la recta: y=x. Si Karem recoge agua haciendo el menor recorrido de ida y vuelta, ¿cuánto recorrió Karem? D E OP P1 QQ1 Geometría 4to - III Bim.indd 196 31/10/2014 11:46:14 a.m. 197196 TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe Central: 619-8100 Geometría Unidad VII Geometría 3 Conceptos básicosPractica en casa 18:10:45 Conceptos básicos ¡Tú puedes! 1. Las rectas L1: 3x+2y=6 y L2: 2x - ay=5, son perpendiculares entre sí. Calcular el valor de "a". 2. Se tiene el segmento AB, tal que: A(- a; 3) y B(2; a). Si la pendiente del segmento AB es 2/3, calcular la distancia de "B" al punto (- 2; - 6) 3. Del gráfico, hallar la ecuación de la recta L1. yº yº L2 L1 P(6; 5) (3; 0) (0; -2) y x 4. Dados los vértices de un triángulo ABC: A(2; - 1), B(4; 5) y C(- 3; 2), escribir la ecuación de la recta que une el centro de gravedad de este triángulo y el origen de coordenadas. 5. Indicar si es verdadero (V) o falso (F) según corresponda: I. Si L1:3x - 4y+6=0 y L2: 6x+8y+24=0 → m1 - m2=0 .................................. (___) II. Si L1: 2x+y+3=0 → L1: m1=- 2 .... (___) III. Si: L1 // L2 → m1 . m2=0 .................... (___) IV. Si: L1 L2 → m1 . m2= - 1 ................ (___) 1. Calcular la pendiente de la recta mostrada que pasa por "P". 127º P(x; y) y x 2. Determine el ángulo de inclinación de una recta que pasa por los puntos (2; 5) y (4; 7). 3. Calcular la ecuación de la recta que pasa por los puntos (5; 4) y (- 2; 7). 4. Dados los puntos (3; - 2) y (- 2; 4), determinar la ecuación de la recta que pasa por estos puntos. 5. Determinar las coordenadas del baricentro del triángulo ABC, si: A(- 6; 6), B(- 2; 8) y C(2; 1). 6. Halle la pendiente de la recta que pasa por los puntos (- 2; 3) y (7; - 5) 7. Calcule la ecuación de la recta "L" que se muestra en la figura. L (4; 0) (0; - 3) y x 8. Si el ángulo de inclinación de una recta con el eje de abscisas es 60º, halle la pendiente de dicha recta. 9. Calcule la ecuación de la recta mediatriz del segmento cuyos extremos son A(- 2; 7) y B(4; 5) 10. Una recta contiene al punto (- 5; 6) y su pen- diente es - 1/2. Calcule el valor de la abscisa de un punto de la recta, cuya ordenada es 4. 11. En un triángulo ABC, encontrar la ecuación de la recta que contiene a la mediana relativa al lado AB, si: A(- 3; 8), B(1; 6) y C(- 5; - 2). Geometría 4to - III Bim.indd 197 31/10/2014 11:46:14 a.m. Geometría www.trilce.edu.pe 199Central: 619-8100198 TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe Geometría analítica I 12. Del gráfico, calcular la ecuación de la recta L2. aa L2 L1 127º (0; -2) y x 13. Se tiene un triángulo cuyos vértices son: A(- 2; 1), B(4; 6) y C(7; - 4), hallar la ecuación de la recta que pasa por el baricentro y el vértice "B". 14. Dado el triángulo ABC, calcular la ecuación de la recta que pasa por los puntos medios de AB yBC, siendo A(- 1; 7), B(3; 5) y C(7; - 1). 15. Calcular la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(3; 4) y B(5; - 7). 16. Se tiene al segmento AB, cuyos extremos son A(- 1; 3) y B(- 5; 1). Calcule la ecuación de su recta mediatriz. 17. Se tiene al segmento AB, cuyos extremos son A(2; 3) y B(- 4; - 2). Calcule la ecuación de una recta perpendicular a ella y que contenga al punto (1; 2). 18. Una recta pasa por los puntos: B(4; 1) y A(- 2; 3). Si un punto de abscisa 10 pertenece a dicha recta, ¿cuál será su ordenada? 19. Calcule la ecuación de la recta mediatriz del seg- mento cuyos extremos son A(3; 4) y B(- 5; 2). 20. En el gráfico mostrado, calcular la pendiente de una recta perpendicular a "L". (0; - 5) (6; 0) L x y Geometría 4to - III Bim.indd 198 31/10/2014 11:46:15 a.m. Geometría www.trilce.edu.pe 199Central: 619-8100 Saberes previos 4 Repaso En este capítulo aprenderemos: • A reconocer los elementos que se asocian a una recta en el plano cartesiano, sus gráficas y características. • A aplicar las relaciones aprendidas para el cálculo de áreas de regiones circulares y de comparación de áreas, en la resolución de problemas matemáticos. Relación de áreas en triángulos y cuadriláteros. La línea recta en el plano cartesiano, ángulo, pendiente y ecuaciones. Q(5; 3) yP x A B C Q AABQ=.......... AAQC 4l l Cálculo de áreas de círculos y sus partes Geometría 4to - III Bim.indd 199 31/10/2014 11:46:15 a.m. Repaso 201200 TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe Central: 619-8100 Geometría Conceptos básicosAprende más... x 1. Indicar si es verdadero (V) o falso (F), luego justifique y/o ejemplifique su respuesta. • Dos figuras planas son equivalentes, si son semejantes. ....................................(__) • El área de la región de un sector circular depende del valor de su ángulo central y de su radio. ..........................................(__) • La pendiente de una recta en el plano cartesiano no puede ser negativa. .........(__) 2. Completar: En el plano cartesiano, dos rectas son perpendiculares cuando el ................................ de sus pendientes sea igual a ............. 3. Calcular la pendiente de una recta cuyo ángulo de inclinación es de 150º. 4. Una recta corta al eje de las abscisas en el punto (- 3; 0) y pasa por el punto (1; 4), calcule su pendiente. 5. Dos triángulos semejantes tienen sus áreas una relación de 16 a 25. Calcular la relación en la que se encuentran sus bases. 6. En un triángulo, al trazar una paralela a su base, su región queda dividida de manera que el área del trapecio formado sea seis veces el área del triángulo determinado. Calcular la relación de las bases del trapecio. 7. Grafique al trapecio PQRS, de base menor QR y donde sus diagonales se cortan en "O". Calcule el área de la región triangular POQ, sabiendo que las áreas de las regiones triangulares ROQ y POS son de 16 cm2 y 49 cm2 respectivamente. 8. ABCD es un trapecio, de base menor BC y donde sus diagonales se cortan en "O". Si las áreas de las regiones triangulares ABC y ACD son de 24'cm2 y 48'cm2 respectivamente, calcular el área de la región triangular ABO. 9. Una recta pasa por el punto (- 5; 0) y por el punto medio del segmento OB, siendo "O" el origen de coordenadas y B(0; 10). Calcule la pendiente de dicha recta. 10. En un cuadrado ABCD, de 4 cm de lado, se ins- cribe una circunferencia de centro "O". Calcu- lar el área de la superficie interior al triángulo AOD y exterior a la circunferencia de centro "O". 11. El perímetro de un triángulo equilátero inscrito en una circunferencia es de 12 3 cm. Calcular el área del círculo correspondiente a dicha circunferencia. 12. En un cuadrado de lado igual a 12 cm, se describe una circunferencia tangente a un lado y que contiene a dos vértices opuestos de dicho lado. Calcular el área del círculo correspondiente a dicha circunferencia. 13. Dos circunferencias concéntricas tienen como radios 6 cm y "R" cm. La corona circular que ellas determinan es equivalente a un sector circular, de 30º de ángulo central y 6 cm de radio. Calcular el valor de "R". 14. En la figura, AM=MO=2 3 . Calcular el área de la región sombreada. A BO M N 15. En la figura: R=2 3 , m BSM=120º y // AM. Calcular el área de la región sombreada. A a a B L S M CR 16. La circunferencia inscrita en un trapecio rectángulo divide al mayor lado lateral en dos segmentos parciales de 1 y 9 m. Calcular el área del trapecio. Geometría 4to - III Bim.indd 200 31/10/2014 11:46:16 a.m. Unidad VII Geometría 4 201200 TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe Central: 619-8100 Geometría Conceptos básicosPractica en casa 18:10:45 17. Calcular el área de la región sombreada "S1+S2", si el área del triángulo ABC es igual a 26 m2. A C B S1 S2 18. Calcular el área del triángulo rectángulo mos- trado, si: x=30 m2 e y=5 m2. A B C x y 19. En la figura mostrada, calcular el área de la región triangular ABC sombreada, si: PB=12 y BQ=18 . B P QCOA 20. Las bases de un trapecio miden "a" y "b" (a>b). Calcular la longitud del segmento paralelo a las bases que determina dos regiones equivalentes. 1. Indicar si es verdadero (V) o falso (F) según co- rresponda y justifique su respuesta: • El área de la corona circular depende del valor de su ángulo central y de su radio. ...............................................(__) • La pendiente de una recta en el plano cartesiano, no puede ser cero. ....(__) 2. Completar: En el plano cartesiano, si dos rectas son paralelas, entonces sus .............................. serán iguales. 3. Calcular la pendiente de una recta cuyo ángulo de inclinación es de 127º. 4. Una recta corta al eje de las abscisas en el punto (5; 0) y pasa por el punto (2; 2). Calcule su pendiente. 5. En un triángulo, al trazar una paralela a su base, su región queda dividida de manera que el área del trapecio formado sea cinco veces el área del triángulo determinado. Calcular la relación de las bases del trapecio. 6. Grafique al trapecio PQRS, de base menor QR y donde sus diagonales se cortan en "O". Calcule el área de la región triangular POQ, sabiendo que las áreas de las regiones triangulares ROQ y POS son de 25 cm2 y 64 cm2 respectivamente. 7. Una recta pasa por el punto (-'3; 0) y por el punto medio del segmento OB, siendo "O" el origen de coordenadas y B(0; 8). Calcule la ecuación de dicha recta. 8. ABCD es un trapecio, de base menor BC y donde sus diagonales se cortan en "O". Si las áreas de las regiones triangulares ABC y ACD son de 21 cm2 y 28 cm2, calcular el área de la región triangular OCD. 9. En un cuadrado ABCD, de 6 cm de lado, se inscribe una circunferencia de centro "O". Calcular el área de la superficie interior al triángulo AOD y exterior a la circunferencia de centro "O". Geometría 4to - III Bim.indd 201 31/10/2014 11:46:16 a.m. Repaso 202 TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe 10. El perímetro de un hexágono regular inscrito en una circunferencia es de 24 3 cm. Calcular el área del círculo correspondiente a dicha circunferencia. 11. Dos circunferencias concéntricas tienen como radios a 6 y 3 cm. La corona circular que ellas determinan es equivalente a un sector circular, de "qº" de ángulo central y 6 cm de radio. Calcular "qº".12. La longitud de una circunferencia es de 12p cm. Calcule el área de su círculo. 13. Los lados de un triángulo miden 10; 10 y 12'dm. Si este triángulo es equivalente a un rectángulo de 18 dm de base, hallar la altura del rectángulo. 14. Un trapecio tiene como bases a 6 y 14 dm. Si este polígono es equivalente a un rombo cuya diagonal menor es congruente a la altura del trapecio, calcular el área del trapecio, si la diagonal mayor del rombo es cuatro veces la altura del trapecio. 15. Grafique dos circunferencias concéntricas y trace una cuerda de 21 dm de longitud perteneciente a la circunferencia mayor y que es trisecada por la circunferencia menor. Calcular el área de la corona circular. 16. En un triángulo ABC, se traza la ceviana BF (AF=6FC) y la mediana AM del triángulo ABF. Calcular la relación de áreas del triángulo ABM y ABC respectivamente. 17. Grafique al triángulo ABC y trace la ceviana BF y la mediana AM que se cortan en "Q". Si FC=4AF, calcular qué fracción del área del triángulo ABC, nos representa el área del triángulo AMF. 18. La suma de las bases de un trapecio es de 26 cm y su altura mide 13 cm. Calcule el lado de un cuadrado equivalente a dicho trapecio. 19. Grafique al triángulo rectángulo ABC (C=90º). Se traza la bisectriz interior BM y se desea calcular el área de la superficie triangular ABM, si: AB=6 dm y CB=2 dm. 20. Sea ABCD un trapecio, cuya base menor sea BC y cuya área es igual a 46 cm2. Calcular el área de la región triangular CMD, siendo "M" punto medio de AB. Geometría 4to - III Bim.indd 202 31/10/2014 11:46:17 a.m.
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