¿Cómo se resuelve un problema matemático de forma elegante?

Bueno, si quieres que te den una demostración "elegante" habría que recurrir a demostraciones realizadas por otras personas (y las hay verdaderamente ingeniosas y elegantes), porque resulta algo petulante atribuirse uno mismo la elegancia de su propia demostración.

Sin embargo, te daré un ejemplo de demostración sencilla de entender para cualquier buen estudiante de bachillerato, pero que tal vez no "caiga" en la idea que se me ocurrió allá por mis 19 años (hace siglos…), y no está publicada, que yo sepa, aunque se trata de un problemita sencillísimo y no tiene un gran mérito resolverlo; pero justo por eso siempre me ha extrañado que nadie publique esa demostración.

Después te contaré la demostración publicada, que en verdad es muy simple de concepto, y también muy bonita, pero no tan directa ni tan económica, en mi opinión; si te gusta más o menos, eso es libre por supuesto.

En general se suele considerar la elegancia en una demostración como sinónimo de brevedad, y así es en muchos casos; pero no siempre: a veces una demostración, aun siendo más larga, puede ser más elegante porque ponga en contacto o relación conceptos aparentemente muy alejados, y resulte de tal demostración una conexión insospechada y sorpresiva entre distintos campos, o ideas completamente inopinadas.-

EL ORIGEN DEL PROBLEMA:

Leyendo el fantástico libro de ajedrez, Finales de peones, de Maizelis, la curiosidad me detuvo en sus primeras páginas, donde, bajo el título de peculiaridades geométricas del tablero, relata cómo la línea "recta" en ajedrez no es la más corta entre dos puntos (entendiendo la distancia como número de jugadas necesarias), y que hay varias líneas quebradas, zigzagueantes, que conducen a un rey (de ajedrez) de una casilla a otra en el mínimo número de jugadas. Y esto se aprovecha en los - casi siempre - dificilísimos finales de peones; por ejemplo, para elegir trayectorias con doble objetivo.

Para quienes no conozcan el movimiento del rey del ajedrez, advirtamos que (en un tablero vacío, sin estorbo de otras piezas propias o enemigas) el rey puede mover a cualquier casilla colindante, o sea, puede desplazarse en cualquier dirección, pero solo una casilla, y no más.

Por ejemplo, un rey en d5 puede mover a ocho casillas distintas (véase el diagrama 1):

d6 (digamos, norte), a d4 (sur), a e5 (este), a c5 (oeste), a e6 (nordeste), a c6 (noroeste),

a c4 (suroeste) o a e4 (sureste).

DIAGRAMA 1

En los bordes del tablero, por supuesto, pierde movilidad (solo puede ir a 5 casillas distintas), y en las esquinas solo tiene tres posibilidades de movimiento.

Y cuenta Maizelis (que era el mayor experto mundial en finales de peones, allá por los años 60) que, por ejemplo, un rey blanco en un tablero vacío (incluso sin el rey negro), empleando una de las rutas más cortas (sin perder tiempo) puede ir desde la casilla e1 hasta la casilla e8 en 7 jugadas.

Una de estas rutas más cortas para alcanzar e8 en 7 jugadas es, naturalmente, la ruta:

(e1 → e2, e3, e4, e5, e6, e7, e8), esto es, moviendo siempre adelante.

DIAGRAMA 2

Pero añade Maizelis (¡atención!):

"Es evidente que el rey podía haber seguido otro camino" (para alcanzar e8 en 7 jugadas).

"El lector quedará seguramente sorprendido al saber que, además de ese camino, hay otros

392 (!) que le permiten alcanzar la casilla e8 en 7 jugadas. El rey puede avanzar hacia esa casilla por los caminos más fantásticos y zigzagueantes, con tal de que se encuentren en el marco del paralelógramo dibujado en el diagrama (representa las distancias diagonales más breves) y de que el rey pase cada vez de una horizontal a la siguiente."

Así que, espoleado por la curiosidad, y tratando de autoevaluar mi destreza combinatoria, por entonces solo requerida en la asignatura de Teoría de la probabilidad y Estadística, me planteé el siguiente

Problema: Calcular de cuántas maneras un rey en e1 puede llegar a e8 en 7 jugadas ; o en otras palabras, cuántos caminos o trayectorias del rey en e1 llevan a e8 en 7 jugadas.

Mi demostración:

Es muy breve, pero tal vez no lo parezca, porque prefiero explicar la idea en detalle; sin embargo, se podría sintetizar en tres líneas de texto.

Evidentemente, cada movimiento del rey debe ser "hacia arriba"; porque tan solo un movimiento al este, oeste, sur, sureste o suroeste, dejarían al rey retrasado en la misma fila (horizontal), o en la anterior, y ya no tendría tiempo de llegar a la fila 8 en un total de 7 jugadas.

Los únicos movimientos que "suben" siempre hacia e8 son:

Adelante (norte), Adelante-derecha, en diagonal (nordeste) y Adelante-izquierda, en diagonal (noroeste).

Yo los llamo A (adelante), D (derecha nordeste), I (izquierda noroeste).

La ruta "directa" es A - A - A - A - A - A - A (7 "A"). Pero también valen

A - A - D - A - A - I - A (4 "A" + 1 "D" + 1 "I)

A - I - D - D - A - I - A (3 "A" + 2 "D" + 2 "I), etc.

La clave es que tantas "D" como se elijan, deben compensarse con el mismo número de "I", y viceversa, porque si fueran diferentes en número, sacarían al rey de la columna e. Luego para equilibrar cada trayectoria de modo que empiece en e1 y acabe en e8 (la misma columna) los "volantazos" a derecha y a izquierda deben ser iguales en número.

El conjunto de todas las trayectorias se divide pues en estas clases:

Clase 1 → 7 A

Clase 2 → 5 A + 1 D + 1 I

Clase 3 → 3 A + 2 D + 2 I

Clase 4 → 1 A + 3 D + 3 I

En cada clase, digamos x "A "+ y "D" + z "I", el número de trayectorias es, obviamente, el número de permutaciones con repetición de x letras "A " + y letras "D" + z letras "I" → la fórmula es

nº permutaciones con repetición = Factorial de la suma dividido por el producto de los factoriales de los sumandos) = (x + y + z) ! / (x! * y! * z! ).

Luego, la clase 1 aportará: 7! / 7! = 1 ;

la clase 2, 7! / (5! * 1! *1! ) = 42;

la clase 3, 7! / (3! * 2! * 2! ) = 210 ;

y, finalmente, la clase 4 aportará 7! / (1! * 3! * 3! ) = 140.

La suma de las trayectorias de cada clase será el número total de trayectorias buscado:

nº trayectorias del rey desde e1 hasta e8 en 7 jugadas = 1 + 42 + 210 + 140 = 393.

Y Maizelis tenía razón: además de la trayectoria "recta" (A - A - A - A - A - A - A),

hay otras 392 trayectorias que llevan al rey desde e1 hasta e8 sin perder tiempo, en 7 jugadas.

C.Q.D.

En los tiempos Pre-Internet era muy difícil encontrar libros muy especializados o consultar datos en general, y pasó un tiempo hasta que, en mis pocos ratos libres, encontré en un libro una solución "matemática" (y no cibernética, ya que, por supuesto, se podían considerar todas las trayectorias posibles y contar solo las válidas, descartando las demás; los "ordenadores de pedales" ya estaban haciendo "cositas" mucho más difíciles que ésa).

En el libro "Ajedrez y Matemáticas", de Bonsdorff - Fabel y Riihimaa (Colección Escaques)

encontré una demostración por recurrencia, perfectamente correcta (Véase el Diagrama 3):

Desde la casilla e1 se puede ir a e2 en 1 movimiento o jugada, igual que a f2 o a d2.

En general, a cada casilla se puede ir, sin perder tiempo, por tantas trayectorias como la suma de las trayectorias correspondientes a la casilla inferior y a las dos adyacentes inferiores (sureste y suroeste).

La idea la encontré parecida a la desembocadura de pequeños ríos que van uniendo sus aguas hasta la casilla e8, el GRAN RÍO que lleva el agua de todos los demás.

Después encontré muchos otros libros de matemática recreativa con esta misma solución recurrente. Pero nunca vi publicada mi solución directa, sin considerar las trayectorias parciales a otras casillas.

DIAGRAMA 3

Juzgue el lector cuál de estas dos demostraciones es más elegante.

Yo tengo preferencia por la mía, pero seguramente se deba a que gané una apuesta con compañeros que me daban solo un fin de semana para resolver el problema…y les tocó pagar la cena en un restaurante decente…