¿Por qué las matemáticas siendo abstractas pueden representar cosas reales?

Muy buena pregunta, las matemáticas en eso son paradójicas. Todo tronco matemático tiene dos aspectos o ramas, una parte puramente teórica y abstracta y otra rama que es aplicable al mundo físico. Hay varias metáforas para entender esto. Yo veo a las matemáticas inmersas en el Multiverso, están ahí, latentes como bacterias esperando un campo fértil que alguien descubra. Pero también conforman la estructura fundamental, el más elemental de la realidad física; son como el esqueleto que soporta el mundo que nos rodea. Son independientes de la voluntad humana, por eso no se inventan, sino que se descubren. Lo que se inventa es la notación para representarlas. Por ejemplo en Cálculo tenemos la notación muy pesada e impráctica de Newton y la notación muy flexible, intuitiva y eficiente que inventó Leibnitz, la cual hasta la fecha usamos. Si descubriéramos una civilización extraterrestre avanzada y nos comunicara sus matemáticas, tal vez no entenderíamos su notación, pero al estudiarla veríamos que las ideas y los objetos y las relaciones abstractas fundamentales son las mismas que tiene la nuestra.

Las matemáticas son parte del Universo, lo mismo que la Física y la Química, están contenidas en él. Las leyes físico-matemáticas preexisten a la experiencia humana y seguirán ahí incluso aunque desaparezca el homo sapiens. El aspecto central es que las matemáticas al aplicarse al mundo real, lo hacen en forma de aproximaciones numéricas, incluyendo las singularidades, las cuales describen cambios bruscos o discontinuidades en el espacio/tiempo. Por tanto, pueden representar cosas reales porque sus abstractas ecuaciones se pueden aproximar a un nivel muy elemental, con operaciones simples de adición y multiplicación, las cuales operan sobre objetos reales y tangibles. Te doy un ejemplo práctico que ilustra este punto:

Una aplicación práctica que solo puede resolverse en general con matemáticas avanzadas es el cálculo de superficies planas. Si el área es regular, digamos cuadrada, rectangular o circular, el problema es elemental y muy simple. Pero si el área es irregular o muy complicada, hay que utilizar el Teorema de Riemann del Cálculo Integral que dice lo siguiente:

“El área de cualquier región Ω en el plano XY que sea delimitada por una curva cerrada continua Г = ∂Ω es dada por cualquiera de las tres expresiones siguientes”:

La ecuación anterior es un resultado abstracto general, que ocurre en el plano, tiene la forma de una integral en dos dimensiones (la primera) y de dos integrales de línea relativamente fáciles de calcular mediante métodos numéricos. La curva Г = ∂Ω es la frontera de la región Ω y puede aproximarse mediante una secuencia de segmentos rectilíneos de ecuación muy simple:

y(x) = mi x + xi, donde mi es la pendiente de cada segmento que pasa por el punto (xi, yi). Una vez seleccionado un conjunto de puntos sobre la curva Г = ∂Ω de coordenadas (xi, yi), donde i = 1, 2, 3, …, N, el algoritmo de aproximación para el área en el Teorema de Riemann es dada por la siguiente suma (el signo - es porque la curva se recorre en sentido negativo o sea, como las menecillas de un reloj):

Por ejemplo, si se aproxima el área de una elipse que tiene ecuaciones paramétricas [x(t) = 2 Sen(t) , y(t) = Cos(t)] con esta fórmula, se obtiene con 18 puntos sobre la curva: A(Ω) = 6.15636, mientras que el área exacta tiene el valor de A(Ω) = 6.28319; aumentando el número de puntos se mejora cada vez más la precisión de la aproximación al área real exacta. Es decir, el resultado abstracto de Riemann para curvas cerradas planas, se aproxima con gran precisión, usando el algoritmo anterior, el cual solo contiene sumas, multiplicaciones y restas, al área real de una figura del mundo real, que puede ya sea dibujarse en un papel o bien construírse sobre un terreno físico.

La misma integral anterior puede usarse para calcular el área que ocupa un bosque, un lago, una metrópolis, una isla, etc.