CIBA173-Clase1 (1)

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INFERENCIA Estadística (ciba173-14)
Herramientas Inferencia Estadística
PROPOSITO INFERENCIA
Cuando se habla de obtener conclusiones respecto de una población particular, se refiere a algunas características distribucionales de la población. Específicamente, nos referimos a algunos parámetros que caracterizan la distribución poblacional. Esto significa que la inferencia en cuestión será relativa a un conjunto de parámetros poblaciones. De aquí se habla también de inferencia paramétrica.
Definición: Si son variables aleatorias independientes e identicamente distribuidas, se dice que ellas conforman una muestra aleatoria.
Si es una muestra aleatoria de una variable aleatoria , entonces se acostumbra a llamar a variable aleatoria poblacional o población.
Los valores observados son llamados valores de la muestra aleatoria seleccionados desde la población en estudio.
Observar que si es una muestra aleatoria, entonces su distribución de probabilidades conjunta está completamente especificada por sus distribuciones marginales.
Algunas funciones de elementos de una muestra aleatoria muy útiles en la inferencia estadística
 (media muestral)
 (varianza muestral)
Definición: Cualquier función de los elementos de una muestra aleatoria que no dependa de algún parámetro desconocido se llama estádistico.
Las distribuciones de dichos estadísticos se conocen como distribuciones muestrales.
DISTRIBUCION DE LA MEDIA MUESTRAL
Teorema: Si es una muestra aleatoria de una población que tiene media y varianza , entonces tiene media y varianza .
Corolario: Si es una muestra aleatoria de una población Normal de parámetros y , entonces tiene media y varianza .
Teorema Central del Límite: Sea una muestra aleatoria de una población infinita que tiene media y varianza . Si se define:
donde: , entonces:
donde es la función de distribución acumulada de la distribución Normal estándar.
Teorema: Si es una muestra aleatoria de una distribución con media y varianza , entonces , donde:
Teorema: Si es una muestra aleatoria de una población cuya distribución es normal con media y varianza , entonces:
La media muestral y la varianza muestral son variables aleatorias independientes.
Teorema: Si es una muestra aleatoria de una población cuya distribución es normal con media y varianza , entonces:
PROBLEMAS DE INFERENCIA ESTADÍSTICA
Estimación de parámetros
Prueba de Hipótesis
Métodos de Estimación Puntual
Método por Momentos
Método Máximo Verosímil
Obs.: Se denota por el parámetro desconocido y su estimador
Método por Momentos
Este método consiste en escribir:
donde, es el k-ésimo momento poblacional y luego considerar como estimador por momentos a:
donde, es el k-ésimo momento muestral
Ejemplo: Una muestra aleatoria de observaciones se selecciona desde una población con distribución uniforme sobre el intervalo en que es desconocido. Encontrar, mediante el método de momentos, un estimador de .
Ejemplo: Estimar por el método de los momentos, la varianza de una población cualquiera .
Ventaja: Es necesario conocer los momentos poblacionales y no necesariamente conocer la distribución de probabilidades de la población.
Desventaja: No proporciona estimadores únicos, ya que este método solo exige exhibir una función que involucre algunos momentos poblacionales y no siempre esta función es única
Método Máximo Verosímil
Definición: Suponga que son los valores observados de una muestra aleatoria de una población con función de probabilidad (o de densidad de probabilidad) que depende del parámetro desconocido . La función de probabilidad (o de densidad de probabilidad) conjunta de la muestra aleatoria considerada como función de define a la función de verosimilitud
El método de máxima verosimilitud consiste en obtener, como estimadores, aquellos valores que maximizan . Dado que es siempre no negativa y logra su máximo para el mismo valor de que , resulta más simple obtener el estimador máximo verosímil (EMV) de resolviendo:
Ejemplo: Suponga que corresponden a la realización de ensayos Bernoulli independientes con probabilidad de éxito en cada ensayo, donde si el i-ésimo ensayo es un éxito y si el i-ésimo ensayo es un fracaso. Determinar el estimador máximo verosímil de la probabilidad de éxito .
Ejemplo: Suponga que representan los tiempos de fallas para una cierta pieza de equipo y que los tiempos de vida son exponenciales e independientes con parámetro (desconocido). Determinar el estimador máximo verosímil del parámetro .
PROPIEDADES ESTIMADORES PUNTUALES
Insesgamiento: Se dice que es insesgado ssi 
Eficiencia: Si se consideran todos los posibles estimadores insesgados de algún parámetro , al que tiene la menor varianza lo llamamos estimador más eficaz de .
Consistencia: Un estimador insesgado de es consistente si: .
Suficiencia: Sea una m.a de una distribución de probabilidades con parámetro desconocido . es un estadístico suficiente para ssi la distribución condicional de la m.a dado , para todo , es independiente de .
Invarianza: Si es una función con inversa , de manera que implica que , entonces el EMV de , , se calcula como: