¿Cómo definen los matemáticos el infinito?

El primer matemático en tomar en serio el concepto de infinito no como una idea límite, sino como un infinito actual fue Cantor.

Lo que ocurre es que no hay un infinito, sino infinitos infinitos diferentes, cada uno de ellos inconmensurable con los demás.

La definición del primer infinito, o ℵ0ℵ0 (se pronuncia "aleph sub cero") pasa por definir los números naturales de modo recursivo basándose en los menores que el que se define, y comenzando por el cero, que se identifica con el conjunto vacío.

0=DEF∅1=DEF{0}2=DEF{0,1}...n=DEF{0,1,(n−1)}0=DEF∅1=DEF{0}2=DEF{0,1}...n=DEF{0,1,(n−1)}

Cantor definió un nuevo número, ω={0,1,2,3,...}ω={0,1,2,3,...}

es decir, un número natural que comprendía a la totalidad infinita de números naturales finitos, y que equivalía al conjunto NN. Una vez hecho esto, nada le costó postular que estos números transinfinitos continuaban naturalmente con ω+1,ω+2,...,2ω,2ω+1,...,ω2,...,ω3,...,ωω...ωωω...ω+1,ω+2,...,2ω,2ω+1,...,ω2,...,ω3,...,ωω...ωωω...

Con el uso del axioma de elección se puede demostrar que todos los cardinales infinitos son Alephs y que están ordenados, ℵ0,ℵ1,ℵ2,...ℵ0,ℵ1,ℵ2,...

Cantor demostró que si un conjunto era infinito, su cardinalidad (su tamaño) era siempre más pequeña que el tamaño del conjunto de sus partes, de modo que si la cardinalidad del conjunto NN era ℵ0ℵ0, entonces la cardinalidad del conjunto de todos los subconjuntos de NN sería necesariamente superior a ℵ0ℵ0 . Lo que no quedaba claro es que la cardinalidad de este conjunto de partes fuera el siguiente infinito, ℵ1.ℵ1.

Dado que el conjunto RR es isomorfo al conjunto P(N)P(N)quedaba claro que la cardinalidad del conjunto de todos los reales era mayor que la de los enteros, pero no pudo demostrar que fuera ℵ1.ℵ1.Es decir, no pudo demostrar que 2ℵ0=ℵ12ℵ0=ℵ1. A la hipótesis de que no existe ningún conjunto con cardinalidad mayor que ℵ0ℵ0 y menor que ℵ1ℵ1 se le llama hipótesis del continuo. En 1963, Paul Cohen demostró la independencia (que no puede probarse) respecto a los axiomas de Peano de los naturales.