El cuadrado de la suma de dos números es 144 y la suma de sus cuadrados es 80. ¿Cuál es el número?

Supongo que la pregunta es "¿Cuáles son los números?".

Deberían ser 4 y 8 ( o también, -4 y -8 si se permiten números negativos como solución ).

Sean x e y los números buscados. Tenemos el siguiente sistema, formado por las premisas indicadas en el enunciado

(x+y)2=144x2+y2=80(x+y)2=144x2+y2=80

Suponiendo que la suma de ambos números, x e y, es positiva, de la primera ecuación podemos deducir que

144=122=(x+y)2⇒x+y=12144=122=(x+y)2⇒x+y=12

Despejando una de ellas, la x por ejemplo,

x=12−yx=12−y

y sustituyendo su valor en la segunda ecuación tenemos

(12−y)2+y2=80⇒(144−24y+y2)+y2=80⇒⇒2y2−24y+64=0⇒y2−12y+32=0(12−y)2+y2=80⇒(144−24y+y2)+y2=80⇒⇒2y2−24y+64=0⇒y2−12y+32=0

Resolviendo esta última ecuación de segundo grado tenemos

(y−8)⋅(y−4)=0⇒y=8 e y=4(y−8)⋅(y−4)=0⇒y=8 e y=4

Vemos que para y=8 es x=12−8=4, para y=4 tenemos x=12−4=8 y=8 es x=12−8=4, para y=4 tenemos x=12−4=8

Es decir, que las soluciones son los números 4 y 8. A estas soluciones hay que añadir -4 y -8, que proceden del primer paso, pues el cuadrado de -12 también es 144. Se puede observar que ambos conjuntos cumplen con las restricciones del enunciado, pues 42+82=16+64=8042+82=16+64=80