¿Qué es geometría?

Difícil de responder, porque el concepto de geometría ha ido cambiando a lo largo del tiempo. Inicialmente era agrimensura: medición de terrenos. De ahí pasó a ser la ciencia de la medida de figuras planas y con volumen. A partir de Euclides se convirtió en un tratamiento axiomático muy formal. Pero la verdadera revolución vino en el siglo XIX, cuando Félix Klein la definió como el estudio de las propiedades invariantes por transformaciones generales.

En el sentido de Klein, cuanto más profunda es una propiedad de un cuerpo geométrico (que no es sino un subconjunto de un conjunto o espacio más grande), más “agresiva” tiene que ser la transformación que rompa la invarianza. Por ejemplo: traslaciones y rotaciones (transformaciones muy simples) conservan longitudes, áreas y volúmenes; pero las homotecias no. Sin embargo las homotecias (cambios de escala) conservan las proporciones o razones entre dos longitudes. En general las transformaciones continuas más generales (homeomorfismos) conservan las llamadas propiedades topológicas, que son las más profundas.

En 1.934, el matemático holandés van Schouten dió dos conferencias cuyo título era precisamente esta pregunta: ¿Qué es la geometría? Cuando dio cuenta de tales progresos, no pudo por menos que concluir así:

Se llama Geometría a una rama de las matemáticas que un número suficiente de gentes competentes están de acuerdo en denominar así por razones de sentimiento y de tradición.