Dada una distribución normal con µ = 50 y σ = 4, ¿cuál es la probabilidad de que X > 43?

Aquí se esta resolviendo un problema de tipo directo:

Voy a dividir la solución de este problema en tres partes:

I Introducción. Ver: A manera de introducción en la siguiente pregunta:

II Presentación de las Tablas:

Se tienen las siguientes tablas, para la resolución del problema:

Tablas tipo 1: Las que muestran el valor:

F(z)=12π−−√∫z0e−x22dxF(z)=12π∫0ze−x22dx

En términos de probabilidad. P(0<z≤Z)P(0

En este caso la tabla empieza desde z = 0 que corresponde a un área cero, a medida que la variable 'z' se desplaza hacia la derecha por el eje de las abscisas el área se va incrementando desde cero hasta tender en forma asindótica al valor 0.5, porque en esta tabla solamente nos da el área de la mitad derecha de la distribución de Gauss.

Tabla de distribución normal estandarizada (tabla z) | Matemóvil

https://matemovil.com/wp-content/uploads/2018/06/Tabla-z-distribuci%C3%B3n-normal-estandarizada-MateMovil.pdf

Tablas tipo 2: Las que muestran el valor.

F(z)=12π−−√∫z−∞e−x22dxF(z)=12π∫−∞ze−x22dx

En términos de probabilidad.P(−∞<z≤Z)P(−∞

A veces esto se escribe en forma abreviada como: P(z≤Z)P(z≤Z)

Va desde -∞∞ hasta z

La probabilidad que nos muestra la tabla es P(−∞<z≤Z)P(−∞ . Empezando como primer valor z = 0, al que le corresponde una probabilidad de 0.5. Es decir el área por debajo de la mitad izquierda de la gráfica y a medida que se mueve la variable 'z' en el eje de las abscisas el área se irá incrementando hasta tender en forma asindótica a 1.

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Tablas tipo 3: Las que muestran el valor

F(z)=12π−−√∫∞ze−x22dxF(z)=12π∫z∞e−x22dx

En términos de probabilidad. P(Z≤z<∞)P(Z≤z<∞)

A veces esto se escribe como:P(z≥Z)P(z≥Z)

Solamente nos da el área de la cola. Es decir muestran la probabilidad de la cola de la gráfica. En donde para el valor z = 0 nos da el valor de 0.5. Es decir el área de la mitad derecha de la gráfica y va disminuyendo de manera asindótica a cero a medida que la variable 'z' avanza hacia la derecha en el eje de las abscisas. En esta página se muestra una tabla de este tipo:

http://halweb.uc3m.es/esp/Personal/personas/amalonso/esp/Tablas.pdf

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Se define la variable normalizada:

z=x−μσz=x−μσ

Z=a−μσZ=a−μσ

En este caso a = 43

De acuerdo a eso entonces Z = -1.75

Nos piden: P(z≥−1.75)P(z≥−1.75) ó P(−1.75≤z≤∞)P(−1.75≤z≤∞)

1 Usando las tablas del tipo 1. P(0<z≤Z)P(0

Muestran el valor de la frecuencia acumulada desde 0 hasta un valor Z

Buscando: Z = 1.75

De acuerdo a las tablas le corresponde un área de 0.4599 en el caso de z positivo.

Por ser la curva simétrica con respecto al eje 'y', se cumple:

P(0<z≤Z)P(0 = P(−Z≤z<0)P(−Z≤z<0) =0.4599

En este caso Z es negativo. Z = -1.75

P(−1.75≤z<0)P(−1.75≤z<0) = 0.4599

Por lo tanto hay que sumar el área de la mitad derecha de la curva de la distribución de Gauss que es 0.5

P(−1.75≤z<∞)P(−1.75≤z<∞) = 0.9599

P(z≥−1.75)P(z≥−1.75) = 0.9599

La respuesta es: P(x≥43)P(x≥43) = 0.9599

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2 Usando las tablas del tipo 2. P(−∞<z≤Z)P(−∞

Muestran la frecuencia acumulada desde -∞∞ hasta un valor Z

Buscando: z = 1.75

De acuerdo a las tablas le corresponde un área de 0.95994 en el caso de z positivo.

Por ser la curva simétrica con respecto al eje 'y', se cumple:

P(−∞<z≤Z)P(−∞ = P(−Z≤z<∞)P(−Z≤z<∞) =0.9599

En este caso Z es negativo. Z = -1.75

P(−1.75≤z<∞)P(−1.75≤z<∞) = 0.9599

P(z≥−1.75)P(z≥−1.75) = 0.9599

La respuesta es: P(x≥43)P(x≥43) = 0.9599

En esta tabla buscamos el dato tal cual como resulta el cálculo de la variable normalizada, pero con signo cambiado.

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3 Usando las tablas del tipo 3. P(Z≤z<∞)P(Z≤z<∞)

Muestran la frecuencia acumulada desde un valor Z hasta ∞∞ , es decir muestran el área de la cola derecha de la gráfica de la distribución de Gauss.

Buscando: z = 1.75

De acuerdo a las tablas le corresponde un área de 0.0401 en el caso de z positivo.

Por ser la curva simétrica con respecto al eje 'y', se cumple:

P(−∞<z≤−Z)P(−∞= P(Z≤z<∞)P(Z≤z<∞) =0.0401

En este caso Z es negativo. Z = -1.75

Entonces se tiene:

P(−∞<z≤−1.75)P(−∞ = P(z≤−1.75)P(z≤−1.75) = 0.0401

Pero en este problema se necesita: P(−1.75≤z)P(−1.75≤z) = P(z≥−1.75)P(z≥−1.75)

Es decir lo que le falta al área de la cola izquierda, para ser igual al área completa de la curva. En este caso:

P(z≥−1.75)P(z≥−1.75) = 0.9599

Es decir: P(x≥43)P(x≥43) = 0.9599

De manera opcional.

Si no se quiere trabajar con tablas, entonces debe ser capaz de implementar su algoritmo, basado en series o alguna fórmula recursiva. Por ejemplo, aquí se ha implementado un algoritmo basado en la forma en como se muestran los datos como en la primera tabla. Es decir.

Se muestra, los resultados de 0.05 en 0.05 desde 1 hasta 2.2. Los datos son los siguientes.

La primera columna de datos, muestra el valor de la integral:

I=∫z0e−x22dxI=∫0ze−x22dx

La segunda columna de datos muestra el valor de la integral multiplicada por el factor: 1/2π−−√1/2π

Es decir:

I=12π−−√∫z0e−x22dxI=12π∫0ze−x22dx

Los datos que muestra la segunda columna de datos son: P(0<z≤Z)P(0. Entonces, se busca el dato correspondiente al valor Z = 1.75 en esa columna.

El valor correspondiente para Z = 1.75 redondeando a 5 decimales es 0.45994

Por ser la curva simétrica con respecto al eje 'y', se cumple:

P(0<z≤Z)P(0 = P(−Z≤z<0)P(−Z≤z<0) =0.45994

En este caso Z es negativo. Z = -1.75

P(−1.75≤z<0)P(−1.75≤z<0) = 0.45994

En este problema nos piden: P(z≥−1.75)P(z≥−1.75)

Es decir: P(−1.75≤z<0)+P(0<z<∞)P(−1.75≤z<0)+P(0

Por lo tanto hay que sumar el área de la mitad derecha de la curva de la distribución de Gauss que es 0.5

P(−1.75≤z<∞)P(−1.75≤z<∞) = 0.95994

P(z≥−1.75)P(z≥−1.75) = 0.95994

La respuesta es: P(x≥43)P(x≥43) = 0.95994

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Obs: La ventaja de implementar un algoritmo propio, basado en fórmulas ya conocidas por todos, es que se puede tener una mayor precisión en el cálculo de probabilidades que con los 4 ó 5 decimales que muestran la mayoría de las tablas.

En el siguiente enlace se muestra como se resuelve un problema de tipo inverso: