?

El límite buscado puede obtenerse bastante rápidamente con unas sencillas y elementales desigualdades ad hoc probadas por inducción; concretamente estas dos desigualdades:

(n/e)^n < n! < e*[ (n+1)/e ] ^ (n+1), de las que se deduce inmediatamente que

cuando n →∞, Lím ( ⁿ√n!)/n = 1/e.

En efecto, las dos desigualdades pueden transformarse extrayendo la raíz n-ésima de ambos miembros, en estas otras dos:

1/e < ⁿ√n!/n < ⁿ√(n+1) * (1+1/n)/e, y teniendo en cuenta que ⁿ√n → 1 así como

ⁿ√(n+1) → 1, cuando n →∞, se ve que los extremos tienden hacia 1/e cuando n →∞, luego, por el teorema del sandwich, Lím ( ⁿ√n!)/n = 1/e, como se quería demostrar.

No obstante, prefiero exponer un método muy general, porque sirve para muchos otros casos.

El criterio de Stolz viene aquí pintiparado, y es de mucha ayuda en montones de casos de cálculo de límites de apariencia complicada, porque es de muy amplia aplicación, dado que sus hipótesis de partida son muy poco restrictivas.

CRITERIO DE STOLZ : 1) En R (o en cualquier cuerpo ordenado K) se considera una sucesión B(n) estrictamente creciente y divergente y sea A(n) una sucesión cualquiera.

Si cuando n→∞ existe el límite (finito), Lím [(A(n)-A(n-1) ] / [(B(n)-B(n-1) ] = l, también existe cuando n→∞, y coincide con él, el límite: Lím A(n) / (B(n) =l.

2) La misma conclusión es válida si A(n) → 0, B(n) → 0 y además B(n) es estrictamente decreciente o estrictamente creciente. También en este caso, la existencia del límite, cuando n→∞, Lím [ (A(n)-A(n-1) ] / [ (B(n)-B(n-1) ] = l implica la existencia y coincidencia en valor del límite, cuando n→∞,

Lím A(n) / (B(n) =l.

En este problema tenemos: u(n)= ( ⁿ√n!)/n. Tomando logaritmos naturales en ambos miembros,

log u(n)= log ( ⁿ√n!) - log n = (1/n) log (n!)-log n =

= [ (1/n)*(log 1 + log 2+…+log n) - log n ] =

= [log 1 + log 2+…+log (n-1)- (n-1) log n ] / n = A(n) / (B(n),

con A(n)= log 1 + log 2+…+log (n-1)- (n-1) log n, y B(n)=n.

Es evidente que B(n) es estrictamente creciente, y A(n) es cualquier sucesión.

Por el Criterio de Stolz (primer caso), si conseguimos probar la existencia de

Lím [ (A(n)-A(n-1) ] / [ (B(n)-B(n-1) ] = l, cuando n→∞, podremos asegurar también que, cuando n→∞, existe el límite que buscamos,

Lím A(n) / (B(n) = lím log u(n) y que su valor es l.

Así pues, [ (A(n)-A(n-1) ]/ [ (B(n)-B(n-1) ] = [ (A(n)-A(n-1) ]/1=

= A(n)-A(n-1) =

(log 1+log 2+…+log (n-1)- (n-1) log n) - [log 1+log 2+…+log (n-2) - (n-2) log (n-1)].

Simplificando,

[ (A(n)-A(n-1) ] / [ (B(n)-B(n-1) ] = log (n-1)- (n-1) log n+(n-2) log (n-1) =

=(n-1) log (n-1) - (n-1) log n = (n-1) [log (n-1) - log n] = (n-1) log [(n-1)/n] =

= (n-1) log (1-1/n) = log [(1-1/n)^(n-1) ] = log [ (1-1/n)^n / (1–1/n) ] =

=log [(1-1/n)^n ] - log (1–1/n); ahora bien, es bien conocido que, cuando n→∞, existe Lím (1-1/n)^n = 1/e, así como Lím (1–1/n) =1. Siendo el logaritmo una función continua, si w(n) → w se verifica que log (w(n)) → log w.

Luego, cuando n→∞, existe Lím [(A(n)-A(n-1) ] / [(B(n)-B(n-1) ] = log(1/e)=-1.

De modo que el criterio de Stolz, en su primer caso, nos garantiza que, cuando n→∞, existe Lím log (u(n))=-1; pero como u(n)=exp [log u(n) ], por ser continua la función exponencial, f(x)=exp (x), si t(n) → t cuando n→∞, será también

exp [t(n)] → exp (t) cuando n→∞.

Así que por ser Lím log (u(n))=-1, existe lím u(n) cuando n→∞, y es:

lím u(n) = exp(-1) =1/e , o bien, recordando la expresión de u(n), cuando n→∞,

Lím ( ⁿ√n!)/n = 1/e , que era el límite que deseábamos calcular.