Tablas de integrales

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CÁLCULO DE PRIMITIVAS 
 
TABLA DE INTEGRALES INMEDIATAS 
 
∫ ++=−≠
+
C
p
xdxxp
p
p
1
1
1
 ∫ += Ctgxdxx2cos
1 
dx
x
x C= +∫ ln − = +∫ 12sen cotx dx gx C 
e dx e Cx x= +∫ dx x x Ccosh tgh2 = +∫ 
a a dx
a
a
Cx
x
> =∫0, ln + dxx x C1 2− = +∫ arcsen 
a
dx
x a
x Ca> =∫0, ln log + −− = +∫
dx
x
x C
1 2
arccos 
sen cosxdx x C= − +∫ dxx x C1 2+ = +∫ arctg 
cos senxdx x C= +∫ dxx x C2 1+ = +∫ arg senh 
 senh coshxdx x= +∫ C dxx x C2 1− = +∫ arg cosh 
cosh senhxdx x C= +∫ dxx x C1 2− = +∫ arg tgh 
COMPOSICIÓN DE FUNCIONES 
Si , entonces u u x= ( ) ( )( )′∫ u x f u x dx( ) es inmediata siempre que lo sea 
. Por ejemplo, ( )f x dx∫ ′ =∫ uu dx u Cln| |+ , o bien, ′+ = +∫ uu dx u C1 2 arctg 
 
Cxdx
x
x +=∫ 2
)(lnln 2
 
Cedx
e
e x
x
x
+=−∫ arcsen1 2 
 
 
 
MÉTODOS DE INTEGRACIÓN 
 
1. - Cambio de variable: 
 Como todo cambio de variable se basa en la regla de la cadena. 
Queremos realizar la integral ∫ dxxf )( donde f no tiene una 
primitiva inmediata. Debemos buscar un cambio de variable que transforme 
la integral en una integral inmediata o composición de funciones. 
Entonces, 
para el cambio, )(tgx = dttgdx )(′= 
 
 
 ∫ ∫ ′= dttgtgfdxxf )())(()( 
 
Más adelante estudiaremos algunos cambios específicos. 
 
2. - Integración por partes 
 Se basa en la derivada de un producto. 
 Sean y v)(xuu = )(xv= entonces 
. Integrando en ambos lados de la igualdad 
obtenemos 
vu ′+vuuv ′=′)(
∫∫ ′+ dxvu′= vdxuuv . 
 Por tanto, 
∫ ∫ ′−=′ vdxuuvdxvu 
Ejemplos: 
xe dx
u x du dx
dv e dx v e
xe e dx xe e C e x Cx x x
x x x x x∫ ∫= = → == → =



 = − = − + = − +( )1 
 
 
ln
ln
ln ln (ln )xdx
u x du
dx
x
dv dx v x
x x dx x x x C x x C∫ ∫= = → == → =





 = − = − + = − +1 
 
 
3. - Integración de funciones trigonométricas: 
Realización de cambios basados en las identidades trigonométricas: 
sen cos
cos( ) cos sen
2 2
2 2
1
2
x x
x x
+ =
= − Resultan: 
sen ( cos( ))
cos ( cos( ))
2
2
1
2
1 2
1
2
1 2
x x
x x
= −
= +
 
x
sen( ) sen cos2 2x x= x 
sen cos
x
x
2
2
2
1

 = − cos cos
x
x
2
2
2
1

 = + tg
cos
cos
x x
x2
1
1



 =
−
+ 
sen( ) sen cos cos sen
cos( ) cos cos sen sen
sen cos sen( ) sen( )
cos cos cos( ) cos( )
sen sen cos( ) cos( )
x y x y x y
x y x y x y
x y x y x y
x y x y x y
x y x y x
+
y
= +
+ = −
= + + −
= + + −
= − + + −
2
2
2
 
 
Ejemplos: 
i) sen ( cos( )) cos( ) sen( )2 1
2
1 2
1
2
1
2
2
1
2
1
2
2xdx x dx dx x dx x x C∫ ∫= − = − = −  +∫ ∫ 
ii) sen( ) cos( ) (sen( ) sen( )) ( cos( )) ( cos( ))4 2 1
2
6 2
1
2
1
6
6
1
2
2x x dx x x dx x x C= + = − + −

 +∫∫
 
iii) cos sen sen (sen ) senx xdx x x dx x C3 3 41
4
= ′ = +∫∫ 
iv) 
sen cos sen cos sen ( cos ) cos (cos )
( cos cos )cos (cos ) cos cos cos
5 2 4 2 2 2 2
2 4 2 3 5 7
1
1 2
1
3
2
5
1
7
x xdx x x xdx x x x dx
x x x x dx x x x C
∫ ∫ ∫
∫
= = − − ′ =
− + ′ = − + +
 
v) 
sen cos ( cos( ))( cos( )) ( cos ( ))
cos( ) sen( ) sen( )
2 2 21
4
1 2 1 2
1
4
1 2
1
4
1
8
1 4
1
4
1
8
1
32
4
1
4
1
32
4
x xdx x x dx x dx
dx x dx x x x x x
∫ ∫∫
∫ ∫
= − + = −
= − + = − − = − + C
=
 
 
 
vi) dx
x x
x x
x x
dx
dx
x
dx
x
x x
sen cos
sen cos
sen cos cos sen
tg cot2 2
2 2
2 2 2 2= + = + = −∫ ∫∫∫ C+
dx
 
 
 
5. - Integración de funciones hiperbólicas: 
 Son integrales del tipo y se resuelven de alguna de 
las siguientes formas: 
R x x(senh , cosh )∫
1) Teniendo en cuenta la definición: senh ; coshx e e x e e
x x x
= − = +
− −
2 2
x
x
x
2) Teniendo en cuenta las relaciones: 
 
cosh senh
senh( ) senh cosh
cosh( ) senh cosh
2 2
2 2
1
2 2
2
x x
x x
x x
− =
=
= +
de donde se deduce: senh (cosh( ) ); cosh (cosh( ) )2 21
2
2 1
1
2
2 1x x x x= − = +
Ejemplo: 
cosh (cosh( ) ) ,
cosh ( ) ( )
2
2 2 2
1
2
2 1
1
4
1
4
2
xdx x dx
xdx e e dx e e dxx x x x
∫ ∫
∫ ∫ ∫
= +
= + = + +− −2
 
 
 
 
6. - Integración de funciones irracionales: 
1) Integrales del tipo R x ax b
cx d
ax b
cx d
dx
p
q
p
q
k
k, , ...,
+
+




+
+









∫
1
1 
donde a b y c d R, , , ∈ p
q
p
q
k
k
1
1
, ..., son funciones irreducibles. 
Consideramos el cambio: t ax b
cx d
n = ++ donde n m c m q qk= . . .( , ..., )1 
Ejemplos: 
 
 
i) x
x x
dx
x
x x
dx
6
23
1
6
1
2
2
3+
=
+
∫ ∫ como m.c.m.(6,2,3)=6 cambio t x6 = 
ii) 2
1
2
1
1
2x
x
dx
x
x
dx+ = +



∫ ∫ cambio t xx2 2= 1+
2) Integrales del tipo: 
R x a x dx( , )2 2−∫ R x a x dx( , )2 2+∫ R x x a dx( , )2 2−∫ 
cambio: x a= sen t cambio: x a t= senh cambio: x a t= cosh 
 dx a tdt= cos dx a tdt= cosh 
queda una trigonométrica. queda una hiperbólica. queda una hiperbólica. 
dx a tdt= senh
 
Ejemplos: 
( )
sen
cos
cos
sen
sen
sen
cot cot(arcsen( )) arcsen( )
a I
x
x
dx
x t
dx tdt
t
t
dt
t
t
dt
t t C
x x
C
= − = ==



 = =
− =
− − + = − − +
∫∫ ∫4 22 1
2 2
2
2
2
2
2
2
 
( )
cosh
senh
cosh (cosh( ) )
( senh( ) ) senh( arccos ) arccos
b I
x
x
dx
x t
dx tdt
tdt t dt
t t C hx hx C
= − =
=
=



 = = +
+ + = + +
∫∫ ∫22 21
1
2
2 1
1
2
1
2
2
1
4
2
1
2
=
 
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