Se lanza una moneda de radio r a un piso que tiene forma cuadrada de lado l, ¿cuál es la probabilidad de que la moneda caiga en 4 ladrillos?

Antes de empezar, debemos aclarar varios puntos del enunciado:

• Tenemos un cuadrado de lado l embaldosado con N x N baldosas
• La moneda tiene un radio r≤l2Nr≤l2N, es decir: inferior o igual a la mitad del lado de 1 baldosa.
• El embaldosado está sobre un suelo infinito (no hay paredes) para asegurar que todos los puntos son equi-probables.

El enunciado, bajo estos parámetros, podría ser "Si lanza una moneda y ésta acaba apoyada total o parcialmente sobre el embaldosado ¿qué probabilidad tiene de que se apoye sobre 4 baldosas?"

Para apoyarse sobre 4 baldosas, la moneda debe tapar la esquina que une a las 4 baldosas. Esto sucederá cuando el centro de la moneda esté a una distancia de esa esquina inferior o igual al radio de la moneda.

Dado que el número de cruces entre 4 baldosas será (N-1)², el área total en el que al ubicar el centro de la moneda está tapará un cruce será Ac=(N−1)2πr2Ac=(N−1)2πr2

Ahora debemos delimitar el área total del experimento: Serán todos los puntos donde al caer el centro de la moneda, esta moneda se apoye total o parcialmente sobre el embaldosado:

• Area del embaldosado
• Margen alrededor del embaldosado se grosor r

Esto sería At=l2+4lr+πr2At=l2+4lr+πr2

• Los casos favorables es el área que al ser ocupada por el centro de la moneda cause que se apoye en 4 baldosas
• Los casos totales es el área que al ser ocupada por el centro de la moneda cause que se apoye total o parcialmente sobre el embaldosado

P=AcAt=(N−1)2πr2l2+4lr+πr2P=AcAt=(N−1)2πr2l2+4lr+πr2

Escenario 2: ¿Qué sucedería si el área embaldosada estuviese delimintada por una pared?

El problema principal sería que no todos los puntos del embaldosado donde se puede situar el centro de la moneda tendrían la misma probabilidad, ya que las zonas centrales acumularían más densidad de aciertos (las monedas rebotan en la pared alejándose de los bordes).

Si "obviamos" ese problemilla y seguimos considerando equi-probable todo el embaldosado, el área total a considerar cambiaría:

• + área del embaldosado
• - la franja que nunca podría ocupar el centro de la moneda

P=AcAt=(N−1)2πr2l2−4lr+4r2P=AcAt=(N−1)2πr2l2−4lr+4r2

Escenario 3: ¿Qué sucedería si el embaldosado fuese infinito y cada baldosa midiese L de lado?

El centro de la moneda caerá siempre dentro de una baldosa. Si además está a una distancia de cualquiera de las 4 esquinas menor o igual a su radio, estará apoyándose en 4 baldosas.

Esto define 4 zonas de área πr24πr24que al sumarse dan

Ac=4πr24=πr2Ac=4πr24=πr2

Dado que la superficie de la baldosa es l² la probabilidad de que al caer sobre 1 baldosa cualquiera la moneda esté pisando una de sus 4 esquinas será

P=AcAt=πr2l2P=AcAt=πr2l2

Nota: Originalmente solo estaba solucionando el tercer escenario, pero a raíz de los comentarios de y he ampliado la solución a varios escenarios posibles