Identidades Trigonométricas - lista resumida

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Mg. Carlos David Laura Quispe 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.Identidades Pitagoricas. 
1.1. 122   CosSen ; de donde: 
1.2.  222 11 CosSenCosSen  
1.3.  222 11 SenCosSenCos  
1.4.  221 SecTg  ; 1.5.  221 CscCtg  
2.Identidades de Cociente. 
2.1.



Cos
SenTg  ; 2.2.



Sen
CosCtg  
 
Identidades Trigonométricas 
3.Identidades Reciprocas. 


Sen
CscCscSen 11..1.3  


Cos
SecSecCos 11..2.3  


Tg
CtgCtgTg 11..3.3  
4.Identidades Adicionales. 


CosSen
CscSecCtgTg
.
1..1.4  
   CosCosSen  11.2.4 2 ;    SenSenCos  11.3.4 2 
 CosSenCosSen  .21.4.4 
    CosSenCosSenCosSen .211.5.4  


TgSec
CtgSec


1.6.4 
 
Identidades Trigonométricas: Es una igualdad que relaciona funciones trigonométricas de 
uno o más arcos, que se verifica para cualquier valor que se asigne a estos arcos y que no 
figuren logaritmos ni exponenciales. 
Mg. Carlos David Laura Quispe 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5.Identidades Auxiliares. 
 
  CosxSenxCosxSenxxCosxSen .1.1.5 33  
xCosxSenxCosxSen 2244 .21.2.5  
xCosxSenxCosxSen 2266 .31.3.5  
xCosxSenxCosxSenxCosxSen 442288 .2.41.4.5 
xCosxSenxCosxSenxCosxSen 44221010 .5.51.5.5 
xCosxSenxCosxSenxCosxSenxCosxSen 6644221212 .2.9.61.6.5 
xCosxSenxCosxSenxCosxSenxCosxSen 6644221414 .7.14.71.7.5  
CscxSecxCtgxTgx ..8.5  
xCscxSecxCscxSec 2222 ..9.5  
12.10.5 244  xSenxCosxSen 
Senx
Cosx
Cosx
Senx 


1
1
.11.5 
 
Cosx
Senx
Senx
Cosx 


1
1
.12.5 
SenxCosxCosxSenx 21).(13.5 2  
SenxCosxCosxSenx 21).(14.5 2  
xSenxCosxCosxSen 2424.15.5  
xxTgSecxTgxSec 2244 21.16.5  
xxTgSecxTgxSec 2266 31.17.5  
    2.18.5 22  CosxSenxCosxSenx 
    4.18.5 22  CtgxTgxCtgxTgx 
    CosxSenxCosxSenx  1121.19.5 2 
    CosxSenxCosxSenx  1121.20.5 2  
xxCtgCscxCtgxCsc 2244 21.21.5  
xxCtgCscxCtgxCsc 2266 31.22.5  
xTgxSecxxTgSecxTgxSec 442288 .241..23.5  
xCtgxCscxxCtgCscxCtgxCsc 442288 .241..24.5  
 
Identidades Trigonométricas Auxiliares 
Mg. Carlos David Laura Quispe 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1. Verificación de Identidades: 
1.1. Para demostrar identidades será necesario trabajar sólo con uno de los miembros, de 
preferencia el más complejo. 
1.2. Transformar el miembro escogido en términos de Seno y Coseno. 
1.3.Hacer uso de productos notables algebraicos. 
1.4.Cuando haya términos repetidos, puede ser útil factorizar. 
1.5.Si hubiera productos indicados, desarrollarlos y simplificar hasta donde sea posible. 
1.6.Hacer uso de identidades fundamentales y auxiliares. 
 
2. Problemas de Simplificación: 
2.1.En este tipo de aplicaciones de lo que se trata es de reducir al máximo la expresión con 
ayuda de las identidades fundamentales o las auxiliares. 
2.2.Aplicar lo aprendido en las demostraciones anteriores. 
 
Consideraciones para Resolver Problemas con Identidades 
3. Problemas Condicionales: 
3.1.Dada una condición, de lo que se trata ahora es de calcular o de reducir una expresión 
trigonométrica específica. 
3.2.Para este tipo de problemas, se puede trabajar indistintamente con el dato, así como con 
la expresión a determinarse. 
3.3.También se puede expresar la ecuación condicional en términos de la ecuación que se 
quiere hallar o viceversa. 
4. Eliminación de Ángulos: 
4.1. Cuando se Elimina un solo Arco: 
En este caso se necesitan dos condiciones y como éstas son ecuaciones trigonométricas, 
de cada condición se obtiene una función trigonométrica que junto con los valores que 
estas generan, se reemplazan en la identidad fundamental más conveniente. 
Si se tuviese que trabajar simultáneamente con ambas condiciones, expresarlas en 
términos de Seno y Coseno para realizar luego con ellas la operación más conveniente, 
de tal manera que se elimine el arco que permita hallar una función trigonométrica que 
junto con los valores que de ésta se calculen, sean reemplazados en una de dichas 
condiciones. 
4.2. Cuando se Eliminan dos Arcos: En este caso se necesitan tres condiciones, tales 
que se relacionen dichos arcos. De la combinación de dos de ellas, se trata en lo posible 
de calcular las funciones trigonométricas de dichos arcos, los cuales se reemplazan 
adecuadamente en la tercera condición. 
Recordar que para eliminar arcos, se necesita siempre una condición más que el número 
de arcos a eliminarse. 
Eliminar ángulos implica, determinar una relación algebraica independiente de toda 
función trigonométrica, que se obtiene a partir de las relaciones dadas. 
 
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2.Fórmulas Fundamentales: 
2.1. Sen(x  y) =Sen x .Cos y  Cos x .Sen y 
2.2. Cos(x  y) = Cos x .Cos y  Sen x .Sen y 
2.3. 
TgyTgx
TgyTgxyxTg
.1
)(


 
2.4. 
CtgxCtgy
CtgyCtgxyxCtg


1.)(  
Suma y Diferencia de Ángulos 
3.Fórmulas Auxiliares: 
3.1. Sen(x +y).Sen(x – y) = xSen2 – ySen2 = yCos2 – xCos2 
3.2. Cos(x +y).Cos(x – y) = xCos2 – ySen2 = yCos2 – xSen2 
3.3. Sen(x +y).Cos(x – y) = Sen x .Cos x + Sen y .Cos y 
3.4. Sen(x – y).Cos(x +y) = Sen x .Cos x – Sen y .Cos y 
3.5. 
TgyTgx
TgyTgx
yxSen
yxSen





)(
)(
 
3.6. 
TgyTgx
TgyTgx
yxCos
yxCos
.1
.1
)(
)(





 
3.7. 
CosySenyCosxSenx
ySenxSenyxTg
..
22
)(


 
3.8. 
CosySenyCosxSenx
ySenxSenyxTg
..
22
)(


 
3.9. 
CosyCosx
yxSenTgyTgx
.
)( 
 
3.10. 
SenySenx
xySenCtgyCtgx
.
)( 
 
 
 
1.Suma y Diferencia de Ángulos: Cuando un ángulo está formado por la suma algebraica 
de dos o más se denomina ángulo compuesto; así A + B o A – B 
Mg. Carlos David Laura Quispe 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Suma y Diferencia de Ángulos 
2.Fórmulas Adicionales: 
2.1.. Si: A = a Sen x + b Cos x; a  b  R, x es variable, se cumple: 
máxA = 22 ba  mínA = 22 ba  
También: 
a Sen x + b Cos x = 22 ba  Sen(x +  ) 
donde: 
22 ba
bSen

  
22 ba
aCos

 
2.2. Si x + y + z = 180° 
2.2.1. Tg x + Tg y + Tg z = Tg x . Tg y .Tg z 
2.2.2. Ctg x .Ctg y + Ctg y .Ctg z + Ctg x .Ctg z = 1 
2.3. Si x + y + z = 90° 
2.3.1. Tg x .Tg y + Tg y . Tg z + Tg x .Tg z = 1 
2.3.2. Ctg x + Ctg y + Ctg z = Ctg x .Ctg y .Ctg z 
2.4. Funciones Trigonométricas de Ángulos Negativos 
2.4.1. Sen (–x) = –Sen (x) Ctg (–x) = –Ctg (x) 
2.4.2. Cos (–x) = Cos (x) Sec (–x) = Sec (x) 
2.4.3. Tg (–x) = –Tg (x) Csc (–x) = –Csc (x) 
 
 
1. Fórmulas Auxiliares: 
1.1. 
CosySenx
yxCosTgyCtgx
.
)( 
 ; 1.2. 
CosySenx
yxCosTgyCtgx
.
)( 
 
1.3. y)(xTgx.Tgy.TgTgyTgxy)Tg(x  
1.4. )45(.2  xSenCosxSenx 
1.5. )30(.2.3  xSenCosxSenx 
1.6. )60(.2.3  xSenCosxSenx 
1.7. Sen(x+y+z)=Senx.Cosy.Cosz+Seny.Cosx.Cosz+Senz.Cosx.Cosy–Senx.Sen y .Sen z 
1.8. Cos(x+y+z)=Cosx.Cosy.Cosz–Cosx.Seny.Senz–Cosy.Senx.Senz–Cos z .Sen x .Sen y 
1.9. Sen(x + y + z) = Cos x .Cos y .Cos z (Tg x + Tg y + Tg z – Tg x .Tg y .Tg z) 
1.10. Cos(x + y + z) = Sen x .Sen y .Sen z (Ctg x .Ctg y .tg z – CTg x – Ctg y – Ctg z) 
 
Mg. Carlos David LauraQuispe 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.Funciones Trigonómetricas del Ángulo Doble: 
1.1.Sen2 = 2SenCos 
1.2. Cos2 = Cos2 - Sen2 
1.3. Cos2 = 1 – 2Sen2 
1.4. Cos2= 2Cos2 - 1 
1.5. Tg2 = 


2Tg1
Tg2 ; 1.6. Ctg2 = 


Ctg2
1Ctg 2 
 
Ángulo Duplo 
2.Relaciones Auxiliares: Relacionando “Tg2” con un triángulo rectángulo 
obtenemos: 
 
1 + Tg2 
1 - Tg2 
2Tg 
 





 2
2
2 1
12).;
1
22).
Tg
TgCosb
Tg
TgSena




 
c). 8 xSen4 = 3 – 4 Cos 2x + Cos 4x ; d). 8 xCos4 = 3 + 4 Cos 2x + Cos 4x 
e). 
4
4344 xCosxCosxSen  ; f). 
8
43566 xCosxCosxSen  
g). Ctg x + Tg x = 2 Csc 2x ; h). Ctg x – Tg x = 2 Ctg 2x 
i). Tg x = Csc 2x – Ctg 2x ; j). Ctg x = Csc 2x + Ctg 2x 
3.Observaciones: 
3.1. Primera: 



Sen
SenCosCosCosCos n
n
n
)1(
)1(
2
22...42


 
3.2. Segunda: 
8
435
.2.2.3;
4
43.1.2.3 6644




Cos
CosSenCosCosSen



 
3.3. Tercera: 
 2222 CtgTgCtgCscCtgTg  
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1.Funciones Trigonómetricas del Ángulo Triple: 
1). xSenSenxxSen 3433  
 
2). CosxxCosxCos 343 3  
 
3). 
xTg
xTgxTgxTg 2
3
31
33


 
 
4)
13
33 2
3



xCtg
xCtgxCtgxCtg 
 
 
2.Relaciones Auxiliares: 
1). )122(3  xCosSenxxSen 
 
2). )122(3  xCosCosxxCos 
 
3) 








122
122.3
xCos
xCosTgxxTg 
 
4). )º60().º60(.43 xSenxSenSenxxSen  
 
 
5). )º60().º60(.43 xCosxCosCosxxCos  
 
 
6). )º60().º60(.3 xTgxTgTgxxTg  
 
 
7). )º60().º60(.3 xCtgxCtgCtgxxCtg  
 
 
Funciones Trigonométricas del Ángulo Triple 
Mg. Carlos David Laura Quispe 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.Funciones Trigonómetricas del Ángulo Triple: 
1) 
2
Cosx1
2
xSen  ; 2) 
2
Cosx1
2
xCos  
3) 
Cosx1
Cosx1
2
xTg


 ; 4) 
Cosx1
Cosx1
2
xCtg


 
1) 
2
x2SenCosx1 2 ; 2) 
2
x2CosCosx1 2 ; 3) CtgxCscx
2
xTg 
 
4) CtgxCscx
2
xCtg  ; 5) 
2
xTg = 
xSen
xCos1
 ; 6) 
2
xTg = 
xCos1
xSen

 
7) 
2
xCtg = 
xSen
xCos1
 ; 8) 
2
xCtg = 
xCos1
xSen

 
 
2.Relaciones Auxiliares: 
1) 
2
xSen +
2
xCos = xSen1 ; 2) 
2
xSen – 
2
xCos = xSen1 
3) 





n2
x2Sen = xCos22222   ; Para x  



2
π;0 
4) 





n2
x2Cos = xCos22222   ; Para x  



2
π;0 
En las fórmulas 11 y 12 se obtienen “n” radicales 
5) Caso Particular: 












n2
2
π
2Sen =
2
πCos22222   
14) 





1n2
π2Sen = 2222   ; n radicales 
15) 





1n2
π2Cos = 2222   ; n radicales 
 
Funciones Trigonométricas del Ángulo Triple 
Mg. Carlos David Laura Quispe 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.Transformaciones de Suma o Diferencia a Producto (A>B). 
Existe la necesidad de convertir expresiones en factores, con la finalidad de simplificar 
ecuaciones algebraicas. Para ello deberán utilizarse procedimientos algebraicos de la 
factorización a las funciones trigonométricas. También es conveniente deducir las 
conversiones de productos en sumas o diferencias, pues muchas veces se tendrá que 
reagrupar términos par volverlos a factorizar. 
2.Relaciones Fundamentales: 
1). 




 





 
2
.
2
2 BACosBASenSenBSenA 





 





 
2
.
2
2 BASenBACosSenBSenA 





 





 
2
.
2
2 BACosBACosCosBCosA 
 




 





 
2
.
2
2 BASenBASenCosBCosA 
3.Transformaciones de Producto a Suma o Diferencia (A>B). 
1.    BASenBASenCosBSenA .2 
2.    BASenBASenCosASenB .2 
3.    BACosBACosCosBCosA .2 
4. -    BACosBACosSenBSenA .2 
5. 
CosB
SenB
CosA
SenATgBTgA  
6. 
CosB
SenB
CosA
SenATgBTgA  
7. 
CosBCosA
SenBCosACosBSenATgBTgA
.
.. 
 
8. 
CosBCosA
SenBCosACosBSenATgBTgA
.
.. 
 
9.    
CosBCosA
BASenTgBTgA
CosBCosA
BASenTgBTgA
.
.10;
.



 
 
Transformaciones Trigonométricas