Factor algebraico
Sean y dos polinomios no constantes. Se dice que es factor algebraico de , si existe un único polinomio tal que ; es decir, es divisible por .

Ejemplo es factor de .
En efecto:
Existe tal que .
Es decir:


En consecuencia, es divisible por .

Ejemplo Respecto al polinomio

Podemos afirmar lo siguiente:
 es un factor algebraico de .
 es un factor algebraico de .
 es un factor algebraico de .
 no es factor algebraico de , pues es una constante de grado cero. FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS Álgebra

6 Christiam Huertas

Ejemplo Si el polinomio es un factor del polinomio ; , determine el valor de .

Resolución

Como es un factor de , entonces la división es exacta. Es decir:

Hallemos el resto aplicando el Teorema del Resto:
i.
ii.
iii. ⏟


Cancelamos :

Polinomio reductible
Un polinomio de grado es reductible sobre un conjunto (o campo) , si se descompone en la multiplicación de dos o más factores algebraicos (sobre el conjunto o campo ).

Ejemplo El polinomio es reductible sobre .

En efecto:
se descompone así:

También podemos decir que es reductible sobre , pues y estan definidos sobre .

Ejemplo El polinomio no es reductible sobre ni sobre . Álgebra FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS

Christiam Huertas 7


En efecto:
Pese a que se descompone así:
( )( )
los polinomios ( ) y ( ) no están definidos sobre ni sobre , pero si lo están sobre . Luego, po demos decir que el polinomio es reductible sobre .

Ejemplo El polinomio no es reductible sobre , ni sobre , ni sobre .

En efecto:
Pese a que se descompone así:

los polinomios y no están definidos sobre , ni sobre , ni sobre ; pero si lo están sobre . Luego, podemos decir que el polinomio es reductible sobre .

Polinomio irreductible
Cuando un polinomio no es reductible sobre un de terminado conjunto (o campo), diremos que es irreductible sobre dicho conjunto (o campo).

Ejemplo 1. El polinomio no es reductible sobre (ni sobre ) entonces es irreductible sobre (y sobre ).

2. El polinomio es irreductible sobre , y .
Pues no se puede descomponer sobre , y .

En general: Todo polinomio de la forma: es irreductible sobre , y .

3. El polinomio es irreductible sobre , y .
Pues no se puede descomponer sobre , y . FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS Álgebra

8 Christiam Huertas


Teorema
Todo polinomio de primer grado es irreductible.

En efecto:
Si admitimos que este polinomio puede descomponerse en la multiplicación de al menos dos factores algebraicos (de menor grado), estos tendrán que ser de grado cero, pero el producto de cualesquiera polinomios de grado cero, es de nuevo de grado cero y no de grado uno.

Ejemplo Los polinomios:




son irreductibles por ser de primer grado.

Corolario
Si el polinomio es irreductible, entonces con , también lo es.

Ejemplo A continuación mencionaremos algunos polinomios que son irreductibles sobre , sobre y sobre .