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Tema:Latitud,Longitud,CirculoMaximo:Tema:Latitud,Longitud,CirculoMaximo:

Voy hacer mi aporte a esta pregunta considerando dos métodos de solución:

Se va a responder para un caso particular: Cuando dos puntos se encuentran en la misma latitud y exista una diferencia de longitud entre ambos puntos.

Resolviendo para un caso particular, ya se puede deducir para un caso general:

En principio, sean dos puntos A y B que se encuentran a la misma latitud ϑϑ, en este ejemplo 60° N y separados por una diferencia de longitud ΔϕΔϕ en este caso 80°

Distancia siguiendo el paralelo:

Siguiendo el paralelo la distancia entre los puntos A y B es:

-Convirtiendo 80° a radianes: 4π94π9

dp=4π9Rcos60dp=4π9Rcos60

dp=2π9Rdp=2π9R

dp=dp= 0.6981317 R …………………..(1)

Generalizando: Usando coordenadas de Latitud y Longitud.

Si ϑϑ es latitud y ΔϕΔϕ es la diferencia de longitud, entonces generalizando la ecuación (puede escribirse como:

dp=Δϕrad.cosϑ.Rdp=Δϕrad.cosϑ.R ………..(P1)

Si θθ es la coordenada azimutal en coordenadas esféricas y ΔϕΔϕ es la diferencia de longitud, la cual es igual a la coordenada angular en coordenadas esféricas, entonces generalizando la expresión (P1) puede escribirse como:

dp=Δϕrad.senθ.Rdp=Δϕrad.senθ.R …………..(P2)

Ya que se cumple que: ϑ+θ=90°ϑ+θ=90°

Por lo tanto: cosϑ=senθcosϑ=senθ

Como se evidencia en la siguiente figura:

Figura 1. Se muestra la ruta siguiendo por el paralelo respectivo y relación entre la coordenada de latitud ϑϑ y la coordenada azimutal esférica θ.θ.

Los ángulos pueden estar en grados o radianes, por ejemplo sabemos que sen 30° = 1/2. Cuando queremos calcular este resultado en una calculadora, se puede elegir si el ángulo está en radianes o grados, por lo general por defecto ya se encuentra en grados. Pero si se quiere usan funciones trigonométricas en alguna hoja de cálculo o programación, el ángulo que está en grados debe convertirse primeramente a radianes. En el caso de las fórmulas (P1) y (P2), se esta poniéndose énfasis, que la diferencia de latitud debe estar en radianes.

Distancia siguiendo el círculo máximo:

Método 1: Por simple trigonometría plana ( no esférica )

Figura 2. Muestra las magnitudes y medidas necesarias para el cálculo de la ruta siguiendo por el círculo máximo. La mitad del segmento AB mide: R cos 60° Sen 40°.

De acuerdo a la figura la cuerda que une estos dos puntos tiene una longitud de:

AB=2Rcos60°sen40°AB=2Rcos60°sen40°

Entonces el círculo máximo que pasa por esos dos puntos subtiende un ángulo ωω que se calcula como:

sen(ω/2)=cos60°sen40°sen(ω/2)=cos60°sen40°

Por lo tanto el ángulo es:

ω=2Asen(cos60°sen40°)ω=2Asen(cos60°sen40°) ………..(T)

ωω = 37°.4944745

Convirtiendo a radianes: 0.65440203… rad

Luego la longitud por el círculo máximo es:

dcm=dcm= 0.65440203 R ………………………....(2)

Si ϑϑ es latitud y ΔϕΔϕ es la diferencia de longitud, entonces generalizando la expresión (T) puede escribirse como:

ω=2Asen[cosϑ.sen(Δϕ/2)]ω=2Asen[cosϑ.sen(Δϕ/2)] ………………………………(T1)

En cambio si θθ es la coordenada azimutal en coordenadas esféricas y ΔϕΔϕ es la diferencia de longitud, que es igual a la coordenada angular en coordenadas esféricas, entonces la ecuación (T1) puede escribirse como:

ω=2Asen[senθ.sen(Δϕ/2)]ω=2Asen[senθ.sen(Δϕ/2)] ……………………………………….(T2)

Ya que se cumple que: ϑ+θ=90°ϑ+θ=90°

Por lo tanto: cosϑ=senθcosϑ=senθ

Como se evidencia en la Figura 1.

Método 2: Aplicación de producto escalar.

La notación usando coordenadas esféricas es diferente a la notación que se emplea para latitud y longitud: Por ejemplo:

- El polo norte usando coordenadas de latitud y longitud es Lat 90° N (ϑ=90°ϑ=90°) mientras que en coordenadas esféricas es: θ=0°θ=0°.

-Cualquier punto del ecuador terrestre tiene latitud 0°, (ϑ=0°ϑ=0°) mientras que en coordenadas esféricas corresponde un ángulo de θ=90°θ=90°.

-El polo sur tiene coordenadas de latitud 90° S, ( ϑ=−90°ϑ=−90° ) y en coordenadas esféricas es θ=180°θ=180°

En este caso dos vectores simétricos A y B. Por razones prácticas se va a usar coordenadas de Latitud y Longitud y no coordenadas esféricas.

-Las coordenadas de A:

A:[Rcos60°cos40°,Rcos60°sen40°,Rsen60°]A:[Rcos60°cos40°,Rcos60°sen40°,Rsen60°]

-Las coordenadas de B:

B:[Rcos60°cos40°,−Rcos60°sen40°,Rsen60°]B:[Rcos60°cos40°,−Rcos60°sen40°,Rsen60°]

Hallando el ángulo entre ellos:

cosω=A⃗ .B⃗ |A⃗ |.|B⃗ |cosω=A→.B→|A→|.|B→|

cosω=cos260°[cos240°−sen240°]+sen260°cosω=cos260°[cos240°−sen240°]+sen260°

cosω=cos260°cos80°+sen260°cosω=cos260°cos80°+sen260°

ω=Acos[cos260°cos80°+sen260°]ω=Acos[cos260°cos80°+sen260°] ………(PE)

Reemplazando los datos:

cosω=cosω= 0.7934120444….

ω=ω= 37°.4944745

Convirtiendo a radianes:

ω=ω= 0.65440203 rad

Por lo tanto la distancia por el circulo máximo es:

dcm=dcm= 0.65440203 R ……………………..(2)

Si ϑϑ es la latitud y ΔϕΔϕ es la diferencia de longitud, entonces generalizando la expresión (PE) puede escribirse como:

ω=Acos[cos2ϑcos(Δϕ)+sen2ϑ]ω=Acos[cos2ϑcos(Δϕ)+sen2ϑ] ……….(PE1)

En el caso que se hubiera usado coordenadas esféricas la fórmula anterior, puede escribirse como:

ω=Acos[sen2θcos(Δϕ)+cos2θ]ω=Acos[sen2θcos(Δϕ)+cos2θ] ……….(PE2).

Método 3: Producto Vectorial:

Usando coordenadas de latitud y longitud

-Las coordenadas de A:

A:[Rcos60°cos40°,Rcos60°sen40°,Rsen60°]A:[Rcos60°cos40°,Rcos60°sen40°,Rsen60°]

-Las coordenadas de B:

B:[Rcos60°cos40°,−Rcos60°sen40°,Rsen60°]B:[Rcos60°cos40°,−Rcos60°sen40°,Rsen60°]

Hallando el ángulo entre ellos:

senω=|A⃗ ×B⃗ ||A⃗ |.|B⃗ |senω=|A→×B→||A→|.|B→|

A×B=∣∣∣∣∣i^Rcos60°cos40°Rcos60°cos40j^Rcos60°sen40°−Rcos60°sen40k^Rsen60°Rsen60°∣∣∣∣∣A×B=|i^j^k^Rcos60°cos40°Rcos60°sen40°Rsen60°Rcos60°cos40−Rcos60°sen40Rsen60°|

A×B=R2[sen120°sen40°,0,−cos260°sen80°]A×B=R2[sen120°sen40°,0,−cos260°sen80°]

Módulo:

||A×B||=R2(sen120°sen40°)2+(cos260°sen80°)2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√||A×B||=R2(sen120°sen40°)2+(cos260°sen80°)2

ω=Arcsen[sen2120°sen240°+cos460°sen280°−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√]ω=Arcsen[sen2120°sen240°+cos460°sen280°] ………………………………(PV)

ω=ω= 37.4944745021

Pasando a radianes: 0.65440203136 rad

La longitud siguiendo el círculo máximo o geodésica:

dcmdcm = 0.65440203136 R ………………….(2)

Generalizando la expresión (PV) usando coordenadas de latitud y longitud:

ω=Arcsen[sen2(2ϑ)sen2(Δϕ/2)+cos4ϑsen2(Δϕ)−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√]ω=Arcsen[sen2(2ϑ)sen2(Δϕ/2)+cos4ϑsen2(Δϕ)] ………………(PV1)

La expresión (PV), también puede calcularse usando coordenadas esféricas, entonces en este caso sería:

ω=Arcsen[sen260°sen240°+sen430°sen280°−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√]ω=Arcsen[sen260°sen240°+sen430°sen280°]

Generalizando la expresión anterior en el caso de usar coordenadas esféricas queda como:

ω=Arcsen[sen2(2θ)sen2(Δϕ/2)+sen4θsen2Δϕ−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√]ω=Arcsen[sen2(2θ)sen2(Δϕ/2)+sen4θsen2Δϕ] ………………(PV2)

Obteniéndose el mismo resultado anterior:

Como la pregunta dice 'que tanto mas corta es la ruta por el círculo máximo que por el paralelo' , se debe hallar la diferencia entre estas dos longitudes y no el cociente, ya que el cociente viene a ser la razón geométrica o simplemente la razón.

La diferencia se halla restando el resultado obtenido en la expresión (1) menos el resultado obtenido en la expresión (2), por cualquiera de los tres métodos.

La diferencia es: 0.04372967 R

La siguiente respuesta es la continuación de este mismo tema:

Comentario adicional:

Se ha calculado la distancia siguiendo por el paralelo usando coordenadas de latitud y longitud usando la siguiente fórmula:

dp=Δϕrad.cosϑ.Rdp=Δϕrad.cosϑ.R

En este caso si queremos usar en el caso que la diferencia de husos sea constante, por decir 15° ( ΔϕΔϕ = 15° ), entonces primero se debe convertir ΔϕΔϕla a radianes: fórmula anterior se escribe como:

Δϕrad=π12Δϕrad=π12

Luego, la fórmula anterior, para este caso se escribe como:

• Por el paralelo:

-Coordenadas de latitud y longitud: LAB:15°=π12RcosϑLAB:15°=π12Rcosϑ

-Coordenadas esféricas: LAB:15°=π12RsenθLAB:15°=π12Rsenθ

• Círculo máximo:

Ahora si lo que se quiere es calcular la distancia recorrida por el círculo máximo se tiene las siguientes formulas:

Fórmula 1:

ω=2Asen[cosϑ.sen(Δϕ/2)]ω=2Asen[cosϑ.sen(Δϕ/2)] ………………………………(I)

para calcular la longitud de cada círculo máximo, teniendo como dato la diferencia de longitud geográfica: Por ejemplo tenemos dos husos horarios cuya diferencia de longitud geográfica es 15° ( ΔϕΔϕ = 15° ) la distancia entre estos husos horarios se hace cada vez menor a medida que se va ascendiendo hacia cualquiera de los polos.

-Por el círculo máximo usando latitud ϑϑ y diferencia de longitud ΔϕΔϕ

LAB:15°=2Asen[cosϑ.sen(7.5°)]RLAB:15°=2Asen[cosϑ.sen(7.5°)]R

Donde se hace evidente que es una función par, ya que la distancia se va haciendo mas corta cuando uno se dirige del ecuador hacia el polo norte, o bien cuando se dirige del ecuador hacia el polo sur.

-Por el círculo máximo (geodésica) usando coordenadas esféricas azimutal y angular θθ y ΔϕΔϕ

LAB:15°=2Asen[senθ.sen(7.5°)]RLAB:15°=2Asen[senθ.sen(7.5°)]R

Fórmula 2:

ω=Acos[cos2ϑcos(Δϕ)+sen2ϑ]ω=Acos[cos2ϑcos(Δϕ)+sen2ϑ] ……….(II)

Para calcular la longitud de cada círculo máximo, teniendo como dato la diferencia de longitud geográfica: Por ejemplo tenemos dos husos horarios cuya diferencia de longitud geográfica es 15° ( ΔϕΔϕ = 15° ) la distancia entre estos husos horarios se hace cada vez menor a medida que se va ascendiendo hacia cualquiera de los polos.

-Por el círculo máximo usando latitud ϑϑ y diferencia de longitud ΔϕΔϕ

LAB:15°=Acos[cos2ϑcos(15°)+sen2ϑ]RLAB:15°=Acos[cos2ϑcos(15°)+sen2ϑ]R

-Por el círculo máximo usando coordenada azimutal tθtθ y diferencia de longitud ΔϕΔϕ

LAB:15°=Acos[sen2θcos(15°)+cos2θ]RLAB:15°=Acos[sen2θcos(15°)+cos2θ]R

Fórmula 3:

ω=Arcsen[sen2(2ϑ)sen2(Δϕ/2)+cos4ϑsen2(Δϕ)−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√]ω=Arcsen[sen2(2ϑ)sen2(Δϕ/2)+cos4ϑsen2(Δϕ)] ………………(III)

Para calcular la longitud de cada círculo máximo, teniendo como dato la diferencia de longitud geográfica: Por ejemplo tenemos dos husos horarios cuya diferencia de longitud geográfica es 15° ( ΔϕΔϕ = 15° ) la distancia entre estos husos horarios se hace cada vez menor a medida que se va ascendiendo hacia cualquiera de los polos.

-Por el círculo máximo usando latitud ϑϑ y diferencia de longitud ΔϕΔϕ

LAB:15°=Arcsen[sen2(2ϑ)sen2(7.5°)+cos4ϑsen2(15°)−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√]RLAB:15°=Arcsen[sen2(2ϑ)sen2(7.5°)+cos4ϑsen2(15°)]R

-Por el círculo máximo usando coordenada azimutal θθ y diferencia de longitud ΔϕΔϕ

LAB:15°=Arcsen[cos2(2θ)sen2(7.5°)+sen4θsen2(15°)−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√]RLAB:15°=Arcsen[cos2(2θ)sen2(7.5°)+sen4θsen2(15°)]R