¿Cuál es el equivalente a las ecuaciones de Maxwell en la electrodinámica cuántica?

Esta es muy buena pregunta, porque curiosamente casi cualquier curso de electrodinámica cuántica (QED) pasa por encima de la cuestión. Cuando leí la pregunta me di cuenta que jamás me había planteado la cuestión. Para empezar en teoría cuántica de campos el campo eléctrico no es un una función que tenga un valor definido en todo el espacio, sino más bien un operador hermítico que aplicado a un “estado del espacio-tiempo” permite relacionar el campo eléctrico medido en ese estado (dado por una distribución de cargas) con los autovalores del operador.

Lo más sencillo para ver la forma de dichas ecuaciones sería considerar el vacío (una región sin cargas) y ver cómo evolucionan sobre él los valores promedios del campo eléctrico y magnético del vacío. En principio deberían obtenerse algo similar a las ecuaciones de Maxwell en el vacío y si en esas ecuaciones se practica el límite ℏ→0ℏ→0 se obtendrían las ecuaciones de Maxwell. El problema es que en ningún lugar he visto esas ecuaciones nominalmente, las ecuaciones de campo libre (si un fotón de alta energía jamás creara por accidente un par electrón-positrón) son idénticas a las ecuaciones de Maxwell, el lagrangiano del la QED viene dado por:

L=ψ¯(iγμDμ−m)ψ−14FμνFμνL=ψ¯(iγμDμ−m)ψ−14FμνFμν

donde ψψ representa el campo fermiónico (usualmente electrones) y FμνFμν representa el campo electromagnético, las ecuaciones clásicas de Euler-Lagrange aplicadas a este lagrangiano llevan a que:

∂μ(∂L∂(∂μψ))−∂L∂ψ=0⇒iγμ∂μψ−mψ=eγμ(Aμ)ψ∂μ(∂L∂(∂μψ))−∂L∂ψ=0⇒iγμ∂μψ−mψ=eγμ(Aμ)ψ

Esta ecuación es el equivalente de la fuerza de Lorentz. Para las ecuaciones de campo, que son las equivalentes de las ecuaciones de Maxwell inhomogéneas se tiene que:

∂ν(∂L∂(∂νAμ))−∂L∂Aμ=0⇒∂L∂Aμ=−eψ¯γμψ∂ν(∂L∂(∂νAμ))−∂L∂Aμ=0⇒∂L∂Aμ=−eψ¯γμψ

En ambas ecuaciones si consideramos la densidad de corriente dada por Jμ=eψ¯γμψJμ=eψ¯γμψ resultan idénticas a las ecuaciones clásicas. El problema es que la teoría cuántica no permite en sí escribir ecuaciones como tales, las ecuaciones anteriores representan el primer término perturbativo, y una vez escritas esas ecuaciones uno debe hacer un cálculo perturbativo (que matemáticamente ha recibido muchas críticas y requiere además renormalización) para examinar el efecto en ciertas situaciones reales. En mi opinión eso es en cierto modo una chapuza, pero es la manera como se trabaja en teoría cuántica de campos, y realmente no existe una ecuación determinista, ya que de hecho la teoría cuántica sólo predice resultados probabilistas nunca resultados deterministas. No es sencillo derivar ecuaciones exactas para las distribuciones de probabilidad asociadas.