Formulas Curvatura y torsión

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FACULTAD DE INGENÍERIA CÍVIL 
 
CURSO: 
Cálculo vectorial 
DOCENTE: 
Leyva Gónzales Nobel 
TEMA: 
Curvatura y Torsión 
ESTUDIANTE: 
Quispe Paitan Ever Edison 
CÓDIGO: 2018200387E 
 SEMESTRE: III 
 
TORSION Y CURVATURA 
FORMA 1 
Se denomina curvatura de flexión o simplemente curvatura a la razón instantánea 
de cambio de dirección de los puntos de la curva C, con respecto a la longitud 
de arco. 
𝑘𝑘(𝑡𝑡0) =
�𝑇𝑇ˈ���⃗ (𝑡𝑡0)�
�𝑓𝑓ˈ��⃗ (𝑡𝑡0)�
 
𝑓𝑓 ���⃗ (t)= f1(t) 𝚤𝚤 �⃗ + f2(t) 𝚥𝚥 ��⃗ +f3(t) 𝑘𝑘 ���⃗ 
Considerando la curva C dada por la función 
vectorial: 
FORMA 2 
Curvatura o flexión con ángulo en sentido antihorario. 
CURVATURA 
𝑓𝑓 ���⃗ (t0) 
𝑇𝑇 ���⃗ (t0) 
𝑇𝑇 ���⃗ (t1) 
C: 𝑓𝑓 ���⃗ (t) 
𝑘𝑘 = �
dθ
𝑑𝑑𝑑𝑑� 
𝑇𝑇 ���⃗ (θ)= cos(θ) 𝚤𝚤 �⃗ + sen(θ) 𝚥𝚥 ��⃗ 
𝑇𝑇 ���⃗ 
x 
Y 
0 
𝑑𝑑𝑇𝑇 ���⃗
𝑑𝑑𝑑𝑑 θ 
FORMA 3 
Para una curva plana que tiene la ecuación: 
𝑘𝑘(𝑡𝑡) =
|𝑋𝑋ˈ(𝑡𝑡). 𝑌𝑌ˈˈ(𝑡𝑡) − 𝑋𝑋ˈˈ(𝑡𝑡). 𝑌𝑌ˈ(𝑡𝑡)|
(𝑋𝑋ˈ(𝑡𝑡)2 + 𝑌𝑌ˈ(𝑡𝑡)2)3 2�
 
C: 𝑟𝑟 ��⃗ (t) =x(t). 𝚤𝚤 �⃗ + y(t). 𝚥𝚥 ��⃗ 
 
Para una curva plana que tiene la ecuación: 
FORMA 4 
𝑘𝑘(𝑥𝑥) =
|𝑓𝑓ˈˈ(𝑥𝑥)|
(1 + 𝑓𝑓ˈ(𝑥𝑥)2)3 2�
 
C: Y = f(x) 
RADIO DE CURVATURA 
𝜌𝜌(𝑡𝑡) =
1
𝑘𝑘(𝑡𝑡)
 
C: f(t) 
Para una curva: 
CENTRO DE CURVATURA 
C = 𝑓𝑓 ���⃗ (t) + 𝜌𝜌(t)N(t) 
Para una curva: 
C: f(t) 
P 
c 1
𝑘𝑘 
centro de curvatura 
radio de curvatura 
TORSIÓN 
𝜏𝜏(𝑆𝑆) =
�𝑟𝑟ˈ(𝑆𝑆). 𝑌𝑌�⃗ ˈˈ(𝑆𝑆)� . 𝑌𝑌�⃗ ˈˈˈ(𝑆𝑆)
�𝑌𝑌ʹ���⃗ (𝑆𝑆)�
2 
Para una curva parametrizada en 
términos de longitud de arco: 
 
FORMA 1 FORMA 2 
𝜏𝜏(𝑡𝑡) =
��⃗�𝛼ˈ(𝑡𝑡). �⃗�𝛼ˈˈ(𝑡𝑡)�. �⃗�𝛼ˈˈˈ(𝑡𝑡)
�𝛼𝛼ʹ���⃗ (𝑡𝑡)𝑥𝑥𝛼𝛼ʹʹ(𝑡𝑡)�
2 
Para una curva parametrizada 
arbitraria: 
 �⃗�𝑦 : ⌊0, 𝐿𝐿⌋ 𝑅𝑅3 �⃗�𝑦 : ⌊0, 𝐿𝐿⌋ 𝑅𝑅3