¿Cuál es la ecuación más destacada de las matemáticas en toda la historia?

Creo que es algo muy complicado de responder por que depende de muchas cosas. Por que, primero, ¿Que es algo destacado?. Es algo que es importante/conocido. Segundo, ¿Cuando algo es destacado en matemáticas? Depende mucho de la profundidad, generalización, y utilidad del desarrollo matemático que queramos 'imponer' como importante.

No soy matemático (capaz un matemático puede darte una respuesta muchísimo mejor) pero soy un simple estudiante de ingeniería y te puedo decir mi experiencia al estudiar las matemáticas en la universidad.

• Un triangulo sencillo y poderoso

Antes de arrancar la universidad, todos hemos visto en la primaria/secundaria la siguiente formula:

a2+b2=c2a2+b2=c2

De esta expresión, sale el famoso teorema de Pitágoras. Por más 'simple' que parezca esa formula, tiene mucha utilidad. Por ejemplo, cuando hablamos de coordenadas esféricas (que son de gran utilidad), la manera en que podemos plantear estas coordenadas en coordenadas cartesianas se las puede deducir por medio de este teorema. El teorema de Pitágoras dice que:

La suma de los cuadrados de los catetos de un triángulo rectángulo (aa y bb), es igual al cuadrado de la hipotenusa (cc).

Es posible también ver el teorema de Pitágoras de la siguiente manera: Si cc siempre es constante (quiere decir que la distancia con AA y BB siempre es la misma), y bby aa acompañan a este cambio (es decir, varían sin cambiar cc) obtenemos una circunferencia:

Si consideramos que los valores que se encuentran sobre el eje vertical corresponden a los de la variable yy y los del eje horizontal a los de la variable xx, podrÍamos describir esta circunferencia de la siguiente manera:

Circunferencia={(x,y)|x2+y2=c2}Circunferencia={(x,y)|x2+y2=c2}

Es decir, el conjunto 'Circunferencia' esta formado por todos aquellos puntos ((x,y)(x,y) es como se representa a un punto en dos dimensiones en dos coordenadas ) tal que la suma del cuadrado de las coordenadas es igual a cc.

También, en el diagrama de arriba habras visto que hay un angulo descripto entre cc y aa(entre X y la hipotenusa del triángulo rectángulo). Bueno, aca nace el seno, el coseno, y la tangente:

sen(α)=bc=ycsen(α)=bc=yc

cos(α)=ac=xccos(α)=ac=xc

tan(α)=sen(α)cos(α)=xytan(α)=sen(α)cos(α)=xy

El teorema de Pitagoras y el desarrollo de las formulas trigonométricas se las puede usar para muchos campos de la ciencia. Por ejemplo, se la puede usar para describir el Movimiento Armonico Simple en fisica (como el movimiento de un pendulo o un cuerpo conectado a un resorte).

Abajo, vemos como una caja conectada a un resorte sube y baja y notar que el movimiento puede ser descripto con la circunferencia (ambos puntos verdes siempre estan alineados).

Este movimiento sobre el eje vertical del resorte (paralela a position) se la puede describir de una manera muy comoda de la siguiente manera:

y(t)=position(t)=Asen(ωt)y(t)=position(t)=Asen(ωt)

Donde ωω es una manera de representar la frecuencia con que el cuerpo sube y baja en intervalo de tiempo determinado siendo ω=2π∗f=2πTω=2π∗f=2πT. Donde TT es el periodo (tiempo que tarda en subir y bajar) y ff es la inversa del periodo, la frecuencia (nos dice cuantas veces sube y baja el cuerpo en un intervalo de tiempo; si la frecuencia esta en Hertz, nos dice cuantas veces sube y baja cada segundo).

Gran manera de modelar un simple movimiento de un cuerpo con el solo usar las matematicas.

• Límite: El concepto revolucionario

Ahora voy a ir a otro concepto dentro de las matematicas que para mi (cosa que la hizo notar mi hermano) fue una gran revolución de las matematicas (desde mi punto de vista practico e ingenieril).

Supongo que habras escuchado lo que es una derivada. Para no ir tan profundo, la derivada es una operacion que mide cuanto cambia una variable en un instante dado. Tambien podemos intepretarla como cuanto varió/varia una variable con respecto a otra variable.

Por ejemplo, si yo voy en un auto en una ruta y quiero saber a que velocidad voy, miro el velocímetro. Suponete que voy a 120 Km/h. Si sigo yendo a esa velocidad, voy a recorrer 120 Kilometros en una hora. Bueno, esta es la derivada de la distancia con respecto al tiempo, es decir, cuanto varia mi distancia en un intervalo de tiempo dado (el velocímetro da en un instante de tiempo dado, pero eso lo voy a explicar unos parrafos mas).

Si vemos como esta definida la velocidad (Km/h, aunque podria ser Millas/seg como mm/años luz), es la division entre una variable yy una variable xx y como hablamos de una variación:

ΔyΔx=y2−y1x2−x1ΔyΔx=y2−y1x2−x1

La resta que vemos en la expresion de arriba nos habla sobre la variacion de las variables. El cociente, para decirlo de una manera muuuy informal, dice que cada tantos valores de xx, yy varió una cierta cantidad.

¿Quien es yy y quien es xx? Bueno, dada una funcion (una maquina que le das algo, y te devuelve un resultado) definida de la siguiente manera:

f(x)=yf(x)=y

Donde xx es la variable independiente e yy es la variable dependiente. Ya por como definimos a estas variables nos damos cuenta que una variable depende de la otra y otra variable no depende de nadie. La variable xx es totalmente independiente, puede tomar el valor que sea pero yy depende de xx por que su valor depende de lo que yo meta como xx dentro de la funcion.

Lo que obtenemos nosotros para resolver la division de arriba es:

Vamos a graficar una función cualquiera:

Tomamos dos puntos:

Si uno ambos puntos me queda lo siguiente:

Ahora volvamos a

ΔyΔx=y2−y1x2−x1ΔyΔx=y2−y1x2−x1

Dicho cociente es la pendiente de esta recta. La pendiente quiere decir cuanto sube (si el resultado es negativo habla de cuanto baja) cada una cierta variacion de la variable dependiente en la recta formada por esos dos puntos. Aca te he mostrado el concepto de derivada media. Si por ejemplo, tendriamos:

f(x1)=f(x2)=y1=y2f(x1)=f(x2)=y1=y2

La derivada media nos va a dar 0. Entre x1x1 y x2x2, y1y1 e y2y2 no variaron (en promedio) entre ambos puntos. Pero, ¿que pasa si te digo que quiero saber cuanto es la derivada en un instante dado?. Es decir, ¿cuanto varía la función (o cuanto varia mi distancia con respecto a mi casa a medida que voy en una auto) en un instante (en un punto) dado?

Bueno, volvamos a la expresión del cociente de las variación y vamos a plantearlo de este manera:

ΔyΔx=f(x2)−f(x1)x2−x1=f(x1+h)−f(x1)hΔyΔx=f(x2)−f(x1)x2−x1=f(x1+h)−f(x1)h

Si hablamos de un instante, es como si estuviese planteando: ¿Qué pasaría si la diferencia entre x1x1 y x2x2 es muuuuuuuy (inifinitos 'u') chica? Es como que si de una manera me estaria acercando a un punto especifico y quisiera ver cuanto vale la pendiente en ese instante dado, en ese punto dado. Abajo fijate que yo trato que la diferencia (la vamos a llamar hh) entre x1x1 y x2x2 sea lo mas chica posible:

Bueno, te presento el límite.

El límite es un concepto muy brillante en mi opinión por que de una manera muy informal te dice 'llevemos a un extremo una funcion y veamos cuanto da'.

Reeplanteamos la expresión anterior:

ΔyΔx=f(x2)−f(x1)x2−x1=f(x0+h)−f(x0)hΔyΔx=f(x2)−f(x1)x2−x1=f(x0+h)−f(x0)h

Donde x0=x1x0=x1

Y plantemos el límite:

limh→0f(x0+h)−f(x0)hlimh→0f(x0+h)−f(x0)h

Arriba tenes la definición de la derivada. Por notacion se escribe de la siguiente manera:

f′(x)=df(x)dx(x)=limh→0f(x+h)−f(x)hf′(x)=df(x)dx(x)=limh→0f(x+h)−f(x)h

Graficamente, podemos verlo de las siguiente manera:

La recta verde en la imagen tiene como pendiente, la pendiente que tiene f(x0) en ese instante dado (cuanto cambia en ese tiempo dado). Dicha pendiente se calcula por medio de la derivada.

Lo mismo que decía para el teorema de pitagoras, este concepto que puede parecer re 'simple' es un concepto que tiene mucha profundidad en las matematicas y en muchas areas de las ciencias. Te habras dado cuenta que el concepto de derivada es lo mismo que hablar de velocidad. Bueno, la derivada de la velocidad es la aceleración (como la velocidad habla de cuanto varió la distancia recorro en un tiempo determinado, la aceleración habla de cuanto varió la velocidad en un tiempo determinado). Una vez agarre un libro de un economista y dentro de este libro había limites y de vez en cuando habia derivadas parciales. El Machine Learning lo usa ampliamente. Para reducir la función de costo de la estimación de los parametros de un modelo de aprendizaje, se usa un algoritmo, el Gradient Descent, para hallar los mínimos de la función de costo. Los minimos se obtiene con las derivadas. La derivada es una herramienta de las mas útiles en esta era moderna.

Tambien, podemos ver el límite en las integrales. La integral es un límite (la suma infinita de areas debajo de una curva). Hay un detalle de las integrales, que me lo habia hecho notar un profesor de la secundaria, es el que las integrales sumas valores que valen nada, que su suma vale algo. Es realmente sorprendente.

Lo voy a decribir de una manera muy rapida, para no aburrir tanto: Yo tengo la siguiente función y quisiera ver el area que esta por debajo de esta curva.

Lo que podria hacer yo es lo siguiente. Podria tomar rectángulos, tal que su altura sea hasta tocar la curva. La cantidad de rectángulos que halla va a depender del ancho de los mismos. Menos ancho, mas rectangulos van a haber:

Obviamente que cuando mas chica sea el ancho de cada rectángulo, mejor aproximación obtendremos del area. Pero es curioso, cuanto mas chico, menos area tienen. Bueno, el limite nos ayuda a poder analizar que pasa si yo llevo esta cantidad de rectangulos a infinito. Es decir, lo que sucede cuando el ancho de estos rectangulos sea infitesimal.

Y ahi obtendremos el area. Un hecho sorprendente también es que si yo derivo una función, y luego integro dicho resultado, vuelvo a obtener la misma función.

Notemos lo tan buena herramienta que es el límite, y las cosas que nos permite analizar.

• Ecuaciones Diferenciales y Laplace

Este va a ser mi ultimo punto y es el ultimo que he estudiado en la universidad con respecto al calculo complejo y diferencial.

Una ecuación diferencial es aquella ecuación donde la incongnita es una función. Por ejemplo:

y′+2∗y′′=5y′+2∗y″=5

Queremos encontrar la función yy tal que su derivada sumada el doble de su segunda derivada nos de 5 (nos de una constante).
La resolución de estas expresiones suelen ser muy complicadas (mas si encontramos derivadas de orden mayor a 2). La Transformada de Laplace es una herramienta muy util a la hora de estar resolviendo ecuaciones diferenciales.

Y te preguntaras, ¿donde hay de estas ecuaciones? Principalmente, en la naturaleza. El compartamiento de las circuitos eléctricos son modelados apartir de estas. De lo que me contaron, las leyes de Newton son ecuaciones diferenciales. Son la principal herramienta matemática para explicar el mundo en el que vivimos.

Para resumir, la matemática tiene muchos 'hitos' destacables como son los aportes de Fourier, Cauchy, Barrow, Gauss, etc. Podría hablar sobre la proporción áurea. Pero estaria mucho tiempo respondiendo esta pregunta y seguro nunca acabe.

Todos dieron aportes que hicieron que el universo de hoy sea explicable por medio de las matematicas. Todo lo que yo respondí es en base a lo que yo veo al estudiar y aplicar las matematicas en cosas que yo estudio y sirven para modelar de una manera muy sencilla aspectos del mundo real. ¿Son dificiles las matemáticas? Depende muy de cada uno. Pero no importa calcular cosas rapido o darse cuenta de como resolver un ejercicio rapido, se basa en solo entenderlas.

Esta es solo mi humilde analisis sobre tu pregunta. Seguramente, un matemático pueda darte una respuesta mucho mas certera.