Capitulo2-Introduccion-Series-de-tiempo

Vista previa del material en texto

UNIVERSIDAD CENTRAL DE VENEZUELA
FACULTAD DE CIENCIAS
Escuela de Matemáticas
Series de Tiempo
Tema 2
Caracterı́sticas de las Series de Tiempo
José Benito Hernández Chaudary
Mairene Yelitza Colina Cruz
2.1. Introducción
El análisis de series de tiempo desempeña un papel importante en el análisis requerido para
el pronóstico de eventos futuros. Existen varias formas o métodos de calcular cual va a ser la
tendencia del comportamiento del proceso en estudio.
Algunos ejemplos donde se puede utilizar series temporales:
Economı́a y Marketing
Proyecciones del empleo y desempleo.
Evolución del ı́ndice de precios de la leche.
Beneficios netos mensuales de cierta entidad bancaria.
Índices del precio del petróleo.
Demografı́a
Número de habitantes por año.
Tasa de mortalidad infantil por año.
Medioambiente
Evolución horaria de niveles de óxido de azufre y de niveles de óxido de nitrógeno en una
ciudad durante una serie de años.
Lluvia recogida diariamente en una localidad.
Temperatura media mensual.
1
Medición diaria del contenido en residuos tóxicos en un rı́o.
Una serie tiempo es una secuencia de observaciones, medidos en determinados momentos
del tiempo, ordenados cronológicamente y, espaciados entre sı́ de manera uniforme, ası́ los datos
usualmente son dependientes entre sı́. El principal objetivo de una serie de tiempo es su análisis
para hacer pronóstico. Formalmente se tiene la siguiente definición.
Definición 2.1.1 Una serie de tiempo es un conjunto de observaciones xt, cada una registrada a un
tiempo especı́fico t.
Definición 2.1.2 Un modelo de series de tiempo para los datos observados {xt} es una especificación
de una distribución conjunta (o posiblemente solo de medias y covarianzas) de una sucesión de variables
aleatorias {Xt} de las cuales {xt} es una realización.
Componentes de una serie temporal
El análisis clásico de las series temporales se basa en la suposición de que los valores que toma
la variable de observación es la consecuencia de tres componentes, cuya actuación conjunta da
como resultado los valores medidos, estos componentes son:
1. Componente tendencia. Se puede definir como un cambio a largo plazo que se produce en
la relación al nivel medio, o el cambio a largo plazo de la media. La tendencia se identifica
con un movimiento suave de la serie a largo plazo.
2. Componente estacional. Muchas series temporales presentan cierta periodicidad o dicho de
otro modo, variación de cierto perı́odo (semestral, mensual, etc.). Por ejemplo las Ventas al
Detalle en Puerto Rico aumentan por los meses de noviembre y diciembre por las festivi-
dades navideñas. Estos efectos son fáciles de entender y se pueden medir explı́citamente o
incluso se pueden eliminar de la serie de datos, a este proceso se le llama desestacionalización
de la serie.
3. Componente aleatoria. Esta componente no responde a ningún patrón de comportamiento,
sino que es el resultado de factores fortuitos o aleatorios que inciden de forma aislada en una
serie de tiempo.
De estos tres componentes los dos primeros son componentes determinı́sticos, mientras que la
última es aleatoria. Ası́ se puede denotar la serie de tiempo como
Xt = Tt + Et + ǫt
donde Tt es la tendencia, Et es la componente estacional y ǫt es la componente aleatoria.
Ejemplo 2.1.1 Beneficios de acciones. Beneficios por acción trimestrales para la compañı́a Johnson &
Johnson. Se tienen 84 trimestres iniciando el primer trimestre de 1960 hasta el último trimestre de 1980. Los
métodos para analizar tales datos se verán en el Tema 3 usando técnicas de regresión. El archivo es jj.dat.
Los comandos en Matlab y R para cargar el archivo y graficar la serie de tiempo son los siguientes:
en Matlab en R
> jj=textread(’jj.txt’); > jj=ts(scan("jj.txt"),start=1960,freq=4)
> plot(jj(:,1),jj(:,2),’.-’); > plot(jj, type=".",
> xlabel=’tiempo’; ylab="Beneficios por acción trimestrales")
> ylabel=’Beneficios por acción trimestrales’;
2
1960 1962 1964 1968 1970 1972 1974 1976 1978 1980
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
Tiempo
Be
ne
fic
io
s 
po
r a
cc
ió
n 
tri
m
es
tra
le
s
Figura 2.1: Ganancias trimestrales por acción, Compañı́a Johnson & Johnson.
Ejemplo 2.1.2 Calentamiento global. Los datos corresponden a 98 años de mediciones de temperatu-
ras, la gráfica presenta la desviación promedio entre las temperaturas en tierra y aire medidos en grados
centı́grados. El archivo de datos es globtemp.dat.
El código en Matlab y R es el siguiente
en Matlab en R
> globtemp = textread(’globtemp.dat’); > jj=ts(scan("globtemp.dat"),start=1856)
> plot(globtemp(:,1),globtemp(:,2),’.-’); > gtemp=window(globtemp,start=1900)
> xlabel=’Tiempo’; > plot(gtemp=".",
> ylabel=’Desviación de la temperatura global’; ylab="Desviación de la temperatura global")
1900 1920 1940 1960 1980 2000
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
Tiempo
De
sv
ia
ció
n 
de
 la
 te
m
pe
ra
tu
ra
 g
lo
ba
l
Figura 2.2: Promedio de desviación de temperaturas anual (1900-1997) en grados centı́grados
Ejemplo 2.1.3 Datos de discurso o habla. Los datos siguientes representan la entonación al repetir la
frase aaa ... hhh. Este tipo de datos envuelve aplicaciones de interés en las ciencias médicas. La separación
entre los bloques es conocido como el perı́odo de diapasón y representa la respuesta del filtro de extensión
vocal a una secuencia periódica de impulsos estimulados por la apertura y el cierre de la glotis. El archivo es
speech.dat.
en Matlab en R
> plot(speech(:,1),speech(:,2),’-’); > plot(speech <- ts(scan("speech.dat")),
> xlabel=’Tiempo’;ylabel=’Palabras’; ylab="Palabras")
3
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
4500
Tiempo
Pa
la
br
as
Figura 2.3: Registro de tonos al repetir la sı́laba aaa...hhh a 10000 puntos por segundo con n = 1020
puntos
Ejemplo 2.1.4 Bolsa de Valores de New York. Este es un ejemplo de series de tiempo financieras. La
figura muestra los porcentajes de cambio diario desde el 2 de febrero de 1984 hasta el 31 de diciembre de 1991.
Como se ve hay una caı́da fuerte, esta ocurrió el 19 de octubre de 1987 en t = 938. El archivo de datos es
nyse.dat.
0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000
−0.2
−0.15
−0.1
−0.05
0
0.05
0.1
0.15
Tiempo
Po
rce
nta
je 
de
 ca
mb
io 
NY
SE
Figura 2.4: Porcentajes de cambio de NYSE, del 2 de febrero de 1984 al 31 de diciembre de 19991.
Ejemplo 2.1.5 El niño y la población de peces. Podemos analizar también varias series al mismo tiem-
po. En la figura se muestran los valores de una serie medioambiental conocida como Índice de Oscilación del
Sur (SOI) y el reclutamiento asociado (número de nuevos peces). SOI mide los cambios en la presión del aire
relativo a la temperatura de la superficie del mar en el Pacı́fico Central. Son 453 meses de 1950 a 1987. Los
archivos de datos son soi.dat, recruit.dat
en Matlab en R
> soi=textread(’soi.dat’); > soi=ts(scan("soi.dat"),start=1950,freq=12)
> rec=textread(’rec.dat’); > rec=ts(scan("recruit.dat"),start=1950,
> subplot(2,1,1); frequency=12)
> plot(soi(:,1),soi(:,2),’-’); > par(mfrow=c(2,1),mar=c(3,4,3,2))
> xlabel(’Índice de Oscilación del Sur’); > plot(soi, ylab=" ",xlab=" ",
> subplot(2,1,2);plot(rec(:,1),rec(:,2),’-’); main="Índice de Oscilación del Sur")
> xlabel(’Número de nuevos peces’); > plot(rec,ylab=" ",xlab=" ",
main="Número de nuevos peces")
4
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500
−1
−0.5
0
0.5
1
Indice de oscilación del sur
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500
0
20
40
60
80
100
Número de nuevos peces
Figura 2.5: SOI mensual y el estimado de número de nuevos peces, 1950-1987.
Ejemplo 2.1.6 Imágenes fMRI.
Imágenes fMRI (Functional magnetic resonance imaging). En este ejemplo, a cinco sujetos se les dieron
cepilladuras periódicas en las manos. El estı́mulo fue aplicado durante 32 segundos y luego detenido durante
32 segundos; ası́ el periodo de la señales 64 segundos. La serie mostrada en la figura 2.1.6 son las medidas
consecutivas de intensidad de la señal del nivel de oxigenación de la sangre (BOLD), que mide las áreas de
activación en el cerebro. Los datos están en el archivo fmri.dat que consiste en nueve columnas; la primera
columna representa el tiempo, mientras que las columnas dos a nueve representan las señales BOLD en ocho
ubicaciones. Las primeras 4 (columnas 2 a 5, Figura 2.1.6, parte superior) se ubican en la corteza, las otras
4 (columnas 6 a 9, Figura 2.1.6, parte inferior) en el tálamo y cerebelo.
en Matlab en R
> fmri=textread(’fmri.dat’); > fmri=read.table("fmri.dat")
> subplot(2,1,1); > par(mfrow=c(2,1),mar=c(5,4,3,2))
> plot(fmri(:,2:5,’-’)); > ts.plot(fmri[,2:5], lty=c(1,4),ylab=
> xlabel(’Corteza’);ylabel(’BOLD’); "BOLD", xlab="Corteza")
> subplot(2,1,2); > ts.plot(fmri[,6:9], lty=c(1,4), ylab=
> plot(fmri(:,6:9,’-’)); "BOLD", xlab="Tálamo y cerebelo")
> xlabel(’Tálamo y cerebelo’);ylabel(’BOLD’);
5
0 20 40 60 80 100 120 140
−1
−0.5
0
0.5
1
Corteza
BO
LD
0 20 40 60 80 100 120 140
−1
−0.5
0
0.5
1
Tálamo y Cerebelo
BO
LD
Figura 2.6: Datos fMRI en varias ubicaciones de la corteza, tálamo y cerebelo.
Ejemplo 2.1.7 Terremotos y Explosiones.
Las series en la figura representan dos fases denotadas por P(t = 1, . . . , 1024) y S(t = 1025, . . . , 2048)
en una estación sı́smica. Los datos se encuentran en el archivo eq5exp6.dat.
en Matlab en R
> x=textread(’eq5exp6.dat’); > x=matrix(scan("eq5exp6.dat"),ncol=12)
> subplot(2,1,1);plot(x(:,1,’-’)); > par(mfrow=c(2,1))
> xlabel(’Terremotos’); > plot.ts(x[,1], xlab="Terremotos")
> subplot(2,1,2); plot(x(:,2,’-’)); > plot.ts(x[,2], xlab="Explosiones"
> xlabel(’Explosiones’);
0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000
−1
−0.5
0
0.5
1
Terremoto
0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000
−1
−0.5
0
0.5
1
Explosión
Figura 2.7: Fáses de arribos en terremotos (parte superior) y explosiones (parte inferior) a 40 puntos
por segundo.
6
2.2. Modelos Estadı́sticos para Series de Tiempo
El objetivo primario en el análisis de Series de Tiempo es desarrollar modelos matemáticos
que provean una descripción apropiada para los datos muestrales, como los vistos en los ejem-
plos anteriores. Ası́, lo primero que hacemos es utilizar la definición 2.1.1, para tener un soporte
estadı́stico.
Definición 2.2.1 Un proceso estocástico es una familia de variables aleatorias indexadas x(ω, t) ó xt(ω)
donde t pertenece a un conjunto de ı́ndices T y ω pertenece a un espacio muestral Ω. Si t = t∗ fijo, x(ω, t∗)
es una variable aleatoria. Si ω = ω∗ fijo, x(ω∗, t) es una función de t, y se llama una realización del proceso.
Una serie de tiempo es la realización de un proceso estocástico.
Ejemplo 2.2.1 Ruido Blanco.
Una manera sencilla de generar series de tiempo puede ser considerando una sucesión de variables alea-
torias no-correlacionadas, wt con media 0 y varianza σ
2
w. Las series de tiempo generadas de esta manera
son usadas como modelos para ruido en aplicaciones de ingenierı́a, donde ellas son llamadas ruido blanco,
denotaremos este proceso como wt ∼ wn(0, σ2w). La designación blanco se origina de la analogı́a con luz
blanca e indica que todos los posibles perı́odos de oscilación están presente con igual intensidad.
También se requerirá que el ruido sea una colección de variables aleatorias iid con media 0 y varianza σ2w.
Distinguiremos este caso diciendo que es ruido blanco independiente o escribiendo wt ∼ iid(0, σ2w). Un muy
usado ruido blanco es el ruido blanco gaussiano, donde las wt son variables aleatorias normales con media 0
y varianza σ2w e identificadas como wt ∼ iidN(0, σ2w).
Ejemplo 2.2.2 Promedio móvil.
Podemos reemplazar las series de ruido blanco wt por un promedio móvil que suavice las series. Por
ejemplo, consideremos la serie en el ejemplo 2.2.1 y reemplacémosla por un promedio móvil como el promedio
del valor actual y los vecinos inmediatos anterior y posterior. Esto es
vt =
1
3
(wt−1 + wt + wt+1), (2.1)
la cual nos da una serie suavizada como se muestra en la figura 2.8. En la parte superior se observa un ruido
blanco gaussiano de 500 variables aleatorias generadas con σ2w = 1 y en la parte inferior el promedio móvil
de tres puntos para la misma serie.
Las instrucciones en Matlab y R para generar la serie de ruido blanco gaussiano y el promedio móvil son:
en Matlab en R
> W=normrnd(0,1,500,1); > w=rnorm(500,0,1)
> a=1; b=[1/3 1/3 1/3]; > v=filter(w,sides=2, rep(1/3,3))
> V=filter(b,a,W); > par(mfrow=c(2,1),mar=c(3,4,3,2))
> subplot(2,1,1);plot(W); > plot.ts(w,xlab=" ",xlab="Ruido Blanco")
> xlabel(’Ruido Blanco’); > plot.ts(v, ylim=c(-3,3),
> subplot(2,1,2);plot(V); xlab="Promedio móvil")
> xlabel(’Promedio móvil’);
7
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500
−4
−2
0
2
4
Ruido Blanco
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500
−2
−1
0
1
2
Promedio movil
Figura 2.8: Ruido blanco gaussiano (parte superior) y promedio móvil de 3 puntos (parte inferior).
Ejemplo 2.2.3 Autoregresión. Suponga que consideramos la serie de ruido blanco wt del ejemplo 2.2.1
como entrada y calculamos la salida usando la ecuación de segundo orden
xt = xt−1 − 0,90xt−2 + wt (2.2)
sucesivamente para t = 1, 2, . . . , 500. La ecuación (2.2) representa una regresión o predicción del valor ac-
tual de xt de una serie de tiempo como una función de los dos valores anteriores de la serie, y por consiguiente
se sugiere el término autoregresión para este modelo.
Las instrucciones en Matlab y R son las siguientes:
en Matlab en R
> W=normrnd(0,1,500,1); > w=rnorm(500,0,1)
> b=1; a=[1 -0.9]; > x=filter(w,filter=c(1,-9),
> X=filter(b,a,W); method="recursive")[-(1:50)]
> plot(X);xlabel(’t’);ylabel(’x’); > plot.ts(x, ylab="x",xlab="t")
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500
−6
−4
−2
0
2
4
6
t
x
Figura 2.9: Serie autoregresiva generada del modelo (2.2)
8
Ejemplo 2.2.4 Camino Aleatorio. Un modelo para analizar tendencias es el camino aleatorio con modelo
de tendencia dado por
xt = δ + xt−1 + wt (2.3)
para t = 1, 2, . . ., con condición inicial x0 = 0, y donde wt es un ruido blanco. La constante δ es llamada
tendencia, y cuando δ = 0, (2.3) es llamado simplemente camino aleatorio. El término camino aleatorio
viene del hecho de que cuando δ = 0 el valor de la serie de tiempo en tiempo t es el valor de la serie al tiempo
t − 1 más un movimiento completamente aleatorio determinado por wt. Podemos reescribir (2.3) como una
suma de variables de ruido blanco. Esto es,
xt = δt +
t
∑
j=1
wj (2.4)
para t = 1, 2, . . ., usando inducción o sustituyendo (2.4) en (2.3) se verifica la afirmación.
Las instrucciones en Matlab y en R para generar un camino aleatorio son:
en Matlab en R
> X2=cumsum(W); > set.seed(154)
> wd=W+0.2; > x=cumsum(w)
> Xd=cumsum(wd); > wd=w+0.2; xd=cumsum(wd)
> plot(Xd); > plot.ts(xd,ylim=c(-40,80))
> hold on > lines(x)
> plot(X2,’r’); > lines(0.2*(1:500),lty="dashed")
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500
−40
−20
0
20
40
60
80
Figura 2.10: Camino aleatorio, σw = 1, δ = 0,2, (linea azul superior), con δ = 0 (linea roja inferior)
Ejemplo 2.2.5 Señal con ruido. Muchos modelos reales para generación de series de tiempo asumen una
señal subyacente con alguna variación periódica consistente, contaminado por algún ruido aleatorio. Por
ejemplo, es fácil detectar el ciclo regular de la serie fMRI desplegada en la parte superior de la figura 2.1.6
del ejemplo 2.1.6. Considere el modelo
xt = 2 cos(2πt/50 + 0,6π) + wt (2.5)
para t = 1, 2, . . . , 500, donde el primer término es considerado como la señal, como se muestra en la parte
superior de la figura 2.11. Note que una onda senosoidal se puede escribir como
A cos(2πωt + φ) (2.6)
9
donde A es la amplitud, ω es la frecuencia de oscilación y φ es una fase de cambio. En (2.5) A = 2, ω = 1/50
y φ = 0,6π.
En la figura 2.11 añadimos un ruido a la señal senosoidal, en el gráfico delcentro un ruido blanco con
σw = 1 y en la parte inferior con σw = 5; ambos son ruidos blancos gaussianos.
Las instrucciones en Matlab y R para generar estas series son:
en Matlab en R
> C=2*cos(2*pi[1:500]/50+0.6*pi)’; > C=2*cos(2*pi*1:500/50 + 0.6*pi)
> W=normrnd(0,1,500,1); > W=rnorm(500,0,1)
> subplot(3,1,1);plot(C); > par(mfrow=c(3,1), mar=c(3,2,2,1),
> xlabel(’2cos(2�pi t/50+0.6�pi)’); cex.main=1.5)
> subplot(3,1,2);plot(C+W); > plot.ts(C,main=expression(2*cos(2*pi*t/50
> xlabel(’2cos(2�pi t/50+0.6�pi) +0.6*pi)))
+N(0,1)’); > plot.ts(C+W,main=expression(2*cos(2*pi*t/50
> subplot(3,1,3);plot(C+5*W); +0.6*pi)+N(0,1)))
> xlabel(’2cos(2�pi t/50+0.6�pi) > plot.ts(C+5*W,main=expression(2*cos(2*pi*t/50
+N(0,25)’); +0.6*pi)+N(0,25)))
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500
−2
0
2
2cos(2π t/50 + 0.6π)
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500
−4
−2
0
2
4
2cos(2π t/50 + 0.6π)+N(0,1)
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500
−20
0
20
2cos(2π t/50 + 0.6π)+N(0,25)
Figura 2.11: Onda del coseno con periodo 50 puntos (parte superior), onda del coseno con ruido
gaussiano σw = 1 (parte central), con σ = 5 (parte inferior), véase (2.5).
10
2.3. Medidas de Dependencia: Autocorrelación y Correlación Cruzada
Una descripción completa de una serie de tiempo, observada como una colección de n varia-
bles aleatorias en puntos de tiempo enteros arbitrarios t1, t2, . . . , tn, para cada entero positivo n, es
proporcionada por la función de distribución conjunta, evaluada como la probabilidad de que los
valores de la serie sean conjuntamente menor que n constantes c1, c2, . . . , cn, esto es
F(c1, c2, . . . , cn) = P(xt1 ≤ c1, xt2 ≤ c2, . . . , xtn ≤ cn). (2.7)
Desafortunadamente, la función de distribución multidimensional usualmente no se puede escri-
bir fácilmente a menos que las variables aleatorias tengan distribución normal conjunta, en cuyo
caso, la ecuación (2.7) llega a ser la distribución normal multivariada usual.
Un caso particular en la cual la función de distribución multidimensional es fácil de escribir,
será en el caso de variables aleatorias normal estándar independientes e idénticamente distribui-
das, para lo cual la función de distribución se puede expresar como el producto de las distribucio-
nes marginales, es decir,
F(c1, c2, . . . , cn) =
n
∏
t1
Φ(ct) (2.8)
donde
Φ(x) =
1√
2π
∫ x
−∞
exp
{
− z
2
2
}
dz (2.9)
es la función de distribución normal estándar acumulada.
Aunque la función de distribución multidimensional describa los datos completamente, esto es
un instrumento poco manejable para mostrar y analizar datos de series de tiempo. La función de
distribución (2.7) debe ser evaluada como una función de n argumentos, entonces cualquier gra-
ficación de las correspondientes funciones de densidad multivariante es prácticamente imposible.
La función de distribución unidimensional
Ft(x) = P{xt ≤ x}
o la correspondiente función de densidad unidimensional
ft(x) =
∂Ft(x)
∂x
,
cuando existen, a menudo son más útiles para determinar si una coordenada en particular de la
serie de tiempo tiene una función de densidad conocida, como la distribución normal (gaussiana),
por ejemplo.
Definición 2.3.1 La función de media es definida como
µxt = E(xt) =
∫ ∞
−∞
x ft(x)dx, (2.10)
en caso de que exista, donde E denota el operador usual de esperanza. Cuando no haya confusión sobre a que
serie de tiempo nos referimos, escribiremos µxt como µt.
Lo importante de comprender sobre µt consiste en que es una media teórica para la serie de
tiempo en un punto particular, donde la media se asume o calcula sobre todos los posibles eventos
que podrı́an haber producido xt.
11
Ejemplo 2.3.1 Función de media de una serie de promedio móvil. Si wt denota una serie de ruido
blanco, entonces µwt = E(wt) = 0 para todo t. La serie en la parte superior de la figura 2.8 del ejemplo 2.2.1
refleja esto. Suavizando la serie como en el ejemplo 2.2.2 no cambia la media porque podemos escribir
µwt = E(vt) =
1
3
[E(wt−1) + E(wt) + E(wt+1)] = 0
Ejemplo 2.3.2 Función de media de un camino aleatoria con tendencia.
Considere el modelo de camino aleatorio con tendencia dado en (??)
xt = δt +
t
∑
j=1
wj, t = 1, 2, . . .
Como en el ejemplo previo, dado que E(wt) = 0 para todo t, y δ es una constante, tenemos
µwt = E(xt) = δt +
t
∑
j=1
E(wj) = δt
lo cual es una lı́nea recta con pendiente δ.
Ejemplo 2.3.3 Función de media de una señal con ruido.
Muchas aplicaciones prácticas dependen de suponer que los datos observados han sido generados por
una señal fija ondulatoria superpuesta por un proceso de ruido de media cero, obteniéndose modelos de señal
aditivo como en (2.5). Esto es claro, ya que la señal en (2.5) es una función fija del tiempo, entonces tenemos
µxt = E(xt) = E[2 cos(2πt/50 + 0,6π) + wt]
= 2 cos(2πt/50 + 0,6π) + E(wt)
= 2 cos(2πt/50 + 0,6π)
y la función de media es exactamente la onda del coseno.
Definición 2.3.2 La función de autocovarianza es definida como producto del segundo momento
γx(s, t) = E[(xs − µs)(xt − µt)], (2.11)
para todo t y s. cuando no haya confusión en la existencia sobre a que serie nos referimos, escribiremos
γx(s, t) = γ(s, t).
Note que γx(s, t) = γx(t, s) para todo los puntos s y t. La función de autocovarianza mide la
dependencia lineal entre dos puntos de la misma serie en diferentes tiempos. La autocovarianza
(2.11) es el promedio de los productos cruzados relacionado con la densidad conjunta F(xs, xt). Es
claro que, para s = t, la autocovarianza se reduce a la varianza (en el caso finito), dado que
γx(t, t) = E[(xt − µt)2] (2.12)
Ejemplo 2.3.4 Autocovarianza de un ruido blanco. La serie de ruido blanco wt, mostrada en la parte
superior de la figura 2.11 del ejemplo 2.2.1, tiene E(wt) = 0 y
γw(s, t) = E(ws, wt) =
{
σ2w, s = t
0, s 6= t
donde, en este ejemplo, σ2w = 1. Note que ws y wt son no-correlacionados para s 6= t, por lo que se tiene
E(wswt) = E(ws)E(wt) = 0 porque los valores medios de las variables de ruido blanco son cero.
12
Ejemplo 2.3.5 Autocovarianza de un promedio móvil. Considere la aplicación de un promedio móvil
de tres puntos a la serie de ruido blanco wt del ejemplo anterior, como en el ejemplo 2.2.2 (σ
2
w = 1). Como vt
en (2.1) tiene media cero, tenemos
γv(s, t) = E[(vs − 0)(vt − 0)]
=
1
9
E[(ws−1 + ws + ws+1)(wt−1 + wt + wt+1)].
Es conveniente para calcular esta covarianza, considerar s − t = h, para h = 0 ± 1,±2, . . .. Por ejemplo,
para h = 0
γv(t, t) =
1
9
E[(wt−1 + wt + wt+1)(wt−1 + wt + wt+1)]
=
1
9
[E(wt−1wt−1) + E(wtwt) + E(wt+1wt+1)]
=
3
9
Cuando h = 1
γv(t + 1, t) =
1
9
E[(wt + wt+1 + wt+2)(wt−1 + wt + wt+1)]
=
1
9
[E(wtwt) + E(wt+1wt+1)]
=
2
9
usando el hecho de que podemos eliminar los términos con subı́ndices distintos. Cálculos similares dan
γv(t − 1, t) = 2/9, γv(t + 2, t) = γv(t − 2, t) = 1/9 y 0 para separación mayor a 2. Resumiendo se tiene
γv(s, t) =











3/9, s = t
2/9, |s − t| = 1
1/9, |s − t| = 2
0, |s − t| ≥ 3
(2.13)
Ejemplo 2.3.6 Autocovarianza de una camino aleatorio. Para el modelo de camino aleatorio, sx =
∑
t
j=1 wj, tenemos
γx(s, t) = cov(xs, xt) = cov
(
s
∑
j=1
wj
t
∑
k=1
wk
)
= mı́n{s, t}σ2w
porque las wt son variables aleatorias no-correlacionadas. Note que, a diferencia del ejemplo anterior, la
función de autocovarianza de un camino aleatorio depende de los valores particulares de s y t, y no de la
separación entre ellos. Note también, que la varianza de un camino aleatorio Var(xt) = γx(t, t) = tσ2w, se
incrementa sin acotación a medida que t crece.
Definición 2.3.3 La función de autocorrelación (ACF) se define como
ρ(s, t) =
γ(s, t)
√
γ(s, s)γ(t, t)
(2.14)
13
La ACF mide la predictibilidad lineal de una serie de tiempo en tiempo t, digamos xt usando
solo el valor xs. Es fácil de demostrar que −1 ≤ ρ(s, t) ≤ 1 usando la desigualdad de Cauchy-
Schwarz1. Si podemos predecir xt exactamente de xs a través de la relación lineal xt = β0+ β1xs
entonces la correlación será 1 cuando β1 > 0 y −1 cuando β1 < 0.
Definición 2.3.4 La función de covarianza cruzada entre dos series xt y yt se define como
γxy(s, t) = E[(xs − µxs)(yt − µyt)] (2.15)
Definición 2.3.5 La función de correlación cruzada (CCF) es definida como
ρxy(s, t) =
γxy(s, t)
√
γx(s, s)γy(t, t)
(2.16)
2.4. Series de Tiempo Estacionarias
Las definiciones anteriores de funciones de media y varianza son completamente generales.
Aunque nosotros no hayamos hecho ninguna suposición especial sobre el comportamiento de las
series de tiempo, muchos de los ejemplos precedentes han insinuado que puede existir una especie
de regularidad en el comportamiento de las mismas. Introducimos la noción de regularidad que
usa un concepto llamado estacionaridad, de donde se tiene que las series temporales se pueden
clasificar en:
1. Estacionarias. Una serie es estacionaria cuando es estable a lo largo del tiempo, es decir,
cuando la media y varianza son constantes en el tiempo. Esto se refleja gráficamente en que
los valores de la serie tienden a oscilar alrededor de una media constante y la variabilidad
con respecto a esa media también permanece constante en el tiempo.
2. No estacionarias. Son series en las cuales la tendencia y/o variabilidad cambian en el tiempo.
Los cambios en la media determinan una tendencia a crecer o decrecer a largo plazo, por lo
que la serie no oscila alrededor de un valor constante.
Definición 2.4.1 Una serie de tiempo estrictamente estacionaria es una serie para la cual el comporta-
miento probabilı́stico de cada sucesión de valores
{xt1 , xt2 , . . . , xtk}
es idéntico a la serie trasladada en el tiempo
{xt1+h, xt2+h, . . . , xtk+h}
Esto es,
P{xt1 ≤ c1, . . . , xtk ≤ ck} = P{xt1+h ≤ c1, . . . , xtk+h ≤ ck} (2.17)
para todo k = 1, 2, . . ., todo puntos de tiempos t1, t2, . . . , tk y números c1, c2, . . . , ck y todo salto h =
0,±1,±2, . . ..
1Note que la desigualdad de Cauchy-Schwartz implica |γ(s, t)|2 ≤ γ(s, s)γ(t, t).
14
Observaciones:
1. Si una serie de tiempo es estrictamente estacionaria, entonces todos las funciones de distri-
bución multivariadas para subconjuntos de variables deben coincidir con sus contrapartes
en el conjunto trasladado, para todos los valores del parámetro h. Por ejemplo para k = 1 La
ecuación (2.17) implica que
P{xs ≤ c} = P{xt ≤ c} (2.18)
para cada puntos s y t.
Esta declaración implica, por ejemplo, que si la probabilidad de un valor de una serie de
tiempo muestreada cada hora es negativa a la 1:00a.m, la probabilidad a la 10:00a.m. es la
misma. Además, si la función de media, µt de la serie xt existe, (2.18) implica que µs = µt
para todo s y t, y por consiguiente µt debe ser constante. Note, que un proceso de camino
aleatorio con tendencia no es estrictamente estacionario porque la función de media cambia
con el tiempo (véase el ejemplo ??).
2. Cuando k = 2, podemos escribir la ecuación (2.17) como
P{xs ≤ c1, xt ≤ c2} = P{xs+h ≤ c1, xt+h ≤ c2} (2.19)
para cada par de puntos s y t y salto h. Entonces, si la función de varianza del proceso existe,
(2.19) implica que la función de autocovarianza de la serie xt satisface γ(s, t) = γ(s+ h, t+ h)
para todos s y t y salto h.
Podemos interpretar este resultado diciendo que la función de autocovarianza del proceso
depende sólo de las diferencias de tiempo entre s y t, y no del tiempo actual.
Esta versión de estacionaridad en (2.17) es muy fuerte para la mayorı́a de aplicaciones. Más
aún, es difı́cil conseguir estricta estacionaridad en un conjunto sencillo de datos. En vez de imponer
condiciones sobre todas las posibles distribuciones de una serie de tiempo, usaremos una versión
más suave que imponga condiciones solo sobre los dos primeros momentos de la serie. Tenemos
por lo tanto la siguiente definición
Definición 2.4.2 Una serie de tiempo débilmente estacionaria xt, es un proceso de varianza finita tal
que
1. la función de media µt, definida en (2.10) es constante y no depende del tiempo t, y
2. la función de covarianza, γ(s, t), definida en (2.11) depende solo de las diferencias de s y t, |s − t|.
Por consiguiente, usaremos el término estacionaridad para referirnos a estacionaridad débil; si un proceso
es estacionario en el sentido estricto usaremos el término estrictamente estacionario.
Es claro de la definición 2.4.1 de estrictamente estacionario que una serie de tiempo estricta-
mente estacionaria con varianza finita, también es una serie estacionaria. El recı́proco no es cierto
a menos que impongamos condiciones adicionales. Un importante caso donde estacionaridad im-
plica estricta estacionaridad es el caso de series de tiempo gaussianas.
Ya que la función de media E(xt) = µt de una serie de tiempo estacionaria es independiente
del tiempo t, escribimos
µt = µ (2.20)
15
Debido a que la función de covarianza de una serie de tiempo estacionaria, γ(s, t) en tiempos
s y t depende sólo de la diferencia |s − t|, podemos simplificar la notación. Sea s = t + h, donde h
representa el tiempo de traslación o salto, entonces
γ(s, t) = E[(xt+h − µ)(xt − µ)] (2.21)
= E[(xh − µ)(x0 − µ)]
= γ(h, 0)
no depende del argumento de tiempo t; asumiendo que Var(xt) = γ(0, 0) < ∞. De ahora en
adelante, por conveniencia, prescindiremos del segundo argumento de γ(h, 0), es decir, la función
de covarianza se denotará γ(h).
Definición 2.4.3 La función de autocovarianza de una serie de tiempo estacionaria se escribirá co-
mo
γ(h) = E[(xt+h − µ)(xt − µ)] (2.22)
Definición 2.4.4 La función de autocorrelación (ACF) de una serie de tiempo estacionaria será es-
crita, usando (2.14) como
ρ(h) =
γ(t + h, t)
√
γ(t + h, t + h)γ(t, t)
=
γ(h)
γ(0)
(2.23)
La desigualdad de Cauchy-Schwartz muestra nuevamente que −1 ≤ ρ(h) ≤ 1 para todo h.
Ejemplo 2.4.1 Estacionaridad de un ruido blanco. La función de autocovarianza de un ruido blanco
de los Ejemplos 2.2.1 y 2.2.2 es fácil de evaluar como
γw(h) = E(wt+hwt) =
{
σ2w, h = 0
0, h 6= 0
donde, en este ejemplo σ2w = 1. Esto significa que la serie es débilmente estacionaria o estacionaria. Si las va-
riables de ruido blanco también son normalmente distribuidas o gaussianas, la serie es también estrictamente
estacionaria, como se puede ver evaluando (2.17) usando la relación (2.8).
Ejemplo 2.4.2 Estacionaridad de un promedio móvil. El proceso de promedio móvil de tres puntos
usado en los Ejemplos 2.2.2 y 2.3.5 es estacionario ya que podemos escribir la función de autocovarianza
obtenida en (2.13) como
γv(h) =











3/9, h = 0
2/9, h = ±1
1/9, h = ±2
0, |h| ≥ 3
La Figura 2.12 muestra una gráfica de la función de autocovarianza como una función de salto h.
16
−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
Figura 2.12: Función de autocovarianza de un promedio móvil de tres puntos
Propiedades:
1. Para el valor en h = 0, la función de autocovarianza
γ(0) = E[(xt − µ)2] (2.24)
es la varianza de la serie de tiempo; note que la desigualdad de Cauchy-Schwartz implica
que |γ(h)| ≤ γ(0).
2. La autocovarianza de una serie estacionaria es simétrica respecto al origen, esto es
γ(h) = γ(−h) (2.25)
para todo h.
Esta propiedad se debe a que trasladar la serie por h significa que
γ(h) = γ(t + h − t)
= E[(xt+h − µ)(xt − µ)]
= E[(xt − µ)(xt+h − µ)]
= γ(t − (t + h))
= γ(−h)
lo cual muestra como usar la notación para demostrar el resultado.
Definición 2.4.5 Dos series de tiempo xt y xs se dice que son conjuntamente estacionarias si cada una
de ellas es estacionaria y la función de correlación cruzada
γxy(h) = E[(xt+h − µx)(yt − µy)] (2.26)
es una función sólo del salto h.
Definición 2.4.6 La función de correlación cruzada (CCF) de dos series conjuntamente estacionarias
xt y yt se define como
ρxy(h) =
γxy(h)
√
γx(0)γy(0)
(2.27)
17
De nuevo, tenemos el resultado −1 ≤ ρxy(h) ≤ 1 lo cual nos permite comparar los valores
extremos -1 y 1 cuando vemos la relación entre xt+h y yt. La función de correlacióncruzada satisface
ρxy(h) = ρyx(−h) (2.28)
lo cual se puede demostrar de manera similar que para (2.25).
Ejemplo 2.4.3 Estacionaridad conjunta. Considere las series xt y yt formadas por las sumas y diferencias
de dos valores sucesivos de un ruido blanco respectivamente, esto es
xt = wt + wt−1
y
yt = wt − wt−1
donde wt son variables aleatorias independientes con media cero y varianza σ
2
w. Es fácil demostrar que
γx(0) = γy(0) = 2σ2w y γx(1) = γx(−1) = σ2w, γy(1) = γy(−1) = −σ2w. También
γxy(1) = E[(xt+1 − 0)(yt − 0)]
= E[(wt+1 + wt)(wt − wt−1)]
= σ2w
porque solo uno de los productos es distinto de cero.
Similarmente, γxy(0) = 0, γxy(−1) = −σ2w. Usando (2.27), obtenemos
ρxy(h) =











0, h = 0
1/2, h = 1
−1/2, h = −1
0, |h| ≥ 2
.
Claramente, las funciones de autocovarianza y correlación cruzada dependen solo del salto h, por lo tanto las
series son conjuntamente estacionarias.
El concepto de estacionaridad débil forma la base para muchos de los análisis realizados con
series de tiempo. Las propiedades fundamentales de la media (2.20) y la función de covarianza
(2.22) son satisfechas por muchos modelos teóricos que aparecen para generar realizaciones mues-
trales apropiadas. En los ejemplos 2.2.2 y 2.2.3, las dos series fueron generadas de forma que fuesen
realizaciones estacionarias, y en el ejemplo 2.4.2 demostramos que la serie en el ejemplo 2.2.2 fue
de hecho, débilmente estacionaria. Ambos ejemplos son casos especiales de los llamados procesos
lineales.
Definición 2.4.7 Un proceso lineal xt se define como una combinación lineal de variables aleatorias de
ruido blanco wt, y está dado por
xt = µ +
∞
∑
j=−∞
ψjwt−j (2.29)
donde los coeficientes satisfacen
∞
∑
j=−∞
|ψj| < ∞ (2.30)
18
Para un proceso lineal, podemos demostrar que la función de autocovarianza está dada por
γ(h) = σ2w
∞
∑
j=−∞
ψj+hψj (2.31)
para todo h ≥ 0; recuerde que γ(−h) = γ(h). Finalmente como mencionamos anteriormente, un
caso importante en el cual una serie débilmente estacionaria es también estrictamente estacionaria
es la serie normal o gaussiana.
Definición 2.4.8 Un proceso {xt}, se dice que es un proceso gaussiano si el k-ésimo vector dimensional
x̂ = (xt1 , xt2 , . . . , xtk)
′, para cada conjunto de puntos t1, t2, . . . , tk y cada entero positivo k tiene distribución
normal multivariada.
Definiendo k× 1 vector de medias µ̂ = (µt1 , µt2 , . . . , µtk)′ y la k× k matriz de covarianza positiva
como Γ = {γ(ti, tj); i, j = 1, . . . , k}, la función de densidad normal multivariada se puede escribir
como
f (x̂) = (2π)−k/2|Γ|−1/2 exp
{
−1
2
(x̂ − µ̂)′Γ−1(x̂ − µ̂)
}
(2.32)
donde | · | denota el determinante. Esta distribución forma la base para resolver problemas que
envuelven inferencia estadı́stica para series de tiempo. Si una serie de tiempo gaussiana {xt} es
débilmente estacionaria, entonces µt = µ y γ(ti, tj) = γ(|ti − tj|), de modo que el vector µ̂ y la
matriz Γ son independientes del tiempo. Este hecho implica que todas las distribuciones finitas,
(2.32) de la serie {xt} dependen sólo del salto de tiempo y no del tiempo actual, y por consiguiente
la serie debe ser estrictamente estacionaria.
2.5. Estimación de Correlación
Aunque las funciones teóricas de autocorrelación y correlación cruzada son muy útiles para
describir las propiedades de ciertos modelos hipotéticos, la mayorı́a de los análisis se realizan
usando datos muestrales. Esta limitación significa que los puntos muestrales x1, x2, . . . , xn, sólo
nos permite estimar las funciones de media, autocovarianza y correlación. Desde el punto de vista
de la estadı́stica clásica esto plantea un problema porque no tenemos copias iid de xt que sean o
estén disponibles para estimar las funciones de covarianza y correlación.
Definición 2.5.1 Sea x1, x2, . . . , xn una muestra de una serie de tiempo. La media muestral de x1, x2, . . . , xn
es
x̄ =
1
n
n
∑
t=1
xt (2.33)
La función de autocovarianza muestral se define como
γ̂(h) = n−1
n−h
∑
t=1
(xt+h − x̄)(xt − x̄) (2.34)
con γ̂(−h) = γ̂(h) para h = 0, 1, . . . , n − 1.
La función de autocorrelación muestral se define como
ρ̂(h) =
γ̂(h)
γ̂(0)
(2.35)
19
La suma en (2.34) está restringida hasta n − h porque xt+h no toma valores para t + h > n. En
el estimador (2.34) a veces se prefiere dividir por n − h porque (2.34) es una función no-negativa
definida. La no-negatividad de la función de autocovarianza γ(h) es una propiedad importante
porque nos asegura que la varianza de combinaciones lineales de valores de la serie de tiempo
nunca serán negativa y la estimación en (2.34) conserva las propiedades.
Propiedad 1. Distribución de la ACF para muestras grandes
Bajo ciertas condiciones generales,2 si xt es un ruido blanco, entonces para n grande, la ACF muestral
ρ̂x(h) para h = 1, 2, . . . , H, donde H es un valor fijo arbitrario, es aproximadamente normal distribuida con
media cero y desviación estándar dada por
σρ̂(h) =
1√
n
(2.36)
Basándonos en el resultado anterior, podemos obtener un método basto de evaluación de si los
picos en ρ̂(h) son significativos, por medio de determinar si los picos observados están fuera del
intervalo ±2/√n (o más o menos dos veces el error estándar); para un sucesión de ruido blanco
aproximadamente el 95 % de la ACF muestral debe estar entre estos lı́mites.
Definición 2.5.2 El estimador para la función de covarianza cruzada γxy(h) es la función de covarianza
cruzada muestral definida como
γ̂xy(h) = n
−1
n−h
∑
t=1
(xt+h − x̄)(yt − ȳ) (2.37)
donde γ̂xy(−h) = γ̂yx(h) determina la función para saltos negativos, y la función de correlación cruza-
da muestral es
ρ̂xy(h) =
γ̂xy(h)
√
γ̂x(0)γ̂y(0)
(2.38)
Propiedad 2. Distribución de la correlación cruzada para muestras grandes con independencia
La distribución de ρ̂xy(h) para muestras grandes es normal con media cero y
σρ̂xy =
1√
n
(2.39)
si al menos uno de los procesos es un ruido blanco independiente. Véase [9] (2006), p.521
Ejemplo 2.5.1 Serie de tiempo simulada. Considere el conjunto de datos obtenidos al realizar n lanza-
mientos de una moneda bien balanceada, haciendo xt = 1 si cae cara y xt = −1 si cae sello. Construyamos
yt como
yt = 5 + xt − 0,7xt−1 (2.40)
En la tabla siguiente se muestra una realización del proceso con x0 = −1 y n = 10.
2Las condiciones generales son que xt es iid con cuarto momento finito. Una condición suficiente para que esto valga
es que xt sea un ruido blanco gaussiano.
20
t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Moneda C C S C S S S C S C
xt 1 1 -1 1 -1 -1 -1 1 -1 1
yt 6.7 5.3 3.3 6.7 3.3 4.7 4.7 6.7 3.3 6.7
yt − ȳ 1.56 0.16 -1.84 1.56 -1.84 -0.44 -0.44 1.56 -1.84 1.56
Podemos calcular la correlación muestral de la serie yt usando (2.34) y (2.35) para h = 0, 1, 2, . . .. Por
ejemplo para h = 3, la autocorrelación es
γ̂y(3) = 10
−1
7
∑
t=1
(yt+3 − ȳ)(yt − ȳ)
= 10−1 [(1,56)(1,56) + (−1,84)(0,16) + (−0,44)(−1,84)
+(−0,44)(1,56) + (1,56)(−1,84) + (−1,84)(−0,44)
+ (1,56)(−0,44)]
= −0,04848
para
γ̂y(0) =
1
10
[(1,56)2 + (0,16)62 + · · ·+ (1,56)2] = 2,0304
de modo que
ρ̂y(3) =
−0,04848
2,0304
= −0,02388.
La ACF teórica se puede obtener del modelo (2.40) usando el hecho de que la media de xt es cero y la varianza
de xt es uno. Se puede demostrar que
ρy(1) =
−0,7
1 + 0,72
= −0,47
y ρy(h) = 0 para |h| > 1. La Tabla siguiente compara la ACF teórica con la ACF muestral para dos
realizaciones una con n = 10 y otra con n = 100.
h ρy(h) ρ̂y(h) ρ̂y(h)
n = 10 n = 100
0 1.00 1.00 1.00
±1 -0.47 -0.55 -0.45
±2 0.00 0.17 -0.12
±3 0.00 -0.02 0.14
±4 0.00 0.15 0.01
±5 0.00 -0.46 -0.01
Ejemplo 2.5.2 ACF de una señal de habla. Consideremos el archivo speech.dat, y calculemos la ACF,
las instrucciones en Matlab y en R son:
en Matlab en R
> speech=textread(’speech.txt’); > speech=scan("speech.txt")
> autocorr(speech,250,2); > acf(speech,250)
21
0 50 100 150 200 250
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Lag
S
a
m
p
le
 A
u
to
c
o
rr
e
la
ti
o
n
SampleAutocorrelation Function (ACF)
Figura 2.13: ACF de la serie de habla
Ejemplo 2.5.3 Análisis de Correlación de las datos SOI y reclutamiento. Considere los datos SOI
(soi.dat) y reclutamiento o cantidad de nuevos peces (recruit.dat) vistos en el Ejemplo 2.1.5. Vamos a
calcular las funciones de autocorrelación y correlación cruzada usando Matlab.
Las instrucciones en Matlab y R son las siguientes:
en Matlab en R
> soi=textread(’soi.txt’); > soi=scan("soi.dat")
> recruit=textread(’recruit.txt’); > rec=scan("recruit.dat")
> subplot(3,1,1);autocorr(soi,50,2); > par(mfrow=c(3,1))
> subplot(3,1,2);autocorr(recruit,50,2); > acf(soi, 50)
> subplot(3,1,3);crosscorr(soi,recruit,50); > acf(rec, 50)
> ccf(soi, rec, 50)
En la figura se muestran las ACF y la CCF en la parte superior la ACF para soi en la parte central
la ACF para recruit y en la parte inferior la CCF para ambas series. Ambas ACF exhiben periodicida-
des correspondientes a las correlaciones entre valores separados por 12 unidades. Las observaciones de doce
meses o un año son fuertemente correlacionadas positivas, ası́ como en múltiplos tales como 24, 36, 48, ...
Observaciones separadas por seis meses son correlacionadas negativas.
22
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
−0.5
0
0.5
1
Lag
S
a
m
p
le
 A
u
to
c
o
r
r
e
la
ti
o
n
Sample Autocorrelation Function (ACF)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
−0.5
0
0.5
1
Lag
S
a
m
p
le
 A
u
to
c
o
r
r
e
la
ti
o
n
Sample Autocorrelation Function (ACF)
−50 −40 −30 −20 −10 0 10 20 30 40 50
−1
−0.5
0
0.5
Lag
S
a
m
p
le
 C
r
o
s
s
 C
o
r
r
e
la
ti
o
n
Sample Cross Correlation Function (XCF)
Figura 2.14: ACF muestral de la serie SOI (parte superior), en reclutamiento (parte central) y la
CCF de las dos series (parte inferior)
23
24
Bibliografı́a
[1] Bloomfield, Peter. (2000) Fourier Analysis of Time Series. 2nd Edition. John-Wiley & Sons, Inc.
New Yor. USA.
[2] Brockwell, P.J., & Davis, R.A., (1996).Introduction to Time Series and Forecasting. Springer-Verlag,
New York Inc, New York.
[3] Brockwell, P.J., & Davis, R.A., (2006) Time Series: Theory and Methods. 2nd edition. Springer-
Verlag, New York Inc, New York.
[4] Correa M., Juan C. & González, Nelfi. (2002) Introducción al R. Universidad Nacional - Sede
Medellı́n, Colombia.
[5] González, Andres & González, Silvia (2002) Introducción a R. R Development Core Team.
[6] Johnson, D.E., (2000) Métodos Multivariados Aplicados al Análisis de Datos. International Thom-
son Editores..
[7] López C., (2006) Cálculo de Probabilidades e Inferencia Estadı́stica. Publicaciones UCAB.
[8] Pérez, Cesar. (2002) Matlab y sus Aplicaciones en las Ciencias y la Ingenierı́a. Prentice Hall, Ma-
drid, España.
[9] Shumway, R.H & Stoffer, D.S. (2006) Time Series Analysis and Its Applications with R examples.
2nd edition. Springer.
[10] Warner, Rebecca M. (1998) Spectral Analysis of Time-Series Data. The Guilford Press. New York.
USA
25