¿Por qué es necesario introducir constantes en algunas ecuaciones?

Creo que te refieres a las ecuaciones en derivadas parciales, las cuales modelan diversos fenómenos físicos, químicos y hasta biológicos. Creo que la mejor y más sencilla forma de explicarlo es con un ejemplo simple, pero práctico y real. Supongamos un gas contenido en un recipiente cilíndrico (las fronteras pueden ser de otra cualquier geometría).

Sean p0 y ρ0 la presión y la densidad iniciales del gas, constantes en todo el cilindro. En un instante t > 0 el gas es perturbado en el origen O. Esto origina que el volumen diferencial (disco sombreado) sufra un desplazamiento en la dirección OY. Debido a la gran compresibilidad del gas las presiones en A y B son distintas, originando una fuerza no nula en la sección de volumen A dy. La sección A se verá desplazada una cantidad ψ y la sección B tendrá un desplazamiento ψ’. El volumen desplazado será entonces igual a dV = A(dy+dψ). Si p y ρ representan la presión y densidad del gas después de la perturbación, entonces la masa del gas se mueve o desplaza según el siguiente modelo:

Obviamente para describir este movimiento gaseoso requerimos dos constantes, el área de la sección A y la densidad inicial ρ0. Además si suponemos la siguiente hipótesis, el modelo anterior se simplifica:

La ecuación de estado del gas es:

k se llama módulo volumétrico elástico (en Pascales) del gas, otra constante necesaria en el modelo. De esta ecuación deducimos lo siguiente:

La segunda ley de la dinámica para fluidos newtonianos establece que:

La ecuación en derivadas parciales dentro del rectángulo es el modelo matemático que describe el movimiento del gas dentro del cilindro y contiene dos constantes físicas que deben medirse. La v es la velocidad del gas desplazado que se calcula con ayuda de estas dos constantes.

Espero que este ejemplo te sirva para entender el por qué de tu pregunta.