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Lo primero que debes notar es que tiene la forma de la ecuación de Euler.

En general, una ecuación de la forma:

ax2y′′+bxy′+cy=g(x)(1)(1)ax2y″+bxy′+cy=g(x)

Puede ser resuelta primero encontrando las raíces de:

ar(r−1)+br+c=0(2)(2)ar(r−1)+br+c=0

Esto resuelve el caso homogéneo (g(x)=0g(x)=0), luego habría que encontrar la solución particular, que puede ser un poco complicada.

En tu problema, a=1a=1, b=−1b=−1, y c=4c=4. Por lo tanto, cuando encuentres las raíces de la ecuación (2), tendrás una solución homogénea de la forma:

yh=c1xr1+c2xr2(3)(3)yh=c1xr1+c2xr2

Si las raíces son imaginarias, la solución general se pudiera expresar:

yh=c1xλcos(μlogx)+c2xλsin(μlogx)(4)(4)yh=c1xλcos⁡(μlog⁡x)+c2xλsin⁡(μlog⁡x)

Donde λλ es la parte real de la raíz y μμ la parte imaginaria. Cuando resuelves la ecuación (2), obtienes los siguientes valores para rr

r=1±i3–√r=1±i3

Por lo cual debes usar la forma de la solución expresada en (4). Eso significa que, tu solución homogénea es:

yh=c1xcos(3–√logx)+c2xsin(3–√logx)(5)(5)yh=c1xcos⁡(3log⁡x)+c2xsin⁡(3log⁡x)

Ahora falta conseguir la solución particular, una vez obtenida, se añade con (5) y esto te da la solución general. Hay un pequeño problema, sin embargo. Si te fijas la solución homogénea, tiene términos de la misma forma que g(x)g(x). Usualmente esto se resuelve multiplicando por la variable independiente (xx en este caso). En otras palabras, el término c1xcos(3–√logx)c1xcos⁡(3log⁡x) de la solución homogénea es resonante con g(x)=xcos(3–√logx)g(x)=xcos⁡(3log⁡x).

Para la solución particular, uno regularmente asume que tendrá la misma forma que g(x)g(x). Por ejemplo, uno asume que:

yp=Axcos(3–√logx)+Bxsin(3–√logx)yp=Axcos⁡(3log⁡x)+Bxsin⁡(3log⁡x)

Pero como esta solución es resonante con la homogénea, debemos multiplicar por la variable independiente. En este caso, tenemos una función compuesta en el coseno. Es decir, no tenemos cos(Kx)cos⁡(Kx), sino cos(Klogx)cos⁡(Klog⁡x). Sin embargo podemos decir que u=logxu=log⁡x para obtener cos(Ku)cos⁡(Ku). Aquí, uu juega el papel de la variable independiente. En lugar de multiplicar por xx, multiplicamos por uu. Con esto en cuenta, asumimos que la solución particular tiene la forma:

yp=Ax(u)cos(3–√logx)+Bx(u)sin(3–√logx)yp=Ax(u)cos⁡(3log⁡x)+Bx(u)sin⁡(3log⁡x)

yp=Axlogxcos(3–√logx)+Bxlogxsin(3–√logx)(6)(6)yp=Axlog⁡xcos⁡(3log⁡x)+Bxlog⁡xsin⁡(3log⁡x)

Nota: Algo importante a mencionar es que, el método utilizado para encontrar la solución particular aquí, está más garantizado a funcionar para ecuaciones diferenciales con coeficientes constantes. En este problema, tenemos variables en lugar de constantes como coeficientes pero ciertas clases de problemas aún así resultan usando el método de ‘coeficientes indeterminados'. Otro método que pudiera aplicarse aquí es el de ‘variación de parámetros'.

Ya de aquí lo puedes tomar. Lo que queda es encontrar y′pyp′ y y′′pyp″ y substituir en la ecuación original para así encontrar las constantes AA y BB. Esto es un proceso un poco arduo y hay que ser cuidadoso para no perder términos en el proceso.

Después de resolver, encontrarás que A=0A=0 y B=123–√B=123, por lo tanto:

yp=xlogxsin(3–√logx)23–√(7)(7)yp=xlog⁡xsin⁡(3log⁡x)23

Y la solución general:

yg=yh+ypyg=yh+yp

yg=c1xcos(3–√logx)+c2xsin(3–√logx)+xlogxsin(3–√logx)23–√(8)(8)yg=c1xcos⁡(3log⁡x)+c2xsin⁡(3log⁡x)+xlog⁡xsin⁡(3log⁡x)23

Las constantes c1c1 y c2c2 resultan de las condiciones iniciales.