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A ver, a ver, , gracias por la pregunta pero no voy a hacer tu tarea por ti, lo siento.

Jaja, es broma. Veamos, el producto que aparece se puede expresar como sigue:

∏m=1n−1(1−1pm)=φ(pn−1#)pn−1#,∏m=1n−1(1−1pm)=φ(pn−1#)pn−1#,

donde pj#pj# es el producto de los primeros jj números primos, o primorial (Wikipedia); y φφ es la función phi de Euler (Wikipedia). Esto es así por la fórmula del producto de Euler para φφ (te remito a este último artículo de la Wikipedia).

Si llamas SNSN a la NN-ésima suma parcial de la serie, no es difícil ver que

1−SN=φ(pN#)pN#.1−SN=φ(pN#)pN#.

Esto es cierto en el caso N=1N=1, donde la suma se reduce al primer término y éste es simplemente 1/21/2. En el caso general, usas como hipótesis de inducción la igualdad para N−1N−1, obteniendo

1−SN=1−SN−1−φ(pN−1#)pN#=(pN−1)φ(pN−1#)pN#=φ(pN#)pN#,1−SN=1−SN−1−φ(pN−1#)pN#=(pN−1)φ(pN−1#)pN#=φ(pN#)pN#,

usando que φφ es multiplicativa.

Desde luego, todo esto es una vuelta larga para ahorrarse la notación, ya que φ(pN#)=(p1−1)(p2−1)…(pN−1)φ(pN#)=(p1−1)(p2−1)…(pN−1) y por tanto

1−SN=∏n=1Npn−1pn.1−SN=∏n=1Npn−1pn.

Y lo que se quiere demostrar, pues, es que este producto converge a cero cuando NN se hace grande.

Primero vamos a hacer esta transformación:

log(11−SN)=∑n=1Nlog(pnpn−1).log⁡(11−SN)=∑n=1Nlog⁡(pnpn−1).

Para cualquier constante ξ<1ξ<1 y valores de xx mayores que 11 pero suficientemente cercanos a 11, se tiene

log(xx−1)>ξ(xx−1−1)=ξx−1.log⁡(xx−1)>ξ(xx−1−1)=ξx−1.

Esto es así porque x−1x−1 es la aproximación de Taylor de primer grado a logxlog⁡x alrededor de 11. Cualquier otra recta por (1,0)(1,0) con menor pendiente corta la curva de logxlog⁡x. Ahora usas el criterio de comparación: como ∑1/pn∑1/pn diverge (Wikipedia), ∑1/(pn−1)∑1/(pn−1) también lo hace y ∑log(pn/(pn−1))∑log⁡(pn/(pn−1)) también. Se concluye que log(1/(1−SN))→∞log⁡(1/(1−SN))→∞ y por tanto SN→1SN→1, que es lo que se quería.