¿Qué propiedad tiene el número e, para que se use en muchas ecuaciones matemáticas?

Dios creó la función exponencial, y lo demás fue añadidura del hombre.

Hasta el momento no sabemos ni si existe tal cosa, pero vamos a suponerlo: hay una función, a la cual damos el nombre exp(x)(x), con la siguiente propiedad:

ddxexp(x)=exp(x)ddxexp(x)=exp(x)

Esta función especial, la “exp”, se tiene a si misma como derivada. Es el “punto fijo” de la derivada, su “autovector”.

Esa propiedad tan boba es la que hace a la función exponencial y a la ee tan importantes y ubicuas. Es por lo fundamental que es la derivada, y lo conectada que está la ee con esta, que aparece ee en tantos lugares.

Uso el teorema de Taylor: una función f(x)f(x) infinitamente derivable y “linda” se puede representar por la siguiente serie de potencias (sin problemas de convergencia):

f(x)=f(0)+f′(0)x+f′′(0)2!x2+...+f(n)(0)n!xn+...f(x)=f(0)+f′(0)x+f″(0)2!x2+...+f(n)(0)n!xn+...

Bueno, si tomamos a la f(x)f(x) como exp(x)(x), entonces f(n)(x)=exp(x)f(n)(x)=exp(x) para cualquier nn (puedes seguir derivando todo lo que quieras), y entonces tendrás

exp(x)=exp(0)(1+x+12!x2+...+1n!xn+...)=∑∞k=0exp(0)1k!xkexp(x)=exp(0)(1+x+12!x2+...+1n!xn+...)=∑k=0∞exp(0)1k!xk

Aquí definimos exp(0)=1exp(0)=1, y entonces

exp(x)=∑∞k=01k!xkexp(x)=∑k=0∞1k!xk

Todo el que haya trabajado con la función exponencial reconoce esta serie tan chula. Recuerda que dijimos (no me pidas que lo demuestre, por favor) que esta serie converge para cualquier valor de xx. Pues, converge para x=1x=1, así que el número

exp(1)=∑∞k=01k!exp(1)=∑k=0∞1k!

existe y está bien definido y podemos buscar sus lugares decimales y todo lo demás. ¿Cómo lo llamamos?

Tengo una sugerencia.

¿Qué tal si ee?