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Es una ecuación que asusta un poco.

A ver:

(6x+4x+2x)a+(3x+2x+1)b+9x+6x+3x=0(6x+4x+2x)a+(3x+2x+1)b+9x+6x+3x=0

(3x+2x+1)2xa+(3x+2x+1)b+(3x+2x+1)3x=0(3x+2x+1)2xa+(3x+2x+1)b+(3x+2x+1)3x=0

(3x+2x+1)[(2x)a+b+3x]=0(3x+2x+1)[(2x)a+b+3x]=0

Y para x real nunca es
(3x+2x+1)=0(3x+2x+1)=0

Así que como se dice muy vulgarmente : “me lo cepillo”
Que en palabras menos vulgares es dividir toda la ecuación por ese factor que no es nunca nulo.

Y queda:
(2x)∗a+b+3x=0(2x)∗a+b+3x=0

3x+(2x)a+b=03x+(2x)a+b=0

Resolver una ecuación se suele entender como hallar la x.

Y con una ecuación como esa no se muy bien cómo seguir…
Aunque se puede decir que si b>0 y a>=0 no tendrá solución, pero eso no es mucho.
Mucho más fácil sería despejar la “a” ¿verdad? xDD Eso se podría hacer desde el principio… y despejar la “b” también.

Continuará… (si logro algo más, claro)

Se puede pensar algo así: hallar la solución es encontrar los “ceros”, dónde cruza con el “eje x” y para eso puedo estudiar la función… por ejemplo, calculando la derivada.

y=(3x)+(2x)a+by=(3x)+(2x)a+b

3x=(eln(3))x=e[ln(3)∗x]3x=(eln⁡(3))x=e[ln⁡(3)∗x]

y′=(3x)∗ln(3)+(2x)a∗ln(2)y′=(3x)∗ln⁡(3)+(2x)a∗ln⁡(2)

¿Cuándo es cero esta derivada?

((3/2)xm)=−a∗ln(2)ln(3)((3/2)xm)=−a∗ln⁡(2)ln⁡(3)

Sacando logaritmos:

xm∗(ln(3)−ln(2))=ln(−a∗ln(2)ln(3))xm∗(ln⁡(3)−ln⁡(2))=ln⁡(−a∗ln⁡(2)ln⁡(3))

xm=ln(−a∗ln(2)ln(3))ln(3)−ln(2)xm=ln⁡(−a∗ln⁡(2)ln⁡(3))ln⁡(3)−ln⁡(2)

Si la “a” no es negativa el logaritmo no está definido… y, por tanto, en esos casos la derivada no será 0 en ningún punto.
Se puede observar que si la “a” es positiva o nula, la derivada

y′=(3x)∗ln(3)+(2x)a∗ln(2)y′=(3x)∗ln⁡(3)+(2x)a∗ln⁡(2)

es siempre mayor que cero, siempre ‘positifa’, nunca ‘negatifa’… y, por tanto, la función “y” siempre crece cuando “x” crece.
Así que en esos casos, cuando b es mayor o igual que cero, nunca cruzará por cero y la ecuación no tendrá solución.

Además, vemos que el límite de “y” cuando “x” tiende a infinito es infinito, incluso aunque “a” fuese negativa.
Y, también, el límite de “y” cuando “x” tiende a menos infinito es “b”.

Por tanto, cuando b es menor que cero, viene de “menos infinito” a un nivel “b” menor que cero y si “a” es mayor que cero va creciendo siempre, pero sin cota superior, es decir, hasta el infinito (y más allá). Y, por tanto, si parte de un valor menor que cero y acabará en uno mayor que cero, es evidente que pasará por cero en algún lugar, así que habrá una solución para la x, y solamente una.

Sin embargo, cuando la “a” es menor que cero nos encontraremos con un mínimo, tanto absoluto como relativo. Y el valor de “y” en ese mínimo será menor que “b”. En caso de ser “b” menor que cero, comenzaría desde “menos infinito” a un nivel “b”, decrecería hasta el mínimo y volvería a crecer, de ahí hasta infinito, así que habría una solución para la “x”.
Pero cuando “b” sea mayor que cero pueden pasar varios casos. Si el valor de “y” en el mínimo es menor que cero, entonces habrá dos soluciones para la “x” en las que “y” valdrá cero. Si el valor de “y” en el mínimo es cero, entonces habrá una solución. Y si es mayor que cero, entonces no habrá ninguna solución.

En ese escaneo se ve los casos que dibujé.

Los casos en los que puede haber 2 soluciones son casos b>0; a<0
El que pinté en verde es un caso con dos soluciones.
Se puede observar que para la misma “a” un caso similar es cuando la “b” es mayor… y como la “b” solamente añade un ‘cambio de nivel’, es sumar una constante en la función “y” entonces si la “b” es mayor la gráfica es la misma pero desplazada hacia arriba… y habrá un valor de b en el que el mínimo toque el eje X en un punto. Eso es lo que hice con la gráfica roja.
Aunque no lo he pintado, otra más elevada no tocaría el eje X y no tendría ninguna solución.

Por último, la gráfica en línea azul delgada sería una misma “b” que la verde pero con otra “a” más cercana a 0, que tampoco tocaría el eje X, así que no tendría solución.

Antes calculé la abscisa del mínimo, xmxm , en caso de haberlo… que lo hay si la a<0

Si ese mínimo cae por debajo del eje X entonces habrá 2 soluciones (gráfica verde). Es decir, si y(xm)<0y(xm)<0

Si el valor de y en ese mínimo es cero, habrá una solución (gráfica roja) … hablo del caso a<0 … ya que en caso a>=0 siempre hay una, cuando la hay.

xm=ln(−a∗ln(2)ln(3))ln(3)−ln(2)xm=ln⁡(−a∗ln⁡(2)ln⁡(3))ln⁡(3)−ln⁡(2)

Sustituyendo en y(x):

Cuando:

y(xm)<0y(xm)<0
habrá 2 soluciones, dos x diferentes con y nula.

Esto lleva implícito que “a” sea negativo.

Entonces la condición para que haya dos soluciones es:

y(xm)<0y(xm)<0

y(xm)=(3xm)+(2xm)a+b<0y(xm)=(3xm)+(2xm)a+b<0

Es decir, cuando:

b<−(3xm)−(2xm)ab<−(3xm)−(2xm)a

Si se mete el valor de xmxm sale un tocho pero esa es la condición.

Ejemplos con números:

a=0

3x+(2x)a+b=03x+(2x)a+b=0

quedaría como
3x+b=03x+b=0

Y, entonces
x∗ln(3)=ln(−b)x∗ln⁡(3)=ln⁡(−b)

x=ln(−b)/ln(3)x=ln⁡(−b)/ln⁡(3)

Habrá solución única cuando b < 0
___________

b = 0

3x+(2x)a+b=03x+(2x)a+b=0

quedaría como
3x+(2x)a=03x+(2x)a=0

3x=−(2x)a3x=−(2x)a

(3/2)x=−a(3/2)x=−a
x∗ln(3/2)=ln(−a)x∗ln⁡(3/2)=ln⁡(−a)

x=ln(−a)ln(32)x=ln⁡(−a)ln⁡(32)

Tendría una única solución cuando a < 0 … y ninguna cuando a >= 0

a = -2; b = 1

3x+(2x)a+b=03x+(2x)a+b=0

quedaría como

3x−2(2x)+1=03x−2(2x)+1=0

Tendría 2 soluciones:
x = 0
30−2(20)+1=030−2(20)+1=0

x = 1
31+−2(21)+1=031+−2(21)+1=0

Calculemos en este caso, para esta “a”, la máxima “b” para tener solución (por debajo hay 2 soluciones, y por encima ninguna).

xm=ln(−a∗ln(2)ln(3))ln(3)−ln(2)xm=ln⁡(−a∗ln⁡(2)ln⁡(3))ln⁡(3)−ln⁡(2)

xm=ln(2∗ln(2)ln(3))ln(3)−ln(2)xm=ln⁡(2∗ln⁡(2)ln⁡(3))ln⁡(3)−ln⁡(2)

xm=0.57362872343xm=0.57362872343

b<−30.5736+2∗20.5736=1.09854659576b<−30.5736+2∗20.5736=1.09854659576

Como b es 1, que es menor que ese valor, entonces hay 2 soluciones.

a = -3; b = 3

3x+(2x)a+b=03x+(2x)a+b=0

quedaría como

3x−3(2x)+3=03x−3(2x)+3=0

Tendría 2 soluciones:
x = 1
31−3(21)+3=031−3(21)+3=0

x = 2
32+−3(22)+3=032+−3(22)+3=0

En este caso:
xm=1.57362872344xm=1.57362872344

b<3.29b<3.29
Como es b = 3 efectivamente hay 2 soluciones.