?

Dedico esta "canción" a Pablo Serrano, paladín de la visión geométrica.

Cuando se habla del triángulo equilátero, y especialmente en el contexto de los números complejos, no podemos olvidarnos del triángulo equilátero por excelencia, que es el que forman las tres raíces cúbicas de la unidad, es decir, 1,ω y ω², siendo el valor de ω=-1/2 + i√3/2, como se puede ver resolviendo la ecuación cúbica binomia x³-1=0; separando la raíz 1, queda (x-1)(x²+x+1)=0 →

ω=-1/2 + i√3/2, ω²=-1/2 - i√3/2. Las tres raíces tienen módulo 1 y están en el círculo unidad como se ve en la figura.

Ahora bien, si los afijos de los números complejos z₁, z ₂, z₃ forman un triángulo equilátero, éste puede obtenerse del modelo canónico, el triángulo "unidad", digamos, por medio de algunas transformaciones geométricas: primero, el triángulo "unidad" de la figura lo giramos -en el sentido de las agujas del reloj o en el contrario-, hasta que esté en la misma orientación que el z₁, z ₂, z₃, es decir, que los ángulos que forma cada lado con los ejes coordenados sean respectivamente los mismos. Esa transformación geométrica se llama Giro.

Después está el tamaño…si es igual sería mucha suerte, pero si no, hacemos ZOOM directo o inverso, o sea, lo miramos con los prismáticos al derecho para verlo más grande o con los prismáticos al revés, para empequeñecerlo…eso se llama Homotecia.

Finalmente, ya tenemos el mismo triángulo, del mismo tamaño y de la misma orientación…pero para hacer coincidir ambos triángulos, es decir, superponer uno al otro, finalmente "trasladamos" un vértice del primero hasta que coincida con un vértice del segundo; la operación geométrica se llama Traslación, y casi "misteriosamente", coincidirán los dos triángulos en pleno, porque para eso hemos previsto que tengan el mismo lado, los mismos ángulos, que ya los tenían, y la misma orientación.

Para efectuar un giro basta multiplicar (complejamente…) cada vértice por un número complejo cualquiera, de módulo 1, llamémoslo k € C. Y para engrandecer o empequeñecer la figura multiplicamos por un número real positivo, llamémoslo l. Si l>1 se agranda, y si l<1, se achica. Si l=1 se queda igual que estaba. Para trasladar un punto, o afijo, se le suma cualquier número complejo t € C.

Todo eso se traduce en operaciones algebraicas:

Triangulo inicial → {1, ω , ω²} → (giro) → {k, kω , kω²} →

→(ampliación/reducción de la "fotocopia") → {lk, lkω , lkω²} → (traslación de medida t)

→ [lk+t, lkω+t , lkω²+t]=[z₁, z ₂, z₃]. Por tanto, si los afijos de z₁, z ₂, z₃ forman un triángulo equilátero, debe ser: z₁=lk+t, z ₂= lkω+t, z₃= lkω²+t, para ciertos l, k y t, donde |k|=1, l € R+, y t € C

Ahora veremos si se cumple o no la ecuación propuesta, es decir,

z₁²+z ₂²+z₃² = z₁z ₂+z₁z₃+z ₂z₃, o lo que es equivalente, z₁²+z ₂²+z₃²- z₁z ₂-z₁z₃-z ₂z₃=0

Sustituimos valores (recordando que ω³=1, y que 1+ω+ω²=0):

(lk+t)² + (lkω+t)² +(lkω²+t)²-(lk+t)(lkω+t)-(lk+t)(lkω²+t)-(lkω+t)(lkω²+t)=

l²k²+t²+2lkt +l²k²ω²+t²+2lktω +l²k²ω+t²+2lktω² -l²k²ω-lkt-lktω-t²-l²k²ω²-lkt-

-lktω²-t² -l²k²-lktω-lktω²-t² = l²k²(1+ω²+ω-ω-ω²-1)+lkt(2+2ω+2ω²-1-ω-1-ω² -

-ω-ω²)+t²(1+1+1–1–1–1)= l²k²*0 + lkt *0 +t²*0=0.

¡En efecto, se cumple la relación que se quería demostrar!

Si los afijos de z₁, z ₂, z₃ forman un triángulo equilátero en el plano complejo, se cumple z₁²+z ₂²+z₃² = z₁z₂+z₁z₃+z₂z₃.

Recíprocamente, supongamos que se cumple z₁²+z ₂²+z₃² = z₁z ₂+z₁z₃+z ₂z₃, habiendo entre z₁, z ₂, z₃, al menos dos valores distintos, lo que implica que lo son los tres (si no, se tendría un único punto, es decir, un "triángulo" degenerado en un solo punto. Que tal "triángulo" fuera "equilátero" o no, sería un problema filosófico, más que matemático, pero sus tres "lados" serían iguales a 0…); demostremos en tal supuesto que los afijos de z₁, z ₂, z₃ forman un triángulo equilátero. Primero despejamos una de las z, por ejemplo, z₃. La ecuación cuadrática que determina z₃ en función de z₁, z ₂ es:

z₃² -(z₁+z ₂)z₃ + z₁²+z ₂²-z₁z ₂ =0.

z₃ =[(z₁+z ₂) ± √(z₁²+2z₁z ₂+z ₂²-4z₁²-4z ₂²+4z₁z ₂]/2, o bien,

z₃ =[(z₁+z ₂) ± (z₁-z ₂)* i√3)]/2, de modo que o bien es:

CASO 1: z₃ =[(1+i√3)/2]*z₁+[(1-i√3)/2)]*z ₂ = -ω²z₁-ωz₂,

o bien es:

CASO 2: z₃ =[(1-i√3)/2]*z₁+[(1+i√3)/2)]*z ₂ = -ωz₁-ω²z ₂.

Supongamos primero cierto el CASO 2.

Busquemos los valores de los parámetros l, k , t a partir del sistema de ecuaciones:

z₁=lk+t, z₂= lkω+t, z₃= lkω²+t, donde consideramos z₁, z ₂, z₃ conocidos y las incógnitas son l, k, t.

Si encontramos una solución, entonces z₁, z ₂, z₃ determinan un triángulo equilátero, porque provienen de girar (o "retorcer" ) el triángulo equilátero unidad, luego ampliarlo o reducirlo de tamaño y trasladarlo adonde están ahora las z.

Despejando t en la primera y sustituyendo en las otras dos:

t= z₁-lk; lkω+ z₁-lk=z ₂ // lkω²+z₁-lk=z₃ // Despejando lk en la primera:

lk = (z ₂ -z₁)/(ω-1); en realidad lk actúa como una sola incógnita, algo muy intuitivo, porque a la vez que "giramos" con k ya podemos ampliar o reducir, mediante kl en una sola operación. Llegamos pues a la conclusión de que el sistema es más que determinado; obtenemos una solución de las primeras dos ecuaciones del sistema, tomando, por ejemplo,

l=|z ₂ -z₁|/|ω-1|=2|z ₂ -z₁|/√10; // k =[(z ₂ -z₁)/(ω-1)]/l; // t= z₁-(z ₂ -z₁)/(ω-1)

de modo que |k|=1 (aunque esto no sea imprescindible, pero así está de acuerdo con nuestro enfoque geométrico). Sin embargo, ahora la última ecuación debe satisfacerse por sí sola, y si no sucede así, el sistema será incompatible y habremos fracasado en la demostración (!!). Veamos, pues, sustituyendo valores en la tercera ecuación

lkω²+z₁-lk=z₃, si se cumple, o no…

Podemos ponerla en forma equivalente: lk(ω²-1)+z₁ = z₃

[(z ₂ -z₁)/(ω-1)]*(ω²-1)+z₁ = z₃, pero ω²-1 =(ω+1)*(ω-1), luego el primer miembro será: (z ₂ -z₁) * (ω+1) +z₁; como 1+ω+ω²=0, 1+ω=-ω²; así, el primer miembro vale:

(ω²+1)z₁-z₂ ω² = -ωz₁-ω²z₂. Recordando que estamos en el CASO 2…esto es exactamente z₃ (!!) y se cumple por sí sola la tercera ecuación del sistema, de manera que en el CASO 2 queda probada la afirmación recíproca, esto es, que si

z₁²+z ₂²+z₃² = z₁z ₂+z₁z₃+z₂z₃, con al menos dos valores distintos entre z₁, z ₂, z₃, entonces los afijos de z₁, z ₂, z₃ forman un triángulo equilátero.

Si estamos en el CASO 1 (no puede haber otro caso, más que 1 y 2) entonces es:

z₃ = -ω²z₁-ωz₂, y (en general) no se nos cumple la tercera ecuación.

Pero llegados hasta aquí, ahora se necesita más ingenio que conocimiento matemático:

Si intercambiamos z₂ y z₁, es decir, si consideramos v₁=z₂, v₂=z₁, v₃=z₃, por ser simétrica la ecuación de partida z₁²+z ₂²+z₃² = z₁z ₂+z₁z₃+z ₂z₃, también se cumplirá:

v₁²+v₂²+v₃² = v₁v₂+v₁v₃+v₂v₃, y además, v₃= -ωv₁-ω²v₂, es decir, nos hallamos en el CASO 2, de modo que los afijos de v₁, v₂, v₃ forman un triángulo equilátero, como ya se ha demostrado para el CASO 2, pero eso significa que los tres puntos afijos de z₁, z ₂, z₃ ¡en cualquier orden! forman un triángulo equilátero.

Queda así probada la recíproca en cualquier caso posible.