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Se pueden evitar las integrales definidas apoyándose en un límite auxiliar muy conocido, que puede demostrarse de varias maneras, una de ellas muy eficaz es el Criterio de Stolz. El límite aludido es éste:

cuando n →∞, Lím ( ⁿ√n!)/n = 1/e

Véase la demostración en mi respuesta anterior:

Ahora bien, la expresión dada se puede transformar así:

(1/n)*[(n+1)(n+2)…(n+n)]^(1/n)=(1/n)* ⁿ√ [(2n)!/n!]=

= [(1/n)* ⁿ√ (2n)! ] / ⁿ√ n!= (dividiendo ambos términos de la fracción entre n)

= [(1/n²) * ⁿ√(2n)! ] / { [ ⁿ√n! ]/n } (*) ;

pero cuando n →∞, sabemos que Lím [ ⁿ√n! ]/n =1/e.

El denominador de la fracción tiene límite = 1/e, y el numerador N tiene como límite, cuando n →∞:

N = Lím (1/n²) * ⁿ√(2n)! = Lím (1/n²) * [² ⁿ√ (2n)!]²=

=Lím 4 * [1/(2n)² ] * [ ² ⁿ√ (2n)! ]²=4 * Lím [1/(2n)²] * [² ⁿ√ (2n)!)]² =

4 * Lím { [1/(2n) ] * [² ⁿ√ (2n)! ]}² (**) ;

pero la sucesión (1/(2n)) * [² ⁿ√ (2n)! ] es subsucesión de [ ⁿ√n! ]/n (basta intercambiar n →2n), luego ambas tienen el mismo límite, debido a que existe el de la segunda =1/e, de modo que:

N =4 * Lím {(1/n) * [ ⁿ√ n! ]}²=4/e².

Luego el límite buscado es, por (*), el cociente de ambos límites:

(4/e²):(1/e)=(4/e²)*e=4/e, como se quería demostrar.

C.Q.D