Se construye un péndulo que tiene suspendida una esfera llena de arena con un orificio en la parte inferior. Se observa que el periodo de...

Consideremos un péndulo compuesto que consiste en una esfera de llena de arena cuyo centro de masa está a una distancia R del pivote superior.

La esfera es una esfera hueca de espesor despreciable y de masa mm rellena de arena cuya masa es MM.

Vamos a necesitar los momentos de inercia de dos tipos de esfera:

1. Esfera sólida de masa mm y radio rr alrededor de un punto situado a la distancia RR de su centro de masa:

Isólida=25mr2+mR2Isólida=25mr2+mR2

2. Esfera hueca de masa mmy radio rralrededor de un punto situado a la distancia RR de su centro de masa:

Ihueca=23mr2+mR2Ihueca=23mr2+mR2

El período de oscilación de un péndulo compuesto se puede calcular con la fórmula usual:

T=2πLg−−√T=2πLg

usando la longitud equivalente dada por

L=ImRL=ImR

dondeII es el momento de inercia del péndulo con respecto al punto pivote, mm es la masa total del péndulo y RR es la distancia desde el pivote al centro de masa.

Si sustituimos en esta fórmula la suma de los momentos de las dos esferas, tenemos que la longitud equivalente inicial del péndulo es:

L0=R+(25M+23m)r22mRL0=R+(25M+23m)r22mR

Tomaremos nota de que el 2/5 corresponde al momento de la esfera sólida. Sin perder generalidad, haremos además la simplificación de que la masa de ambas esferas es la misma, por lo que

L0=R+(25m+23m)r22mR=R+815r2R(1)L0=R+(25m+23m)r22mR=R+815r2R(1)

Pasamos a considerar el cambio de la configuración del péndulo:

Ahora se ha vaciado la mitad de la arena contenida en la esfera, por lo que ocurren dos cosas:

1. La arena ya no es una esfera sino una semiesfera. Sin embargo, el momento de inercia el es mismo, pero ahora con la mitad de la masa

2. El centro de masa de una semiesfera está 3/8r3/8r por debajo del centro de la esfera original. Ello hace que el centro de masa RR tenga una nueva ubicaciónR′R′ por debajo del centro de masa original.

R′=R+δ,δ=3/16rR′=R+δ,δ=3/16r

La longitud equivalente viene dada por:

L1=R′+(25(m/2)+23m)r232mR′=R′+3245r2R′L1=R′+(25(m/2)+23m)r232mR′=R′+3245r2R′

Y, aproximadamente,

L1=R+δ+3245r2R+δ≈R+δ+3245r2R(1−δ/R)L1=R+δ+3245r2R+δ≈R+δ+3245r2R(1−δ/R)

L1≈R+3245r2R+δ−3245r2RδR(2)L1≈R+3245r2R+δ−3245r2RδR(2)

Comparando las ecuaciones (1) y (2) se deduce que L1>L0L1>L0, es decir, que el período del pendulo aumenta al vaciarse la arena.

Cuando la arena termina de salir del péndulo, el centro de masa vuelve a su posición original en el centro de la esfera, y solo queda la esfera hueca. La longitud equivalente, es:

L2=R+(23m)r2mR=R+23r2RL2=R+(23m)r2mR=R+23r2R

La cual es menor que L1L1, y el período del péndulo disminuye.