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El paso de (2) a (1) es más sencillo, porque basta hacer común denominador y operar normalmente.

1x−1x+1=(x+1)−xx(x+1)=1x(x+1)1x−1x+1=(x+1)−xx(x+1)=1x(x+1)

El paso de (1) a (2) suele ser muy habitual cuando hay que calcular, por ejemplo, la integral de

∫1x(x+1) dx∫1x(x+1) dx

porque así podríamos dividir una integral en dos más sencillas. para hacerlo proponemos los numeradores con letras A y B, escribiendo:

1x(x+1)=Ax+Bx+11x(x+1)=Ax+Bx+1

Ahora desarrollando el segundo miembro como hicimos al principio, obtenemos que

1x(x+1)=Ax+Bx+1=Ax+A+Bxx(x+1)1x(x+1)=Ax+Bx+1=Ax+A+Bxx(x+1)

de donde, por simple igualación de numeradores:

1=(A+B)x+A ⟹1=(A+B)x+A ⟹

como en el primer miembro no hay ninguna xx, eso significa que el coeficiente de la xx en el segundo miembro vale cero.

Es decir, que (A+B)=0(A+B)=0

y como la parte sin xx vale 1, es obvio que A=1A=1

y ahora (A+B)=0⟹B=−A=–1(A+B)=0⟹B=−A=–1

es decir:

A=1,B=−1A=1,B=−1

y por tanto ya lo tenemos.