La Teoría de la Relatividad_ A2_ La ecuación de onda electromagnética

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26/05/2020 La Teoría de la Relatividad: A2: La ecuación de onda electromagnética
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M I É R C O L E S , 1 8 D E M A R Z O D E 2 0 0 9
A2: La ecuación de onda electromagnética
La ecuación de onda electromagnética es representada en forma
compacta por la siguiente fórmula:
en la que el operador Laplaciano (∇, el símbolo nabla, derivado del
griego significa “arpa”):
actúa sobre la onda electromagnética φ, en donde φ puede representar
un campo eléctrico E o un campo magnético B de acuerdo con la teoría
del electromagnetismo de Maxwell:
Prescindiendo de la compacidad, la ecuación de onda electromagnética
se puede expresar de manera más explícita en otra forma igualmente
conocida:
Esta es una ecuación que se obtiene directamente de las ecuaciones de
Maxwell de la teoría electromagnética, las cuales no establecen un
sistema de referencia privilegiado. Así, el movimiento relativo entre un
imán y una bobina de alambre:
S E G U I D O R E S
A R C H I V O D E L B L O G
▼ 2009 (77)
▼ marzo (77)
Indice
Prólogo
El movimiento absoluto
Un descubrimiento
sorprendente
La física es parada de cabeza
Las consecuencias directas de
la teoría
El experimento que antecedió
a la teoría
6: Los diagramas espacio-
tiempo de Minkowski
7: Las transformaciones de
Lorentz
8: Representaciones
matriciales
9: Suma relativista de
velocidades
10: Una teoría libre de
asimetrías y de paradojas
11: El efecto Doppler
relativista
12: Dinámica relativista
13: La ecuación más famosa
de Einstein
14: Física atómica relativista
14: Invariantes
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es capaz de inducir una corriente eléctrica en el alambre ya sea que el
imán sea el que se está moviendo dentro de una bobina estática o que la
bobina sea la que se está moviendo mientras que el imán permanece
inmóvil, en reposo; las ecuaciones que describen el intercambio entre el
campo magnético y la corriente eléctrica producida por el campo
magnético siguen siendo exactamente las mismas, lo único que importa
es el movimiento relativo que tiene lugar entre el imán y la bobina. El
principio básico de la Teoría de la Relatividad está implícito en este
comportamiento. Sin embargo, al aplicar las transformaciones de
Galileo, no tarda uno en descubrir que la ecuación de onda
electromagnética cambia significativamente de modo tal que no hay ya
una sola ecuación única que describa el comportamiento de un mismo
fenómeno electromagnético, contraviniendo lo que se observa en la
práctica.
PROBLEMA: Demostrar que la ecuación de onda electromagnética
no permanece invariante bajo las transformaciones de Galileo.
Las transformaciones de Galileo para pasar de un sistema S que está en
reposo a un sistema S’ que se está desplazando en el sentido negativo
del eje-x a una velocidad V con respecto al observador en reposo están
dadas por las siguientes relaciones:
____x’ = x - Vt
____y’ = y
____z’ = z
____t’ = t
La ecuación de onda electromagnética será invariante si conserva la
misma forma al aplicar las transformaciones de Galileo poniéndola en
los términos de las nuevas variables x’, y’, z’ y t’.
De las transformaciones de Galileo dadas arriba encontramos primero
que:
Rotaciones y
transformaciones
15: Los 4-vectores I
Los 4-vectores II
El germen de una idea
17: El principio de
equivalencia
19: Predicciones,
confirmaciones, y
reflexiones
20: Introducción al cálculo
tensorial
22: Tensores de orden
superior y mixtos
23: Aritmética de tensores
Propiedades de los tensores
24: El tensor métrico
Gimnasia de índices
La derivada covariante de un
tensor I
La derivada covariante de un
tensor II
La derivada covariante de un
tensor III
La derivada covariante de un
tensor IV
El determinante del tensor
métrico
La divergencia de un tensor I
La divergencia de un tensor II
Electrodinámica relativista I
Electrodinámica relativista II
El tensor energía-tensión
Electrodinámica relativista III
La ruta geodésica I
La ruta geodésica II
La ruta geodésica III
El transporte paralelo
La derivada absoluta
El tensor de Riemann I
El tensor de Riemann II
La ecuación de desviación
geodésica
La geometría Euclideana y la
Relatividad
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y encontramos también que:
Aplicaremos ahora la regla de la cadena que para derivadas ordinarias
es:
y que para derivadas parciales es:
con la cual obtenemos lo siguiente para la derivada parcial de φ con
respecto a x:
Con los resultados obtenidos arriba de las transformaciones de Galileo,
esta última relación se reduce a:
o bien:
Los tensores de Ricci y
Einstein I
Los tensores de Ricci y
Einstein II
Orbitas planetarias
relativistas
La reducción a los límites
clásicos
La solución de Schwarzschild
I
La solución de Schwarzschild
II
La solución de Schwarzschild
III
El abandono de la "accion a
distancia"
Los agujeros negros: Génesis
28B: Los agujeros negros
estáticos
28C: Los agujeros negros
dinámicos
28D: Los agujeros negros:
Evaporación
28E: Los agujeros negros:
Entropía generalizada
28F: Radiación gravitacional
Cosmología relativista I
Cosmología relativista II
29A: Axiomatización de la
Teoría Relativista
Las escalas de Planck
El puente Einstein-Rosen
Cosmología Cuántica
Perspectivas futuras
Bibliografia
Enlaces Wikipedia
A1: El papel original de
Einstein de 1905
A2: La ecuación de onda
electromagnética
A4: Relatividad General:
Manuscritos originales
A5: La ecuación de onda
relativista de Dirac
A6: Programas de simulación
computarizada
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Volviendo a tomar nuevamente la derivada parcial de esto último con
respecto a x tenemos lo siguiente:
Procediendo de modo similar, podemos demostrar que las expresiones
para la segunda derivada parcial de φ con respecto a la variable “y” y la
variable “z” serán:
Procediendo de manera similar a como lo hicimos arriba, después de
utilizar la regla de la cadena para poner a la primera derivada parcial de
φ con respecto a la variable “t” obtenemos lo siguiente:
Tomando la segunda derivada parcial de φ con respecto a la variable “t”
obtenemos entonces:
Substituyendo en la ecuación de onda electromagnética original las
derivadas parciales de segundo orden que hemos obtenido, llegamos a
la siguiente conclusión:
D A T O S P E R S O N A L E S
ARMANDO MARTÍNEZ
TÉLLEZ
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Claramente, esta fórmula es más compleja que la fórmula original. No
tiene la misma forma que la que tenía su progenitora debido a la
presencia del término extra destacado en color amarillo. La única
manera en la cual ésta fórmula puede simplificarse es haciendo la
velocidad V = 0, lo cual significa regresar a la fórmula original válida
para un observador que está en reposo con respecto al éter, el medio
de conducción para el cual la ecuación de onda electromagnética
original adquiere la forma predicha por las leyes del
electromagnetismo de Maxwell. El observador que está en reposo
con respecto al éter siempre tendrá la fórmula más sencilla
de todas; es un observador privilegiado. Todos los demás obtendrán
fórmulas diferentes. Y esto cubre apenas las asimetrías con las que nos
topamos al manipular la ecuación de onda electromagnética. Cualquier
otra situación en la que estén involucradas fórmulas en las que basamos
experimentos llevados a cabo con rayos de luz (o con ondas
electromagnéticas de teléfonos celulares, radio y televisión) adquirirán
asimetrías al pasar de un marco de referencia a otro.
La única forma en la cual podemos hacer la ecuación de onda
electromagnética universalmente válida es prescindiendo de las
transformaciones de Galileo, reemplazándolas por otro tipo de
transformaciones bajo las cuales la ecuación de onda electromagnética
siga teniendo la misma forma. Esto se logra con las ecuaciones de
transformación de Lorentz, prescindiendo de los conceptos clásicos del
tiempo absoluto y del espacio absoluto sobre los cuales se sustentaban
las transformaciones de Galileo.
PROBLEMA: Demostrar que la ecuación de onda electromagnética sí
permanece invariante bajo las transformaciones de Lorentz.
Las transformaciones de Lorentz para pasar del sistema S al sistema S’
están dadas por las siguientes relaciones:
____x’ = γ(x - Vt)
____y’ = y
____z’ = z
____t’ = γ(t - Vx/c²)
con:
γ = 1/√1 - V²/c²
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Procedemos de una manera similar a como lo hicimos en el problema
anterior.
Tomando derivadas parciales sobre las transformaciones de Lorentz al
igual que como lo hicimos con las transformaciones de Galileo,
obtenemos los siguientes resultados preliminares:
Tenemos además:
Nuevamente recurrimos a la regla de la cadena para derivadas
parciales:
Utilizando los resultados anteriores obtenidos con las ecuaciones de
transformación de Lorentz, obtenemos el resultado siguiente para la
derivada parcial de φ con respecto a la variable x:
http://4.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/St4yBgmhAZI/AAAAAAAAIZM/VRAW36iO0sE/s1600-h/relacion_1.png
http://4.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/St4yvGp7GAI/AAAAAAAAIZU/71q68o7lIVc/s1600-h/relacion_2.png
http://3.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/St4z3mlY4UI/AAAAAAAAIZk/uHJxc_BU32o/s1600-h/relacion_3.png
http://1.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/St40es_W51I/AAAAAAAAIZs/tOa06n0fax8/s1600-h/relacion_4.png
http://1.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/St-CVYFOgQI/AAAAAAAAIcU/nUGdI2Oj-Cg/s1600-h/derivadas_parciales_3.png
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Tomando la segunda derivada parcial de la expresión anterior tenemos
lo siguiente:
Recurriendo a la regla de la cadena y simplificando, obtenemos la
primera derivada parcial de φ con respecto a la variable “t”:
de lo cual obtenemos lo siguiente al tomar la segunda derivada parcial:
Los siguientes resultados son los más fáciles de obtener y deben
resultar obvios:
http://1.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/St41r0GVcHI/AAAAAAAAIZ0/eqGRnVoOrDI/s1600-h/relacion_5.png
http://2.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/St49m_GGm8I/AAAAAAAAIak/LhMfWs5TNyY/s1600-h/relacion_7.png
http://4.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/St429SWC3CI/AAAAAAAAIZ8/e1pVPxOQFWs/s1600-h/relacion_6.png
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26/05/2020 La Teoría de la Relatividad: A2: La ecuación de onda electromagnética
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Sustituyendo las expresiones obtenidas en la ecuación de onda
electromagnética original, obtenemos el siguiente resultado:
Después de la transformación, esta ecuación es idéntica en
forma a la ecuación original. Se concluye entonces que la ecuación
de onda electromagnética permanece invariante en forma bajo las
transformaciones de Lorentz.
PUBLICADAS POR ARMANDO MARTÍNEZ TÉLLEZ A LA/S 0:18 
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