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Como se sabe, para que una serie infinita Σ u(n), con u(n) € R para todo n€N sea convergente, es condición necesaria que el término general tienda a cero:

u(n) → 0 cuando n→∞.

Pues bien, si la serie es alternada (o alternante, como dice la pregunta) y además {|u(n)|} es monótona estrictamente decreciente, esa condición necesaria es también suficiente. De modo que:

Para que una serie alternada, con términos que en valor absoluto forman una sucesión estrictamente decreciente, sea convergente, es necesario y suficiente que su término general tienda a cero (Regla de Leibniz).

Demostración:

Supongamos que, según las hipótesis, Σ (-1)^n * u(n) (n toma valores de 0 a ∞ y u(n) > 0 para todo n), es una serie de números reales decrecientes en valor absoluto y el límite de su término general u(n) es cero cuando n→∞; ponemos de manifiesto los signos de los términos, y suponemos que el primero, u(0), sea positivo (da igual si fuera negativo pues la serie opuesta, con el primer término positivo, sería convergente, una vez probado lo que afirmamos, como se hará a continuación, y por tanto también convergería la original, de modo que podemos suponer el primer término positivo sin pérdida de generalidad).

Σ (-1)^n * u(n) = u(0) - u(1) + u(2) - … Sea S(n) la suma parcial n-sima. Podemos definir S(0)=0, por coherencia con la variabilidad de n a partir de 0.

S(2) = u(0) - u(1) > 0; S(4) = [u(0) - u(1)] + [u(2) -u(3)] >0, y en general S(2n) > 0, pues S(2n) es una suma de diferencias positivas. Además, evidentemente, {S(2n)} es estrictamente creciente, pues S(2n+2) - S(2n) = u(2n)-u(2n+1)>0, por ser {|u(n)|} estrictamente decreciente; es decir, S(2n+2)>S(2n), y efectivamente {S(2n)} es estrictamente creciente. Del mismo modo, {S(2n+1)} es estrictamente decreciente, pues:

S(1) = u(0); S(3)= u(0) - [u(1) - u(2)]< u(0)=S(1)…

S(2n+1) = S(2n-1) - u(2n-1) + u(2n), puesto que u(2n-1) >u(2n), ya que {u(n)} es estrictamente decreciente, por hipótesis.

Se verifica que las dos sucesiones {S(2n)} y {S(2n+1)} están acotadas inferiormente por S(2) y superiormente por S(1); en efecto, como {S(2n)} es creciente, será S(2n) > S(2) para todo n>1, y también

S(2n) = u(0) - u(1) + u(2) - … + u(2n-2)-u(2n-1)(recordemos que la sucesión {S(2n+1)} era estrictamente decreciente).

Para S(2n+1) se tiene análogamente: S(2n+1) < S(1), por ser {S(2n+1)} estrictamente decreciente, como se ha probado, y S(2n+1) = u(0) - u(1) + u(2) - u(3)+ … + u(2n-2)-u(2n-1)+u(2n)=suma de diferencias positivas y de u(2n)>0, luego > u(0) - u(1) = S(2), como queríamos demostrar.

Ahora, por ser {S(2n)} estrictamente creciente y acotada superiormente, converge, y por ser {S(2n+1)} estrictamente decreciente y acotada inferiormente, converge también. Sea S(2n)→S1 cuando n→∞; y sea S(2n+1)→S2 cuando n→∞. Además, S1 se mantiene mayor que S(2n), para todo n, por ser su límite y extremo superior, o supremo, de los valores de la sucesión {S(2n)}, y S2 se mantiene siempre inferior a S(2n+1), para todo n, por ser el extremo inferior, o ínfimo, de los valores de la sucesión {S(2n+1)}. Esto se basa en el hecho conocido y fundamental de que toda sucesión monótona creciente o decreciente converge respectivamente al supremo o al ínfimo de los valores de los términos de la sucesión.

Pero S(2n)-S(2n-1) = -u(2n-1) → 0 cuando n→∞, por hipótesis, de manera que tomando límites en el primer miembro, Lím[S(2n) - Lím[S(2n-1)]= Lím u(2n-1), cuando n→∞, o bien:

S(1)-S(2)=0→ S(1) = S(2); representemos por S ese valor común de S1 y S2. Veamos que la serie converge a S:

S(2n)y además S<=S(2n+1) para cada n>=0.

Así obtenemos:

0 < S-S(2n)<=S(2n+1)-S(2n)=u(2n)

y

0<=S(2n+1)-S

—- (pues vimos atrás que S(2n+1)

Ahora bien, las sucesiones {u(2n)} y {u(2n-1)}, por ser subsucesiones de {u(n)} convergen a cero lo mismo que la sucesión principal de la que provienen.

Así, por el teorema del Sandwich, cuando n→∞ es

Lím [S-S(2n)]=0 y Lím [S-S(2n+1)] =0, puesto que ambos corchetes representan sucesiones encajonadas entre 0 y otra sucesión con límite cero. Por tanto existen en R los límites de S(2n) y de S(2n+1) y ambos tienen el valor común S. Pero eso implica claramente que la sucesión entera S(n) tiende a S, por tender a S la subsucesión de términos de orden par y la subsucesión de términos de orden impar (es un sencillo lema que se desprende inmediatamente de los conceptos de subsucesión y de límite).

De modo que finalmente deducimos que la sucesión de sumas parciales tiene límite S, y por tanto, por definición, la serie alternada es convergente al número real S, c.q.d.