Descarga la aplicación para disfrutar aún más
Vista previa del material en texto
APRENDIZAJES ESPERADOS UNIDAD 1 La Geometría del espacio es la apasionante parte de las matemáticas que se encarga del estudio de los conjuntos de puntos cuando están situados en diferentes planos.Aprender ello implica el saber graficar y el recordar conceptos básicos de Geometría plana. Ahora su uso es bastante práctico, por ejemplo en Geología es necesario para el estudio de los minerales, en Arte el genial Salvador Dalí pintó en el año 1955 "La última cena" que usa de fondo a un dodecaedro regular y un ejemplo más se da en la gráfica compuesta por cuadrados y triángulos que es usado como organizador visual entre otras cosas. Podrías indicar en la pintura de Salvador Dalí, ¿qué forma tiene la cara geométrica del sólido que sirve de fondo? LAS GRÁFICAS, RELACIONES Y CÁLCULO EN LAS FIGURAS ESPACIALES UNIDAD 8 Comunicación matemática • Identifica las ecuaciones de una recta y realiza sus gráficas. • Reconoce la perpendicularidad en el espacio. • Grafica figuras geométricas en el espacio. Resolución de problemas • Aplica las propiedades de Geometría plana, en la resolución de problemas espaciales. • Calcula el área y el volumen de los poliedros regulares. Geometría 4to - IV Bim.indd 203 31/10/2014 11:50:54 a.m. 205204 TRILCE Colegios 1 Saberes previos E l estudio de las rectas paralelas o secantes, se hace através de una geometría elemental o también de la geometría analítica, lo impor- tante es la aplicación de ellas en la vida real. Por ejemplo, se muestra un mapa de la ciudad de La Plata, que es la capital de la provincia de Buenos Aires (Buenos Aires se divide en capital federal y provincia). Aquí podemos observar cómo las ave- nidas se enumeran, por ejemplo la calle Nº'13, que se intercepta con la diagonal 74. A su vez podemos observar las avenidas paralelas, como la calle 19 y 23. Resulta claro que para el señor que se le ocurrió diseñar esta estructura cuadriculada, uno de sus conocimientos bases era el de un siste- ma de coordenadas rectangulares y las rectas que se podrían trazar en ella. Geometría analítica II En este capítulo aprenderemos: • A identificar las ecuaciones de una recta y realizar sus gráficas. • A reconocer la distancia de un punto hacia una recta. • A reconocer la intersección de dos rectas y calcular sus coordenadas. Antes de entrar al tema, recordemos lo siguiente: • Resolver: 3x - 5y = 15 3x+5y = 25 • Calcule el área de los triángulos rectángulos mostrados: 6 8 12 13 • Grafique la distancia de "P" hacia cada recta. P P P ju ga nd oe st ap ar tid a. bl og sp ot .c om /2 00 8/ 05 / 1 Geometría 4to - IV Bim.indd 204 31/10/2014 11:50:55 a.m. 205204 TRILCE Colegios Unidad VIII Geometría Conceptos básicos • Calcule el valor de: a) 3 5 2 0 4 2 b) - 2 0 4 3 -1 5 GRÁFICA DE UNA RECTA Para graficar una recta, se sugiere ubicar dos puntos de paso de ella, de preferencia las intersecciones con los ejes. Así por ejemplo: : 4x+3y - 24=0 Hacemos: x=0 y=8 y=0 x=6 8 L y x (0; 8) (6; 0) 6 Hallar el área formada por la recta: : 2x - 3y - 36=0 y los ejes coordenados * Hacemos: x=0 y=-12 y=0 x=18 ... S=12×18 2 =108 2 12 18 Ly x(18; 0) (0; -12) S INTERSECCIÓN DE RECTAS Para hallar el punto de intersección de dos rectas, se resuelven las ecuaciones como un sistema de dos incógnitas. Así por ejemplo: : 3x+y=6 : x - y=6 -6 L1 L2 y x (3; -3) 6 6 2 Resolvemos: 3x+y=6 x - y=6 Sumando: 4x=12 x=3 y=-3 ... = (3; -3) + Ejemplo Geometría 4to - IV Bim.indd 205 31/10/2014 11:50:55 a.m. 207206 TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe Central: 619-8100 GeometríaGeometría analítica II ECUACIÓN SIMÉTRICA Dada la recta oblícua , su ecuación simétrica es de la forma: L y x (0; b) (a; 0) x a + y b =1 Ecuación simétrica Hallar la ecuación simétrica de la recta . L y x -2 -1 x -2 + y -1 =1 Se observa: a= - 2 b= - 1 Resolviendo : x+2y+2=0 Ecuación general de la recta. DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA Dada la recta : Ax+By+C=0 y el punto del plano: Po(xo; yo). La distancia "d" de "P" a se determina: y d x Po(xo; yo) L d=d(P; L)= |Axo+Byo+C| A2+B2 ÁREA DE UNA REGIÓN TRIANGULAR Si: A(x1; y1), B(x2; y2) y C(x3; y3) son las coordenadas de los vértices de un triángulo ABC como se muestra en el gráfico y "S" el área de su región. S y x B(x2; y2) C(x3; y3) A(x1; y1) Para calcular el área "S", se colocan las coordenadas de sus vértices en columna, tomadas en sentido anti- horario, repitiéndose las coordenadas del primer vértice, luego se procede como a continuación se indica: Ejemplo Geometría 4to - IV Bim.indd 206 31/10/2014 11:50:55 a.m. 207206 TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe Central: 619-8100 Geometría Unidad VIII Geometría 1 Síntesis teórica x2 . y1 x3 . y2 x1 . y3 x1 . y2 x2 . y3 x3 . y1 x1 y1 x2 y2 x3 y3 x1 y1 ++ I D |(x1.y2+x2.y3+x3.y1) - (x2.y1+x3.y2+x1.y3)| 2 S= D I S= |D - I| 2 ... Ecuación simétrica Intersección de rectas Gráfica de una recta Distancia de un punto a una recta Distancia entre rectas paralelas Área de una región triangular LA LÍNEA RECTA Geometría 4to - IV Bim.indd 207 31/10/2014 11:50:56 a.m. 209208 TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe Central: 619-8100 GeometríaGeometría analítica II Conceptos básicosAprende más... Conceptos básicosAplica lo comprendido 10 x 5 50 1. Dadas las siguientes ecuaciones, indique sus nombres: a) 4x+2y - 6=0 ...............Ecuación general b) x 3 + y 2 =1...................._________________ c)_ _y=3x+7 ......................________________ d)_ _x - 3y+2=0 ..............________________ 2. Graficar la recta cuya ecuación es: x 2 + y 4 =1 3. Dada la recta: 2x + 3y - 36=0, graficarla y calcular el área del triángulo que se forma al interceptarse con los ejes coordenados. 4. Dadas las rectas L1: 3x - 4y=12 L2: 2x+4y=8, calcular las coordenadas del punto de intersección de las dos rectas. 5. Graficar la recta cuya ecuación es: y=x, además ubicar los puntos (3; 3) y (5; 5). 6. Grafique la recta: 7x - 4y=21 y calcule su pendiente. 7. Sea la recta L1: 2x+5y=10 y el punto P(3; - 1). Calcular la distancia de "P" hacia la recta L1. 8. Grafique la recta: 4x - 3y - 12=0 y ubique el punto Q=(- 2; 3). Calcule la distancia de "Q" hacia dicha recta. Comunicación matemática 1. Indicar si es verdadero (V) o falso (F), luego justifique y/o ejemplifique su respuesta. • A la expresión: x a + y b =1, se le denomina "ecuación general de una recta". ......................................(__) • Si una recta en el plano cartesiano, corta a los ejes coordenados, siempre formará un triángulo rectángulo. ..........(__) • La distancia de un punto hacia una recta en el plano cartesiano es siempre positiva. ..............................(__) 2. Completar adecuadamente: d P(xo; yo) L: ax+by+c=0 d= a) x b) Ecuación simétrica de "L" (-3; 0) (0; 5) Ly x x + y = Resolución de problemas 3. Graficar la recta: 5x - 2y=10 y mostrar su ecua- ción simétrica. 4. Dada la recta: x 3 + y 4 =1, graficarlay mostrar la ecuación general. 5. Calcular la distancia del punto (0; 2) hacia la recta: x+2y - 6=0 6. Una recta pasa por el punto (4; 2). ¿Cuál será su ecuación, si cortó al eje "y" en el punto (0; 7)? Geometría 4to - IV Bim.indd 208 31/10/2014 11:50:56 a.m. 209208 TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe Central: 619-8100 Geometría Unidad VIII Geometría 1 7. Determinar la ecuación simétrica de las rectas: L1: 4x - y+8=0 L2: 5x+4y - 20=0 8. Determinar las coordenadas del punto de intersección de las rectas: L1: 3x - 2y+6=0 L2: 4x - 3y+10=0 9. Del gráfico mostrado, calcular "a+b". (a; b) L1: x - 2y+6=0 L2: 3x+2y - 14=0 10. Hallar el punto "P" e indicar la suma de sus coordenadas. P L1: 2x - y - 10=0 L2: 2x+y - 14=0 11. Calcular el área de la región que se determina con las rectas L1: y=-.7; L2: x=-.4 y los ejes coordenados. 12. Calcular el área de la región triangular, formado por los ejes coordenados y la recta cuya ecua- ción es: 3x+2y - 12=0. 13. Hallar el área de la región triangular que forma la recta de ecuación: x - 2y + 4=0 al interceptarse con los ejes coordenados. 14. De la figura, hallar "a". y x (7; 5) a (0; -.2) 15. Calcular la distancia del punto A(- 2; 3) a la recta que pasa por los puntos B(5; 5) y C(3; - 3). 16. Calcular la distancia que hay entre el punto A(6; 8) y el punto medio de BC, siendo B(4; - 4) y C(-10; 2). 17. Calcular el área de la región triangular que determina los siguientes puntos: A(2; 2), B(5; 6) y C(17; 1). 18. Del gráfico, determinar la ecuación de la recta , si: S=8u2. L y x S (6; -2) Aplicación cotidiana 19. El siguiente gráfico nos muestra el denominado punto de equilibrio en economía. Dicho punto de equilibrio es aquel donde toda empresa consigue cubrir la totalidad de sus costes, tanto fijos como variables, obteniendo un beneficio cero. Pérdidas Beneficios Actividad Costes IngresosPunto de equilibrio Teniendo en cuenta la gráfica y el concepto anterior, conteste: a) ¿Por debajo de dicho punto, la empresa gana o pierde? b) ¿Cómo se calcularía dicho punto, teniendo las ecuaciones de las rectas: ingresos y costos? Geometría 4to - IV Bim.indd 209 31/10/2014 11:50:56 a.m. 211210 TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe Central: 619-8100 GeometríaGeometría analítica II Conceptos básicosPractica en casa 18:10:45 Conceptos básicos ¡Tú puedes! 1. Se tiene el segmento AB, tal que: A(- 4; 3) y B(2; a). Si la pendiente del segmento AB es - 4/3, calcular la distancia de "B" al punto (- 6; 8). 2. Dados los siguientes puntos: A(3; 2), B(- 4; 2), C(- 2; - 3) y D(4; 2), determinar las coordenadas del punto de intersección de las rectas que pasan por AC y BD. 3. Hallar el área que determinan las rectas: L1: y - x=0; L2: x+y=4; L3: y+2=0. 4. Una recta tiene un ángulo de inclinación de 120º y corta al eje "y" en el punto (0; 2 3 ). Calcule la distancia del punto (5; 6) hacia dicha recta. 5. Grafique a las rectas: y=x x 5 + y 10 =1. Calcule el área del triángulo que forman estas rectas con el eje de las abscisas. 1. Indicar si es verdadero (V) o falso (F), luego justifique y/o ejemplifique su respuesta. • Si una recta en el plano cartesiano corta a los ejes coordenados, siempre formará un triángulo oblicuángulo. ......................................(__) • El punto (0; 2) puede representar la intersección de dos rectas. ...............(__) • A la expresión: x a + y b =1, se le denomina "ecuación ordinaria de una recta". ......................................(__) 2. Graficar la recta: 12x - 5y=60 y mostrar su ecua- ción simétrica. 3. Dada la recta: x 5 + y 2 =1, graficarla y mostrar la ecuación general. 4. Calcular la distancia del punto (-.4; 2) hacia la recta: x+2y - 12=0. 5. Dada las rectas: 2x - y=7 x+y+1=0, cuya in- tersección es (2; b). Calcular el valor de "b". 6. La ecuación de la recta , es: x8+ y 4=1. Calcule el área de la región sombreada. L y x 7. Hallar el área del triángulo formado por la recta L: 5x+3y - 45=0 y los ejes coordenados. 20. El mercado de la naranja en España, presenta las funciones de oferta y demanda siguientes: O=10.000+250 P D=50.000 - 150 P Siendo "O" la línea de la oferta, "D" la de la demanda y "P" el precio en soles, calcule usted el precio de equilibrio. Geometría 4to - IV Bim.indd 210 31/10/2014 11:50:57 a.m. 211210 TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe Central: 619-8100 Geometría Unidad VIII Geometría 1 8. Graficar las rectas: • 2x - 5y - 12=0 • x+5y - 8=0 9. Hallar el punto "P" e indicar la suma de sus coor- denadas. P L1: x - 3y - 12=0L2: x+3y+18=0 10. Del gráfico, hallar el área de la región sombrea- da. y x L: 8x+3y+24=0 11. De la gráfica, hallar "a". P(a; - 2) y x L: 2x+3y - 20=0 12. De la gráfica, hallar "b". (3; 0) (-5; 8) x y b 13. Calcular el área de la región triangular, formado por los ejes coordenados y la recta cuya ecuación es: 3x+2y - 12=0 14. Determine la ecuación simétrica de la recta que pasa por los puntos A(2; - 3) y B(4; 4). 15. Determine la distancia del punto "A" a la recta que forman "B" y "C", siendo: A(- 6; 6), B(- 4; 8) y C(2; - 2). 16. Hallar la ecuación de una recta cuya pendiente es - 4 y que pasa por la intersección de las rectas cuyas ecuaciones son: L1: 2x+y+8=0 L2: 3x - 2y - 9=0 17. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (4; 2) y por el punto de intersección de las rectas cuyas ecuaciones son: L1: 2x - 3y - 12=0 L2: x+3y - 6=0 18. Determine la ecuación de la recta que pasa por la intersección de las rectas: 2x - y+5=0 x+y+1=0 y la intersección de las rectas: x - y+7=0 2x+y - 5=0 19. Calcular el área de la región triangular que deter- minan los puntos: A(2; 2), B(4; 7) y C(14; 3). 20. Halle la ecuación de la recta 2. L2 y x L1: 4x - y - 16=0 Geometría 4to - IV Bim.indd 211 31/10/2014 11:50:57 a.m. 213212 TRILCE Colegios 2 Saberes previos Es la parte de la Geometría que se ocupa de las propiedades y medidas de figuras geométricas en el espacio tridimensional. Entre estas figuras, también llamadas sólidos, se encuentran: el cono, el cubo, el cilindro, la pirámide, la esfera, el prisma, etc. La Geometría del espacio (también denominada estereometría) amplía y refuerza las proposiciones de la Geometría plana y es la base fundamental de la Trigonometría esférica, la Geometría analítica del espacio, la Geometría descriptiva y otras ramas de las matemáticas. Se usa ampliamente en matemáticas, en ingeniería y en ciencias naturales. ¿Qué considera Ud. que es necesario saber para aprender la Geometría del espacio? ¿Qué figuras observas en la gráfica mostrada? Geometría del espacio En este capítulo aprenderemos: • A graficar figuras geométricas en el espacio. • A reconocer la perpendicularidad en el espacio. • A aplicar las propiedades de Geometría plana, en la resolución de problemas espaciales. Antes de entrar al tema, recordemos lo siguiente: • Dos rectas secantes a) b) • A qué es igual: a) b) C = 6 3C = 5 2 gallery.cabri.com/es/roof.html 2 Geometría 4to - IV Bim.indd 212 31/10/2014 11:50:57 a.m. 213212 TRILCE Colegios Unidad VIII Geometría Conceptos básicos • Proyección de un segmento a) b) A B A B • Indique cómo es el teorema de Thales. GEOMETRÍADEL ESPACIO Plano Q P S En los gráficos anteriores, se representan a los planos "Q"; "P" y "S". Se les debe considerar infinito. Axioma Por una recta en el espacio (denominada arista), pasan infinitos planos. DETERMINACIÓN DEL PLANO I. Tres puntos no alineados II. Dos rectas secantes Geometría 4to - IV Bim.indd 213 31/10/2014 11:50:57 a.m. 215214 TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe Central: 619-8100 GeometríaGeometría del espacio III. Dos rectas paralelas IV. Una recta y un punto exterior POSICIONES RELATIVAS DE DOS FIGURAS EN EL ESPACIO • Dos planos Paralelos Secantes Coincidentes • Un plano y una recta Secantes Paralelas Recta contenida • Dos rectas Secantes Paralelas Alabeadas Geometría 4to - IV Bim.indd 214 31/10/2014 11:50:58 a.m. 215214 TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe Central: 619-8100 Geometría Unidad VIII Geometría 2 RECTA PERPENDICULAR A UN PLANO Definición: Se dice que una recta es perpendicular a un plano, cuando dicha recta es perpendicular a todas las rectas contenidas en dicho plano. Q L a b c L a L b L c Si: Q Condición: Para que una recta sea perpendicular a un plano, es necesario y suficiente que dicha recta sea perpendicular a dos rectas secantes contenidas en dicho plano. P L a b Si: L a L b L P TEOREMA DE LAS TRES PERPENDICULARES Si por el pie de una perpendicular a un plano, se traza una segunda perpendicular a una recta contenida en el plano y se une el pie de la segunda con cualquier punto de la primera, se obtiene una tercera recta perpendicular a la recta contenida. P E H B A M Si: EH P y: HM AB EM AB Teorema de Thales P Q S E F H A B C M N L Si: P // Q // S NL Geometría 4to - IV Bim.indd 215 31/10/2014 11:50:58 a.m. 217216 TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe Central: 619-8100 GeometríaGeometría del espacio Síntesis teórica PLANOS DETERMINACIÓN DEL PLANO Tres puntos no alineados determinan un plano • Dos rectas secantes determi- nan un plano. • Una recta y un punto exterior a ella determinan un plano. Posiciones relativas de dos figuras en el espacio Dos planos, un plano y una recta. Dos rectas secantes, alabeadas y paralelas. Perpendicularidad Recta perpendicular a un plano Teorema de las tres perpendiculares Geometría 4to - IV Bim.indd 216 31/10/2014 11:50:59 a.m. 217216 TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe Central: 619-8100 Geometría Unidad VIII Geometría 2 Conceptos básicosAprende más... Conceptos básicosAplica lo comprendido 10 x 5 50 1. Con cinco puntos en el espacio, ¿cuántos planos como máximo se pueden determinar? 2. Si se tienen cuatro rectas secantes dos a dos y en el espacio, ¿cuántos planos como máximo se pueden determinar? 3. Graficar un plano, una recta contenida en él y una recta paralela al plano. 4. Grafique una recta contenida en un plano y otra recta alabeada a la anterior. 5. Grafique un plano y una recta perpendicular a dicho plano. 6. Sea "P" un plano y "L" una recta contenida en dicho plano. Luego, ubique un punto "Q" exterior al plano y trace una recta perpendicular a "L" trazada desde "Q" pero que no sea perpendicular al plano "P". 7. AB es un segmento exterior a un plano, tal que las distancias de "A" y "B" al plano, miden 5 y 9 cm. Si AB=7 cm, calcular la longitud de la proyección de AB sobre dicho plano. 8. Una circunferencia de centro "O" y radio igual a 3 cm, se encuentra contenida en un plano "P". Se levanta la perpendicular OH al plano "P", de modo que HO=4 cm. Calcular la distancia de "H" a cualquier punto de la circunferencia mencionada. Comunicación matemática 1. Grafique lo que se indica: • Un plano y los puntos "A" y "B" situados en semiespacios diferentes. • Un cubo y ubique dos rectas paralelas y dos rectas alabeadas. • Un triángulo equilátero ABC y levante BH perpendicular al plano que contiene a di- cho triángulo. 2. Indique si es verdadero (V) o falso (F) y justifi- que su respuesta. • Dos rectas alabeadas tienen un punto en común. .................................(__) • Tres puntos siempre forman un plano. .............................................(__) • La proyección de un segmento sobre un plano, es siempre otro segmento. .........(__) Resolución de problemas 3. Con siete puntos en el espacio, ¿cuántos planos como máximo se pueden determinar? 4. En el espacio, se tienen cinco rectas paralelas. ¿Cuántos planos como máximo se podrán for- mar? 5. En el espacio, se tienen seis rectas secantes. ¿Cuál es el máximo número de planos que se pueden determinar? 6. Se tienen ocho rectas y seis puntos no alinea- dos. Ubicándolos convenientemente, ¿cuál es el máximo número de planos que se pueden determinar? 7. Sea AB un segmento exterior a un plano, tal que las distancias de "A" y "B" al plano midan 4 y 9 cm. Si AB=13 cm, calcular la longitud de la proyección de AB sobre dicho plano. 8. PQ es un segmento que forma 45º con un pla- no. Si PQ=2 2 cm, calcular la proyección de PQ sobre dicho plano. Geometría 4to - IV Bim.indd 217 31/10/2014 11:50:59 a.m. 219218 TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe Central: 619-8100 GeometríaGeometría del espacio 9. Sea ABC un triángulo equilátero de 4 cm de lado. Levante AH perpendicular al plano del triángulo, de modo que HA=7 cm. Calcular la suma de HB y HC. 10. Un triángulo equilátero ABC está inscrito en una circunferencia de 4 cm de radio y de centro "O". Levante la perpendicular OH al plano de este triángulo, de modo que HO=2 cm. Calcu- le la distancia de "H" hacia uno de los lados del triángulo ABC. 11. Una circunferencia de centro "O" tiene una cuerda AB que dista 3 cm del centro. Levante OP perpendicular al plano que contiene a dicha circunferencia, de modo que OP=6 cm. Calcu- le la distancia de "P" hacia la cuerda AB. 12. Grafique al triángulo rectángulo ABC, cuyos ca- tetos AB y BC midan 3 cm cada uno. Levante BQ perpendicular al plano de dicho triángulo, de modo que BQ=4 cm. Calcule el perímetro del triángulo AQC. 13. Grafique un cubo de 4 cm de arista, donde su base sea el cuadrado ABCD y una de sus alturas sea CF. Calcule el área del triángulo FBD. 14. Grafique al triángulo ABC, tal que AC=6 cm y su altura BH=3 cm. Perpendicularmente al pla- no de este triángulo, levante BS, de modo que BS=4 cm. Calcule el área de la región triangu- lar ASC. 15. Sea ABCD un rectángulo de modo que CD=6'cm. Perpendicularmente a su plano, se levanta BQ, de modo que QD=10 cm. Calcule el área de la región triangular QDC. 16. Sean "P", "Q" y "R" tres planos paralelos entre sí. Una recta corta a estos planos en "A", "B" y "C" respectivamente y otra recta corta a dichos planos en "E", "F" y "H" respectivamente. Calcu- lar el valor de "FH", sabiendo que: FH=EF+2, AB=6 cm y BC=9 cm. 17. Grafique a los planos "P", "Q" y "R" para- lelos entre sí. Una recta corta a estos planos en "A", "B" y "C" respectivamente y otra rec- ta corta a dichos planos en "E", "F" y "H" respectivamente. Calcular el valor de "FE", sa- biendo que: EH=24 y AB/BC=2/3. 18. Grafique a los cuadrados ABCD y ABPQ de pla- nos perpendiculares. Si el lado de estos cuadra- dos mide 6 cm, calcular la distancia entre sus centros. Aplicación cotidiana 19. La figura muestra una construcción de dospisos. La columna del primer piso mide 2,5 metros y la columna del segundo piso mide "a" metros. Se desea construir el tercer piso, de modo que la distancia entre el primer piso y el techo del tercero sea de 8 metros. Si la columna del tercer piso mide "b" metros y excede a "a" en 0,3 metros, calcular "a - b". 20. La imagen nos muestra a un poste perpendicular al plano del piso y a su soporte que forma un ángulo de 53º con el plano del piso. Si la longitud del soporte es de 150 cm, calcular la longitud de su proyección sobre el plano y la distancia del pie del poste al punto de apoyo de su soporte. Geometría 4to - IV Bim.indd 218 31/10/2014 11:50:59 a.m. 219218 TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe Central: 619-8100 Geometría Unidad VIII Geometría 2 Conceptos básicosPractica en casa 18:10:45 Conceptos básicos ¡Tú puedes! 1. Un segmento AB se proyecta sobre un plano obteniéndose otro segmento de 9 cm. Si la proyección de AB sobre una perpendicular a dicho plano es de 6 cm, calcule la longitud de "AB". 2. Sea ABC un triángulo rectángulo isósceles, cuyo cateto AB mide 6 cm. Perpendicularmente a su plano, se levanta BQ , de modo que BQ=4 2 cm. Calcular el área de la región triangular AQC. 3. Con 12 puntos en el espacio, 14 rectas secantes no coplanares y 8 rectas paralelas no coplanares, ¿cuántos planos como máximo se pueden determinar? 4. Grafique al triángulo equilátero ABC y levante MQ perpendicular a su plano, siendo "M" punto medio de BC. Calcule el área de la región triangular que une "Q" con los puntos medios de AB y AC, sabiendo que: QM=4 cm y AC=6 cm. 5. Una circunferencia de 3 cm de radio está contenida en un plano "P". Sea "A" un punto exterior a "P" tal que su distancia al plano sea de 4 cm y la mínima distancia de "P" a la circunferencia sea de 2 5 cm. Calcular la máxima distancia de "P" hacia dicha circunferencia. 1. Grafique lo que se indica: • Un plano y los puntos "A" y "B" situados en el mismo semiespacio. • Un cubo y ubique dos rectas alabeadas de modo que una sea la diagonal del cubo. • Un triángulo ABC y levante BH perpendicu- lar al plano que contiene a dicho triángulo, luego sombree la región triangular HAC. 2. Indique si es verdadero (V) o falso (F) y justifi- que su respuesta. • Las rectas paralelas siempre determinan un plano. ..........................(__) • Si dos rectas no se cortan, entonces necesariamente serán paralelas. ...........(__) • La proyección de un segmento sobre un plano paralelo a él, es siempre otro segmento congruente a él. ............(__) 3. Con nueve puntos en el espacio, ¿cuántos pla- nos como máximo se pueden determinar? 4. En el espacio, se tienen siete rectas paralelas. ¿Cuántos planos como máximo se podrán for- mar? 5. Se tienen diez rectas y ocho puntos no alinea- dos. Ubicándolos convenientemente, ¿cuál es el máximo número de planos que se pueden determinar? 6. "P" y "Q" son planos paralelos y además la dis- tancia entre ellos es AB y mide 6 dm. Si AC mide 10'dm, calcular el valor de "BC". P Q A B C 7. Si AB mide 7 dm y la distancia de "A" al plano "P" es de 5 dm, calcular la proyección de AB sobre "P". P B A Geometría 4to - IV Bim.indd 219 31/10/2014 11:51:00 a.m. 221220 TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe Central: 619-8100 GeometríaGeometría del espacio 8. Los planos "P", "Q" y "R" son paralelos. Calcu- lar "x". P Q R E F H A B C 1612 8 x 9. Sea "Q" un plano y EF un segmento, tal que "F" pertenece a "Q" y la distancia de "E" a "Q" es de 9'dm. Si la proyección de EF en "Q" mide 6'dm, calcular "EF". 10. Si AB mide 5 dm y las distancias de "A" y "B" al plano "P" miden 4 y 8 dm, calcular la proyec- ción de AB en P. P B A 11. Sea ABC un triángulo equilátero de 6 cm de lado. Levante AQ perpendicular al plano del triángulo, de modo que QA=8 cm. Calcular la suma de QB y QC. 12. La figura muestra a dos cuadrados de planos perpendiculares. Calcular "EC". D B C F E A 6 13. AB es un segmento que forma 53º con un pla- no. Si AB=10 2 cm, calcular la proyección de PQ sobre dicho plano. 14. La figura muestra al cuadrado ABCD de centro "O". Si: OF=3 cm y CD=4 cm, calcular la dis- tancia de "C" a "F"; siendo OF perpendicular al plano del cuadrado. O F B C A D 15. Grafique al triángulo rectángulo ABC, cuyos ca- tetos AB y BC midan 5 cm cada uno. Levante BQ perpendicular al plano de dicho triángulo de modo que BQ=12 cm, luego, calcule el pe- rímetro del triángulo AQC. 16. Un cuadrado ABCD se encuentra inscrito en una circunferencia de 4 cm de radio y de centro "O". Perpendicularmente a su plano, se levanta BP, de modo que BP=4 2 cm. Calcule el perí- metro del triángulo AOP. 17. ABCD es un cuadrado de 24 cm de períme- tro y cuyo centro es "O". Levante BP perpen- dicular al plano de este cuadrado, de modo que BP=4 3 cm. Calcule el área de la región triangular APC. 18. Grafique a los planos "P", "Q" y "R" paralelos entre sí. Una recta corta a estos planos en "A", "B" y "C" respectivamente y otra recta corta a di- chos planos en "E", "F" y "H" respectivamente. Calcular el valor de AC, sabiendo que: AB=x, BC=x+2, EF=10 cm y FH=14 cm. 19. Grafique dos rectángulos congruentes y perpen- diculares, cuya arista es el lado menor de los rectángulos. Calcular la distancia entre los cen- tros de estos rectángulos, sabiendo que el lado mayor mide 12 cm. 20. Un triángulo equilátero ABC está inscrito en una circunferencia de 8 cm de radio y de centro "O". Levante la perpendicular OH al plano de este triángulo, de modo que HO=3 3 cm, lue- go, calcule la distancia de "H" hacia uno de los lados del triángulo ABC. Geometría 4to - IV Bim.indd 220 31/10/2014 11:51:00 a.m. 221220 TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe Central: 619-8100 Geometría 3 Saberes previos Una investigación realizada por expertos de la Universidad de Carolina del Norte (Estados Unidos), fue publicada en la revista especializada Nature y permitiría a los científicos acceder a información hasta ahora oculta sobre el virus del SIDA. En el artículo de dicha revista, se afirma que "los virus de ARN de una sola hebra (como el VIH) abarca una amplia gama de agentes infecciosos que causan el resfrío común, el cáncer, el SIDA y otras enfermedades graves". El VIH transporta su información genética con una estructura más complicada que la de otros virus. Al igual que la influenza, la hepatitis C y la poliomielitis, usa el ARN en lugar del ADN para transportar su información. La información del ADN que tiene dos hebras es relativamente fácil de decodificar, pero la del ARN (ácido ribonucleico), de una sola hebra, es mucho más difícil. Fuentes de ONUSIDA, el programa conjunto de las Naciones Unidas sobre el SIDA, saludaron la noticia y dijeron a BBC Ciencia: "Todo descubrimiento científico que eche luz sobre cómo se estructura el virus del VIH es un paso importante. Cuanto más sepamos sobre el carácter del virus, más cerca estaremos de encontrar una cura y desarrollar nuevos tratamientos para combatir la infección". • ¿Podrías decirnos qué forma poliédrica identificas? Poliedros o sólidos geométricos Poliedros regulares En este capítulo aprenderemos: • A identificar los tipos de poliedros y sus elementos. • A reconocer los cinco poliedros regulares. • A reconocer y aplicar las relaciones de cálculo de áreas y volúmenes de los poliedros regulares Antes de entrar al tema, recordemoslo siguiente: • Polígonos Convexo No convexo a) b) rk m .c om .a u Unidad VIII Geometría 4to - IV Bim.indd 221 31/10/2014 11:51:01 a.m. 223222 TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe Central: 619-8100 GeometríaPoliedros o Sólidos geométricos - Poliedros regulares Conceptos básicos POLIEDROS Son aquellos sólidos geométricos cuyas caras son polígonos. El segmento común entre dos caras se denomina arista. Poliedro convexo Poliedro no convexo Vértice Cara Arista • Algunas áreas a) ll l Área=l 2. 3 4 b) b a Área=ab c) ll l l Área=l 2 • Suma de ángulos interiores Si=180º(n - 2) • Recta perpendicular a un plano A B Geometría 4to - IV Bim.indd 222 31/10/2014 11:51:01 a.m. 223222 TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe Central: 619-8100 GeometríaGeometría 3 Unidad VIII Teorema de Euler C=5 V=6 A=9 C=6 V=6 A=10 Siendo: C=Número de caras V=Número de vértices A=Número de aristas C+V=A+2 POLIEDROS REGULARES Son aquellos cuyas caras son polígonos regulares. Solamente existen cinco poliedros regulares: Forma de la cara C V A Tetraedro regular Triángulo equilátero 4 4 Hexaedro regular (o Cubo) Cuadrado 6 8 Octaedro regular Triángulo equilátero 8 6 Dodecaedro regular Pentágono regular 12 20 Icosaedro regular Triángulo equilátero 20 12 Baricentro de la base a h a a h Altura: h= V=A=a2 3 a 6 3 a3 2 12 Tetraedro regular Geometría 4to - IV Bim.indd 223 31/10/2014 11:51:01 a.m. 225224 TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe Central: 619-8100 GeometríaPoliedros o Sólidos geométricos - Poliedros regulares Síntesis teórica A=6a2 V=a3 D=a 3 Hexaedro regular (Cubo) a a a D d Diagonal del sólido A=2a2 3 d=a 2 V= a 3 2 3 Octaedro regular a d a a a POLIEDROS o SÓLIDOS GEOMÉTRICOS TETRAEDRO REGULAR OCTAEDRO REGULAR ICOSAEDRO REGULAR POLIEDROS REGULARES Son solo cinco (cuerpos platónicos) HEXAEDRO REGULAR (cubo) DODECAEDRO REGULAR POLIEDROS O SÓLIDOS GEOMÉTRICOS POLIEDROS REGULARES La do D A E B C H Geometría 4to - IV Bim.indd 224 31/10/2014 11:51:02 a.m. 225224 TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe Central: 619-8100 Geometría Unidad VIII Geometría 3 Conceptos básicos Aprende más... Conceptos básicosAplica lo comprendido 10 x 5 50 Comunicación matemática 1. Indicar si es verdadero (V) o falso (F), según co- rresponda. • Un hexaedro está compuesto por seis cuadrados. ..............................(__) • Las caras de un pentaedro son pentágonos. .........................................(__) • Las caras de un octaedro regular son cuadrados. .....................................(__) 2. Completar: a) Tetraedro regular a Área= b) Hexaedro regular D = a D 3. Graficar lo que se le indica: • Un cubo y sombree un plano diagonal. • Un octaedro regular y un plano que lo parta en dos pentaedros iguales. • Un tetraedro y la distancia de un vértice a una cara opuesta. Resolución de problemas 4. En un hexaedro regular, la distancia de un vér- tice al centro de la cara opuesta mide 6 cm. Calcule el volumen del sólido. 1. Graficar lo que se le indica: • Un hexaedro regular, una diagonal del sólido y la diagonal de la cara. • Un tetraedro regular, la altura del sólido y la altura de una cara. • Un sólido de base cuadrada y cuyas cuatro caras restantes sean triángulos. 2. Si la suma de las aristas de un tetraedro regular es de 12 cm, calcular el área y el volumen del sólido. 3. Grafique un hexaedro regular, donde la diagonal mida 6 3 cm, luego, calcule el área y el volumen. 4. La altura de la cara de un tetraedro regular mide 2 3 cm. Calcule el área del sólido. 5. Grafique a un octaedro regular de arista igual a 2 cm, luego, calcule su área. 6. Grafique a un octaedro regular, cuya diagonal mida 4 2 cm, luego, calcule el área de dicho sólido. 7. Grafique a un tetraedro y a un hexaedro ambos regulares, luego, calcule la relación de sus áreas, sabiendo que sus aristas son congruentes. 8. En un cubo, se inscribe una esfera de 3 cm de radio. Calcular el volumen del cubo. Geometría 4to - IV Bim.indd 225 31/10/2014 11:51:02 a.m. 227226 TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe Central: 619-8100 GeometríaPoliedros o Sólidos geométricos - Poliedros regulares 5. Si el área de un tetraedro regular es de 4 3 cm2, calcule su volumen. 6. En un hexaedro regular, el número que expresa su volumen es el doble del número que expresa su área. Calcular la suma de las longitudes de todas sus aristas. 7. Se tiene a un tetraedro regular ABCD cuya arista mide 12 . Calcular la distancia del vértice "B" al triángulo ACD. 8. La altura de la cara de un tetraedro mide 3 dm. Calcular el valor de su área. 9. Las aristas de un hexaedro y un tetraedro, ambos regulares, se encuentran en la relación de 2 a 3. Calcular la relación de sus áreas. 10. El área de un octaedro regular es de 8 3 cm2. Calcule su volumen. 11. Calcular la diagonal de un octaedro regular, cuyo volumen es de 72 2 cm3. 12. Calcular el área de una de las caras de un icosaedro regular, si su área total es de 40 dm2. 13. Si C: número de caras, V: número de vértices y A: número de aristas, ¿qué alternativa es correc- ta para el dodecaedro regular? a) C=12; A=12; V=30 b) C=12; V=12; A=20 c) C=12; V=20; A=12 d) C=12; V=30; A=20 e) C=12; A=30; V=20 14. Si la distancia del centro de una cara del cubo a un vértice de la cara opuesta es de 3 m, calcular el área de este sólido. 15. Se tiene el cubo ABCD-EFGH de arista "a". Calcular el área del cuadrilátero BCHE. 16. En un cubo ABCD-EFGH, calcular la medida del ángulo que forman AC y DG. 17. La arista del cubo mide 4 dm. Calcular la distancia de "B" al punto medio de HE. 18. Se tiene un octaedro regular y un tetraedro regular, donde la arista del segundo es el triple de la arista del primero. Calcular la relación de áreas de estos sólidos. Aplicación cotidiana 19. La figura nos muestra la vista frontal de un diamante. Conteste usted lo siguiente: a) En esta vista, ¿por qué clase de polígonos está conformado este diamante? b) En esta vista, ¿en cada vértice de cuánto en cuánto concurren las caras de un vértice? 20. La figura nos muestra un recipiente cúbico portalapiceros de 10×10×10 unidades. Si la lámina del material externo de 5×5 unidades se vende a $1,5 y la lámina de 4×4 unidades de uso interno se vende a $0,8, calcular: a) El costo de material externo para construir este recipiente. b) El costo total para construir este recipiente, sabiendo que las dimen- siones interiores del cubo son de 8×8×8 unidades y que la mano de obra por el trabajo terminado es el 50% del costo total de material. Geometría 4to - IV Bim.indd 226 31/10/2014 11:51:03 a.m. 227226 TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe Central: 619-8100 Geometría Unidad VIII Geometría 3 Conceptos básicosPractica en casa 18:10:45 Conceptos básicos ¡Tú puedes! 1. El área de un tetraedro regular es de 36 3 cm2. Calcular la longitud del segmento que une los centros de gravedad de dos caras. 2. Grafique a un hexaedro regular de 6 cm de arista y calcule la distancia de su centro hacia una de sus aristas. 3. En un octaedro regular se unen consecutivamente los centros de todas sus caras. ¿Qué sólido se forma? 4. Un sólido convexo está formado por seis cuadriláteros y cuatro triángulos. Calcular el númerode aristas. 5. Un sólido convexo está conformado por tres cuadriláteros, seis triángulos y cuatro hexágonos. Calcular la suma de los ángulos de todas las caras del sólido. 1. Indicar si es verdadero (V) o falso (F), según co- rresponda: • Las caras de un hexaedro necesariamente son cuadrados. .....................................(__) • Si la arista de un octaedro regular mide "b", entonces su diagonal mide "b 3". ........(__) • El tetraedro regular tiene 3 diagonales. ...(__) 2. Completar: a) Octaedro regular D= a D b) Hexaedro regular D/d= a D d 3. Un sólido está conformado por cuatro cuadri- láteros y cuatro triángulos. Calcular la suma de los ángulos interiores de todas las caras. 4. En un hexaedro regular, calcular la distancia de un vértice al centro de la cara opuesta, sabiendo que el volumen del sólido es de 8 cm3. 5. Calcular el área en cm2 de un tetraedro regular, sabiendo que su volumen es igual a 144 2 cm3. 6. En un hexaedro regular, el número que expresa su volumen es el triple del número que expresa su área. Calcular la suma de las longitudes de todas sus aristas. Geometría 4to - IV Bim.indd 227 31/10/2014 11:51:03 a.m. 229228 TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe Central: 619-8100 GeometríaPoliedros o Sólidos geométricos - Poliedros regulares 7. Se tiene a un tetraedro regular ABCD cuya arista mide 12 . Calcular la distancia entre el plano ABC y el vértice "D". 8. La figura muestra el desarrollo de un cubo. Si el perímetro de este octógono es de 36 cm, calcular el área y el volumen del sólido. 9. Calcular el volumen de un tetraedro regular, en el cual la altura de una de sus caras es igual a 2 3 m. 10. ¿Cuánto mide el ángulo que forman dos diago- nales de dos caras de un cubo que parten de un mismo vértice? 11. Se tienen los cuadrados perpendiculares ABCD y ABEF. Hallar "DE", si: BC=2 cm. 12. El área total de un tetraedro regular es 9 3 2. Calcular el volumen de dicho tetraedro. 13. En un cubo de 3 2 de arista, se unen tres vértices no consecutivos. Hallar el área del triángulo formado. 14. Indicar si es verdadero (V) o falso (F): • Dos rectas pertenecientes a dos planos paralelos son paralelas entre sí. ..........(__) • Si dos rectas forman el mismo ángulo con un plano, entonces son paralelas entre sí. ...............................................(__) • Si una recta es perpendicular a un plano, toda recta perpendicular a la primera es paralela al plano. ................................(__) • Si dos planos son perpendiculares, entonces las rectas que pertenecen a dichos planos son perpendiculares entre sí. ...............................................(__) 15. En el cubo mostrado, "O" es el centro de la cara EFGH. Calcular el área del triángulo AOC. C B A H E 10 G O F 16. Hallar la relación en la que se encuentran las áreas totales de un tetraedro regular y un octaedro regular, si la arista del primero es el doble del segundo. 17. Dado un triángulo equilátero ABC, que se en- cuentra en un plano perpendicular a un cua- drado ABCD. Si el segmento de recta que une el punto medio de AC con el punto medio de BD, mide 2 m, calcular la diagonal del cuadra- do. 18. Calcular la relación entre los volúmenes de un cubo y de un octaedro regular, cuyas diagonales son congruentes. 19. Hallar el ángulo formado por las diagonales de dos caras opuestas de un cubo, si ambas diagonales no son paralelas. 20. En el gráfico, se muestra una caja (sin tapa) la cual tiene forma cúbica y debe ser pintada totalmente. ¿Cuánto costará pintarla, si por cada 100 cm2 se debe pagar un nuevo sol? (a=40'cm). a Geometría 4to - IV Bim.indd 228 31/10/2014 11:51:03 a.m. 229228 TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe Central: 619-8100 Geometría 4 Síntesis teórica Repaso En este capítulo aprenderemos: • A graficar figuras geométricas espaciales, aplicando conceptos de paralelismo, perpendicularidad y proyecciones. • A graficar a los poliedros regulares y aplicar las relaciones de áreas, diagonales y volúmenes, en la resolución de problemas matemáticos. Poliedros y poliedros regulares Planos, rectas y perpendicularidad La línea recta EL TAMAÑO DE LAS FIGURAS PLANAS, FORMAS GEOMÉTRICAS Y MANERAS DE CALCULARLAS b m r Unidad VIII Geometría 4to - IV Bim.indd 229 31/10/2014 11:51:04 a.m. 231230 TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe Central: 619-8100 GeometríaRepaso Conceptos básicosAprende más... 1. Indicar si es verdadero (V) o falso (F), luego justifique y/o ejemplifique su respuesta: • Un cubo está compuesto por seis rectángulos. ..................................(__) • Las caras de un tetraedro pueden ser triángulos escalenos. ......................(__) • La recta: y=x, forma un ángulo de 45º con el eje de las abscisas. .............(__) 2. Completar convenientemente: Si dos rectas en el plano cartesiano son paralelas, entonces sus pendientes son ........................ . 3. Relacionar convenientemente: I. Rectas perpendiculares II. Pentaedro III. Ecuación simétrica de una recta a) Pendientes iguales b) x a + y b =1 c) Sólido de cinco caras d) Pendientes cuyo producto da - 1 4. Dada las rectas L1: 7x+2y=5 L2: 2x - 3y=12, calcular las coordenadas de su intersección. 5. La recta: 2x+3y+6=0, forma con los ejes coor- denados un triángulo cuya área se desea calcu- lar. 6. Grafique a un tetraedro regular ABCD cuya arista mida 18 cm, luego, calcule la distancia entre los puntos medios de BC y CD. 7. Si la arista de un tetraedro regular mide 12 cm, calcular la distancia entre los baricentros de dos caras adyacentes. 8. Sea L1: 2x - 3y+12=0 L2 una recta que pasa por (0; 4) y forma 135º con el eje de las abscisas. Calcular el área de la región triangular que determinan dichas rectas con el eje de las abscisas. 9. Sea Q=(- 2; 5) y L: 2x+3y+6=0. Calcular la distancia de "Q" hacia . 10. ¿Cuántas diagonales tiene un octaedro regular? Grafíquelos. 11. Indicar si es verdadero (V) o falso (F), según co- rresponda: • Dos planos paralelos no tienen un punto en común. .................................(__) • Cuatro puntos siempre forman un plano. .............................................(__) • Dos rectas al cortarse forman un plano. .............................................(__) 12. Sea AB un segmento exterior a un plano "Q". Si las distancias de "A" y "B" al plano "Q" miden 6 y 11 dm, calcular la proyección de AB sobre "Q", si además: AB=13 dm. 13. Los planos "P", "Q" y "R" son paralelos entre sí. La recta L1 corta a estos planos en "A", "B" y "C" respectivamente y la recta L2 corta a los mismos planos en "E", "F" y "H" en ese orden. Si: AB=x, BC=x+9, EF=x - 1 y FH=16, calcular el valor de "AC". 14. OB es perpendicular al plano "Q" y AB es diá- metro del círculo contenido en "Q". Si AC y OC miden 4 y 6 dm, calcular el área de la región triangular AOC. Q O C B A 15. El radio de la circunferencia circunscrita a un triángulo equilátero ABC mide 3 dm. Por "B" se levanta BE perpendicular al plano del trián- gulo. Si BE=1 dm, calcular el área del triángulo AEC. 16. Un punto "P" dista 12 dm de un plano y un segmento de recta AB que está contenido en el plano mide 8 dm. Encontrar la distancia desde AB al pie de la perpendicular bajada desde "P", si: AP=BP=13 dm. 17. Se tienen 10 puntos en el espacio, luego, hallar elmáximo número de planos que ellos pueden formar. Geometría 4to - IV Bim.indd 230 31/10/2014 11:51:04 a.m. 231230 TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe Central: 619-8100 Geometría Unidad VIII Geometría 4 Conceptos básicosPractica en casa 18:10:45 Conceptos básicos ¡Tú puedes! 18. Si "P" es el centro de una cara del cubo y "Q" el punto donde la recta EP corta al plano de la base ABCD, calcular el valor de "PQ". CA B E P a D a 1. Grafique a un octaedro regular cuya arista mida 4 2 cm, luego, calcule la distancia entre los puntos medios de dos aristas contiguas. 2. Si la arista de un octaedro regular mide 6 cm, calcule la distancia entre los baricentros de dos caras adyacentes. 3. La recta: 5x - 2y+15=0, forma con los ejes coordenados un triángulo cuya área se desea calcular. 4. Sea L1: 2x - 3y+12=0 L2 una recta que pasa por (0; 4) y forma 120º con el eje de las abscisas, calcular el área de la región triangular que determinan dichas rectas con el eje de las abscisas. 5. Graficar a las rectas L1: x=5 L2: y=3. Calcular el área de la región que forman dichas rectas con los ejes coordenados. 6. Con 12 puntos en el espacio, ¿cuántos planos como máximo se podrán formar? 7. Indicar si es verdadero (V) o falso (F), según co- rresponda: • La intersección de dos planos es un segmento. ...................................(__) • Tres puntos siempre forman un plano. .............................................(__) • Dos rectas paralelas siempre forman un plano. .................................(__) 1. La longitud del segmento que une los centros de gravedad de dos caras de un tetraedro regular es de 6 cm. Calcular su área y volumen. 2. Calcular el radio de una esfera inscrita en un octaedro regular de 12 cm de arista. 3. Sean las rectas L1: 2x+5y=20 L2: - 3x+2y=12. Calcular la distancia del punto de su intersección hacia el eje de las ordenadas. 4. Al unir los centros de todas las caras de un hexaedro regular, se obtiene un: 5. Sea "Q" el punto de intersección de las rectas: L1: 3x - 2y=7 L2: 4x+5y=20. Calcular la distancia de "Q" hacia la recta: x=8. 19. El volumen de todo cilindro se calcula multipli- cando el área de la base con la altura del sólido. Si un cilindro tiene como diámetro de la base 10 cm y como altura el triple del radio, ¿cuánto será la capacidad de dicho sólido? 20. En una probeta de 6 cm de ra- dio se echan cuatro cubitos de hielo de 4 cm de arista. ¿A qué altura llegará el agua cuando se derritan? w w w .g oo gl e. co m .p e/ im gr es Geometría 4to - IV Bim.indd 231 31/10/2014 11:51:05 a.m. 232 TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe Repaso 8. Sea AB un segmento de 26 dm de longitud y exterior a un plano "P". Si las distancias de los extremos de AB al plano "P" miden 12 y 22 dm, calcular la proyección de AB sobre dicho plano "P". 9. Sean "P", "Q" y "S" tres planos paralelos entre sí. La recta L1 corta a estos planos en "A", "B" y "C" respectivamente y la recta L2 corta a los mis- mos planos en "E", "F" y "H" en ese orden. Si: AB=x, BC=2x+5, EF=6 y FH=3x+3, calcular el valor de "AC". 10. Si "O" es el circuncentro del triángulo EFG de 6'dm de circunradio y OQ mide 4 dm, calcular la distancia de "Q" al punto medio de FG. F G Q O E 11. Dado el cuadrado ABCD de centro "O" y lado igual a 4 cm, levante OF perpendicular a su pla- no, de modo que OF= 7 cm. Calcule la distan- cia de "F" al punto medio de AD. 12. Calcular cuántos planos como máximo se pue- den formar con 5 puntos no alineados y 6 rectas paralelas. 13. Sea PQR un triángulo equilátero de perímetro igual a 12 3'cm y circuncentro "O". Se le- vanta OF perpendicular al plano del triángulo equilátero PQR y se desea calcular el ángulo que forma FR con el plano de dicho triángulo. (OF=3'cm). 14. En el gráfico, calcular "AC+AB", sabiendo que AF es perpendicular al plano FBC sombreado. B F C A 8 8 6 15. Sean 1 y 2 dos rectas alabeadas. En L1 se mar- can los puntos "A" y "B" y en L2 se marcan "P" y "Q", de modo que AP es la mínima distancia entre L1 y L2. Si AP=AB=PQ y BQ=AP, calcu- lar el ángulo que forman 1 y 2. 16. Se consideran 10 rectas y con ellas se obtienen como máximo "ab" planos. Si "a+b" es el nú- mero de puntos de un conjunto, calcular cuán- tos planos como máximo puede determinar di- cho conjunto. 17. La figura muestra a un cubo. Calcular el ángulo que forman CD y AB. C A B D 18. ABC y ABEF son dos polígonos regulares de pla- nos perpendiculares. Calcular: FC/AE. B C E F A 19. La distancia de un punto "P" a una recta conte- nida en un plano es de 13 dm. La distancia de la recta al pie de la perpendicular que va de "P" al plano mide 12 dm. ¿Cuál es la distancia del punto "P" al plano? Geometría 4to - IV Bim.indd 232 31/10/2014 11:51:05 a.m.
Compartir