¿Se puede escribir todo número entero positivo a partir de suma y restas de los primeros cuadrados consecutivos (esto es ±1²±2²±3²…±k²)?

Sí, se puede escribir todo número entero positivo como suma finita de cuadrados enteros consecutivos empezando por 1², y pudiendo estar afectado cada uno de ellos de cualquier signo, positivo o negativo.

La demostración que parece más factible a primera vista es la inducción, pero antes probemos unos cuantos valores, para ver cómo funciona la ley que tratamos de probar:

1=1²

2=-1²-2²-3²+4²

3=-1²+2²

4=1²-2²-3²+4²

5=1²+2²

6=1²-2²+3².

7=-1²+2²+3²-4²-5²+6²

8 = 1²-2²-3²+4²+5²-6²-7²+8²

Las expresiones no necesariamente son únicas en todos los casos, por ejemplo,

1=1² = 1²-2²+3²-4²-5²+6².

El problema es que no se ve sencillamente cómo el hecho de que cierto entero positivo n sea expresable como suma o resta de cuadrados enteros consecutivos implica que lo sea n+1.

El trabajo que hay que llevar a cabo es tratar de ver si alguna suma o resta de cuadrados enteros consecutivos, a partir de (n+1)² es constante, o sea, independiente de n, porque entonces de la propiedad demostrada para n deduciremos no la de n+1, pero sí la de algún n+d, con n+d posterior a n, o dicho de otro modo, algún número entero mayor que n.

Desarrollando:

(n+1)²=n²+2n+1

(n+2)²=n²+4n+4

(n+3)²=n²+6n+9

(n+4)²=n²+8n+16

(n+5)²=n²+10n+25…etc.

Si tomamos una cantidad impar de valores desde (n+1)² con el signo que sea, nunca desparecerá n², luego debemos tomar una cantidad par:

Pero por ejemplo, -(n+1)²+(n+2)²=2n-3, que no nos sirve porque depende de n.

Tomamos cuatro valores, (n+1)², (n+2)², (n+3)², (n+4)², dos con signo positivo y dos con signo negativo, para que se anule n², y si se puede anular también n ya tenemos lo que queríamos: probando un poco, vemos que 8n+2n=4n+6n, de modo que:

En (n+1)²-(n+2)²-(n+3)²+(n+4)² no hay n, ni tampoco n², por ser dos sumandos positivos y dos negativos, luego es una suma constante, como buscábamos:

(n+1)²-(n+2)²-(n+3)²+(n+4)²=1²-2²-3²+4²=4. Esta es la idea clave:

(n+1)²-(n+2)²-(n+3)²+(n+4)²=4 (&)

n puede tomar cualquier valor, y siempre sale 4 = (n+1)²-(n+2)²-(n+1)²+(n+3)²

Sabemos que 1=1², luego, tomando n=1 (igual al valor inicial 1), será

4=2²-3²-4²+5²→ 1+4=5=1²+[2²-3²-4²+5²]=1²+2²-3²-4²+5² ; tomando ahora n=5 (valor inicial) será: 4=6²-7²-8²+9² → 5+4=9=1²+ 2²-3²-4²+5²+6²-7²-8²+9².

Ahora, por inducción, podemos probar que si la propiedad de descomposición en cuadrados consecutivos es cierta para el entero 4k+1 (con k>0) entonces es cierta para 4k+5. En efecto, si 4k+1 =± 1²± 2²± …± j², entonces, tomando n=j en (&) será:

(j+1)²-(j+2)²-(j+3)²+(j+4)²=4 → 4k+5=(4k+1)+4 = ± 1²± 2²± …± j²+(j+1)²-(j+2)²-(j+3)²+(j+4)², como queríamos demostrar.

Con esto, queda probado que si n es de la forma 4k+1, con k≥ 0, entonces n es descomponible en suma de cuadrados enteros consecutivos, empezando por 1², con signos convenientes.

Pero todo entero positivo n es de una de las formas 4k+1, 4k+2, 4k+3 o bien 4k, puesto que su resto al dividirlo por 4 (división euclídea) debe ser menor que 4 y mayor o igual que cero.

Empezando igualmente con el 2, tenemos que cuando k=0, 4k+2=2 es descomponible en suma de cuadrados de signos convenientes; también 6 es suma de cuadrados de signos apropiados, como hemos visto; supongamos ahora que 4k+2 es descomponible, con k≥ 0. Entonces 4k+6=(4k+2)+4=± 1²± 2²± …± j²+(j+1)²-(j+2)²-(j+3)²+(j+4)², puesto que 4=(j+1)²-(j+2)²-(j+3)²+(j+4)² por (&).

Así que queda probado por inducción que todo entero positivo de la forma 4k+2 (con k≥0) es descomponible en suma de cuadrados enteros consecutivos, empezando por 1², con signos convenientes.

Ahora, como 3 y 7 son descomponibles (ver tabla inicial), sea 4k+3 descomponible, con k> 0 → 4k+7=(4k+3)+4 ± 1²± 2²± …± j²+(j+1)²-(j+2)²-(j+3)²+(j+4)², y queda probado por inducción que todo entero positivo de la forma 4k+3 (k≥0) es descomponible en suma de cuadrados enteros consecutivos, empezando por 1², con signos convenientes.

Como 4 es descomponible y también 8 (ver tabla inicial), supongamos 4k descomponible, con k>0 → 4k+4=± 1²± 2²± …± j²+(j+1)²-(j+2)²-(j+3)²+(j+4)² y queda probado por inducción que todo entero de la forma 4k (con k≥0) es descomponible en suma de cuadrados consecutivos empezando por 1², con signos convenientes.

Como todo n>0 es de una de las formas 4k, 4k+1, 4k+2 ó 4k+3, queda probado que:

todo n entero positivo es descomponible en suma de cuadrados enteros consecutivos, empezando por 1², con signos convenientes, que es lo que se quería demostrar, como pide la pregunta.