Factorização de Polinômios

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Sección	5.4	 	 Factorizar	un	monomio	de	un	polinomio	y	factorización	por	agrupación	 309
En esta sección, aprenderemos a determinar los factores de una expresión dada. Por 
ejemplo, aprenderemos cómo realizar cada una de las factorizaciones siguientes.
18x3+9x2y+12x5=3x2(6x+3y+4x3)
Factorizando
y
Factorizando
12x2-24xy-15y2=(6x+3y)(2x-5y)
	1 	Determinar	el	máximo	factor	común
Para factorizar un monomio de un polinomio, factorizamos al máximo factor común 
de cada término del polinomio. El máximo factor común (MFC) es el producto de los 
factores comunes a todos los términos del polinomio.
Por ejemplo, el MFC para 6x  21 es 3, ya que 3 es el número más grande que 
es factor tanto de 6x como de 21. Para factorizar utilizamos la propiedad distributiva.
6x  21 5 3(2x  7)
El 3 y el 2x  7 son factores del polinomio 6x  21.
Considera los términos x3, x4, x5 y x6. El MFC de estos términos es x3, ya que x3 es 
la potencia de x más alta que divide los cuatro términos.
El primer paso en cualquier problema de factorización es determinar si todos los 
términos tienen un factor común.
EJEMPLO 1 Determina el MFC de los términos siguientes.
 a) y12, y4, y9, y7 b) x3y2, xy4, x5y6 c) 6x2y3z, 9x3y4, 24x2z5
Solución   
 a) Observa que y4 es la mayor potencia de y común a los cuatro términos. Por lo 
tanto, el MFC es y4.
 b) La mayor potencia de x que es común a los tres términos es x (o x1). La mayor 
potencia de y que es común a los tres términos es y2. Así, el MFC de los tres tér-
minos es xy2.
 c) El MFC es 3x2. Como y no aparece en 24x2z5, no es parte del MFC; como z no 
aparece en 9x3y4, no es parte del MFC.
Resuelve ahora el ejercicio 93
EJEMPLO 2 Determina el MFC de los términos siguientes.
6(x  2)2, 5(x  2), 18(x  2)7
Solución    Los tres números 6, 5 y 18, no tienen factor común distinto de 1. La 
potencia más alta de (x  2) común a los tres términos es (x  2). Así, el MFC de los 
tres términos es (x  2).
Resuelve ahora el ejercicio 95
	2 	Factorizar	un	monomio	de	un	polinomio
Cuando factorizamos un monomio de un polinomio, estamos factorizando el máximo 
factor común. El primer paso en cualquier problema de factorización consiste en facto-
rizar el MFC.
Comprendiendo 
el álgebra
En cualquier problema de 
factorización, el primer paso 
es factorizar el MFC.
 1. Determina el máximo factor común de todos los términos del polinomio.
 2. Escribe cada término como el producto del MFC y otro factor.
 3. Usa la propiedad distributiva para factorizar el MFC.
Para factorizar un monomio de un polinomio
310	 Capítulo	5	 	 Polinomios	y	funciones	polinomiales
EJEMPLO 3 Factoriza 15x4  5x3  25x2.
Solución    El MFC es 5x2. Escribe cada término como producto del MFC y otro 
producto. Después factoriza el MFC.
 15x4  5x3  25x2 5 5x2  3x2  5x2  x  5x2  5
	 5 5x2(3x2  x  5)
Resuelve ahora el ejercicio 15
EJEMPLO 4 Factoriza 20x3y3  6x2y4  12xy7.
Solución    El MFC es 2xy3. Escribe cada término como producto del MFC y otro 
producto. Después factoriza el MFC.
20x3y3  6x2y4  12xy7 5 2xy3 10x2  2xy3  3xy  2xy3  6y4
	 5 2xy3(10x2  3xy  6y4)
Verifica		 2xy3(10x2  3xy  6y4)5 20x3y3  6x2y4  12xy7
Resuelve ahora el ejercicio 19
EJEMPLO 5 Factoriza.
 a) 12a  18 b) 2b3  6b2  16b
Solución    Como los coeficientes principales en los incisos a) y b) son negativos, 
factorizamos factores comunes con un coeficiente negativo.
 a) 12a  18 5 6(2a  3) Factoriza 6.
 b) 2b3  6b2  16b 5 2b(b2  3b  8) Factoriza 2b.
Resuelve ahora el ejercicio 27
EJEMPLO 6 Lanzamiento de una pelota Cuando se lanza una pelota hacia 
arriba con una velocidad de 32 pies por segundo desde la parte más alta de un edificio 
de 160 pies de altura, su distancia, d, respecto del piso en cualquier instante t, puede 
determinarse mediante la función d(t) 5 16t2  32t  160.
 a) Determina la distancia de la pelota respecto del piso después de 3 segundos; es 
decir, determina d(3).
 b) Factoriza el MFC del lado derecho de la función.
 c) Evalúa d(3) en la forma factorizada.
 d) Compara las respuestas de los incisos a) y c). 
Solución   
 a) d(t) 5 16t2  32t  160
 d(3) 5 16(3)2  32(3)  160 Sustituye t por 3.
 5 16(9)  96  160
 5 112
La distancia es de 112 pies.
Cuando el coeficiente principal de un polinomio es negativo, por lo general factori-
zamos un factor común con un coeficiente negativo. Esto da como resultado que el 
polinomio restante tenga un coeficiente principal positivo.
Consejo útil
Para verificar el proceso de factorización, multiplica los factores usando la propie-
dad distributiva. El producto debe ser el polinomio con el que empezaste. Como se 
observa en el ejemplo 3,
Verifica 5x2(3x2  x  5) 5 5x2(3x2)  5x2(x)  5x2(5)
	 5 15x4  5x3  25x2
	 Sección	5.4	 	 Factorizar	un	monomio	de	un	polinomio	y	factorización	por	agrupación	 311
	3 	Factorizar	un	factor	binomial	común
Algunas veces la factorización implica factorizar un binomio como el máximo factor 
común, como se ilustra en los ejemplos 7 a 10.
En el ejemplo 7 también podrías haber colocado el factor común a la derecha 
para obtener
3x(5x  6)  4(5x  6) 5 (3x  4)(5x  6)
Las formas factorizadas (5x  6)(3x  4) y (3x  4)(5x  6) son equivalentes 
de acuerdo con la propiedad conmutativa de la multiplicación, y ambas son correctas. 
Por lo general, cuando escribimos la respuesta a un ejemplo o ejercicio, colocamos el 
término común que se ha factorizado a la izquierda.
 b) Factoriza 16 de los tres términos a la derecha del siglo igual.
d(t) 5 16(t2  2t  10)
 c) d(t) 5 16(t2  2t  10)
 d(3) 5 16[32  2(3)  10] Sustituye t por 3.
 5 16(9  6  10)
 5 16(7)
 5 112
 d) Las respuestas son iguales. Puedes determinar los cálculos del inciso c) con ma-
yor facilidad que los cálculos del inciso a).
Resuelve ahora el ejercicio 65
EJEMPLO 7 Factoriza 3x(5x  6)  4(5x  6).
Solución    El MFC es (5x  6). Al factorizar el MFC se obtiene 
3x(5x  6)  4(5x  6) 5 (5x  6)(3x  4)
Resuelve ahora el ejercicio 37
EJEMPLO 8 Factoriza 9(2x  5)  6(2x  5)2.
Solución    El MFC es 3(2x  5). Reescribe cada término como producto del MFC 
y otro factor.
 9(2x  5)  6(2x  5)2 5 3(2x  5)  3  3(2x  5)  2(2x  5)
	 	 5 3(2x  5)[3  2(2x  5)] Factoriza 3(2x  5).
	 	 5 3(2x  5)[3  4x  10] Propiedad distributiva
	 	 5 3(2x  5)(4x  7) Simplifica.
Resuelve ahora el ejercicio 39
EJEMPLO 9 Factoriza (3x  4)(a  b)  (x  1)(a  b).
Solución    El binomio (a  b) es el MFC. Por lo tanto, lo factorizamos.
 (3x  4)(a  b) (x  1)(a  b) 5 (a  b)[(3x  4)  (x  1)] Factoriza (a  b).
	 5 (a  b)(3x  4  x  1) Simplifica.
	 5 (a  b)(2x  3) Factores
Resuelve ahora el ejercicio 43
Comprendiendo 
el álgebra
En el ejemplo 7, el máximo 
factor común (5x 2 6) es 
un factor binomial.
312	 Capítulo	5	 	 Polinomios	y	funciones	polinomiales
EJEMPLO 10 Área En la Figura 5.13, el área del rectángulo grande es 
7x(2x  9), y el área del rectángulo pequeño es 3(2x  9). Determina una expresión, en 
forma factorizada, para calcular la diferencia entre las áreas de estos dos rectángulos.
Solución    Para determinar la diferencia entre las áreas, resta el área del rectángu-
lo pequeño del área del rectángulo grande.
	 	7x(2x  9) 2 3(2x  9) Resta las áreas.
	 5 (2x  9)(7x  3) Factoriza (2x  9).
La diferencia de las áreas para los dos rectángulos es (2x  9)(7x  3).
Resuelve ahora el ejercicio 59
	4 	Factorizar	por	agrupación
Cuando un polinomio tiene cuatro términos, se le podría factorizar por agrupación. 
Para factorizar por agrupación, quitamos los factores comunes de grupos de términos. 
Este procedimiento se ilustra en el ejemplo siguiente.
EJEMPLO 11 Factoriza ax  ay  bx  by.
Solución    No hay factor común (diferente de 1) para los cuatro términos. Sin em-
bargo, a es común a los primeros dos términos, y b es común a los últimos dos. Fac-
toriza a de los primeros dos términos y b de los dos últimos.
ax  ay  bx  by 5 a(x  y) b(x  y)
Ahora (x  y) es común a ambos términos. Factoriza (x  y).
a (x  y)  b (x  y) 5 (x  y)(a  b)
Así, ax  ay  bx  by 5 (x  y)(a  b) o (a  b)(x  y).
Resuelve ahora el ejercicio 49
A � 7x(2x � 9)
A � 3(2x � 9)
	FiGura	 5.13	 	 
EJEMPLO 12 Factoriza por agrupación x3  5x2  2x  10.
Solución    No hay factores comunes a los cuatro términos. Sin embargo, x2 es co-
mún a los primeros dos términos, y 2 es común a los últimos dos términos. Factoriza 
x2 de los primeros dos términos y 2 de los últimos dos términos.
 x3  5x2  2x  10 5 x2(x  5)  2(x  5)
	 5 (x  5)(x2  2)
Resuelve ahora el ejercicio 55
 1. Determina si los cuatro términos tienen un factor común. Si es así, factoriza el máxi-
mo factor común de cada término.
 2. Acomoda los cuatro términos en dos grupos de dos términos cada uno. Cada grupo 
debe tener un MFC.
 3. Factoriza el MFC de cada grupo de dos términos.
 4. Si los dos términos formados en el paso 3 tienen un MFC, factorízalo.
Para factorizar cuatro términos por agrupación
En el ejemplo 12, (x2  2)(x  5) también es una respuesta aceptable. ¿Cambiaría 
la respuesta del ejemplo 12 si intercambiamos el orden de 2x y 5x2? Inténtalo en el 
ejemplo 13.
EJEMPLO 13 Factoriza x3  2x  5x2  10.
Solución    No hay factor común para los cuatro términos. Factoriza x de los prime-
ros dos términos y 5 de los últimos dos términos.
 x3  2x  5x2  10 5 x(x2  2)  5(x2  2)
	 5 (x2  2)(x  5)
Observa que obtuvimos resultados equivalentes en los ejemplos 12 y 13.
Resuelve ahora el ejercicio 51
	 Sección	5.4	 	 Factorizar	un	monomio	de	un	polinomio	y	factorización	por	agrupación	 313
Recuerda, el primer paso en cualquier problema de factorización consiste en 
determinar si los términos tienen un factor común. Si es así, empieza por factorizar 
el MFC. Por ejemplo, para factorizar x4  5x3  2x2  10x, primero factorizamos x 
de cada término. Después factorizamos los cuatro términos restantes por agrupación, 
como se hizo en el ejemplo 12.
x4  5x3  2x2  10x 5 x(x3  5x2  2x  10) 
 Factoriza el MFC, x, de los 
cuatro términos.
	 5 x(x  5)(x2  2) Factores del ejemplo 12
CONJUNTO DE EJERCICIOS 5.4 
Ejercicios de práctica
Llena los espacios en blanco con la palabra, frase o símbolo(s) apropiados de la siguiente lista.
asociativa comunes 6x3y4 conmutativa 2 24(x  2)4 divisor
distributiva agrupación 4(x  2)3 1 máximo factor común multiplicación 2x2y
 1. Factorización es lo opuesto a .
 2. En un problema de factorización, el primer paso es factorizar 
el .
 3. Cuando un polinomio contiene cuatro términos, puede ser 
posible factorizar el polinomio por .
 4. El primer paso en la factorización de x2  2x  13 es facto-
rizar .
 5. Para factorizar por agrupación, elimina los factores 
 de los grupos de términos.
 6. El MFC de 2x2y4 y 6x3y es .
 7. El MFC de 12(x  2)3 y 8(x  2)4 es .
 8. Para verificar la respuesta de un problema de factorización, 
multiplica los factores usando la propiedad .
Practica tus habilidades
Factoriza el máximo factor común.
 9. 7n  14 10. 15p  25 11. 2x2  4x  16
 12. 6x2  12x  27 13. 12y2  16y  28 14. 12x3  8x2  10x
 15. 9x4  3x3  11x2 16. 45y12  60y10 17. 24a7  9a6  3a2
 18. 16c5  12c4  6c3 19. 3x2y  6x2y2  3xy 20. 24a2b2  16ab4  72ab3
 21. 80a5b4c  16a4b2c2  24a2c 22. 36xy2z3  36x3y2z  9x2yz 23. 9p4q5r  3p2q2r2  12pq5r3
 24. 24m6  8m4  4m3n 25. 22p2q2  16pq3  26r 26. 15y3z5  28y3z6  9xy2z2
Factoriza un factor con un coeficiente negativo.
 27.	 8x  4 28. 20a  50 29. x2  4x  23
 30. y5  6y2  7 31. 3r2  6r  9 32. 12t2  48t  72
 33. 6r4s3  4r2s4  2rs5 34. 5p6q3  10p4q4  25pq7 35. a4b2c  5a3bc2  3a2b
 36. 20x5y3z  4x4yz2  8x2y5
Factoriza.
 37. x(a  9)  1(a  9) 38. y(b  2)  6(b  2)
 39. 7x(x  4)  2(x  4)2 40. 4y(y  1)  7(y  1)2
 41. (x  2)(3x  5)  (x  2)(5x  4) 42. (z  4)(z  3)  (z  1)(z  3)
Consejo útil
Cuando factorizamos cuatro términos por agrupación, si los términos primero y tercero son 
positivos debemos factorizar una expresión positiva, tanto de los primeros dos términos como 
de los últimos dos términos, para obtener un factor común para los dos términos restantes 
(ver ejemplo 12). Si el primer término es positivo y el tercero es negativo, debemos factorizar 
una expresión positiva de los primeros dos términos y una expresión negativa de los últimos 
dos términos para obtener un factor común para los dos términos restantes (ver ejemplo 13). 
314	 Capítulo	5	 	 Polinomios	y	funciones	polinomiales
43. (2a  4)(a  3)  (2a  4)(2a  1) 44. (6b  1)(b  4)  (6b  1)(2b  5)
 45. x2  4x  5x  20 46. a2  3a  6a  18
 47. 8y2  4y  20y  10 48. 18m2  30m  9m  15
 49. am  an  bm  bn 50. cx  cy  dx  dy
 51. x3  3x2  4x  12 52. 2z3  4z2  5z  10
 53. 10m2  12mn  25mn  30n2 54. 12x2  9xy  4xy  3y2
 55. 5a3  15a2  10a  30 56. 2r4  2r3  9r2  9r
 57. c5  c4  c3  c2 58. b4  b3  b  b2
Resolución de problemas
Área En los ejercicios 59 - 62, A representa una expresión para 
el área de la figura. Determina una expresión, en forma factoriza-
da, para la diferencia de las áreas de las figuras geométricas. Ver 
ejemplo 10.
 59. 
A � 6x(2x � 1) A � 5(2x � 1)
 60. 
A � 2(3x � 4)A � 7x(3x � 4)
 61. 
A � 3x2 � 12x
A � 2x � 8
 62. 
A � 6x2 � 2x A � 3x � 1
Volumen En los ejercicios 63 y 64, V representa una expresión 
para el volumen de la figura. Determina una expresión, en 
forma factorizada, para la diferencia de los volúmenes de los 
sólidos geométricos.
 63. 
V � 9x(3x � 2) V � 5(3x � 2)
 64. 
V � 18x2 � 24x V � 3x � 4
 65. Bengala Cuando se lanza una bengala hacia arriba con una 
velocidad de 80 pies por segundo, su altura, h, en pies, por 
encima del suelo a los t segundos se puede determinar por la 
función h(t) 5 16t2  80t.
 a) Determina la altura de la bengala 3 segundos después de 
que se lanzó.
 b) Expresa la función con el lado derecho en forma factori-
zada.
 c) Evalúa h(3) usando la forma factorizada del inciso b).
 66. Lanzamiento Cuando 
un jugador de basquetbol 
realiza un lanzamiento, la 
altura, h, en pies, del ba-
lón por encima del suelo 
a cualquier tiempo t, bajo 
ciertas circunstancias, pue-
de ser determinada por la 
función 
 h(t) 5 16t2  20t  8.
 a) Determina la altura del 
balón en el primer se-
gundo.
 b) Expresa la función con el lado derecho en forma factorizada.
 c) Evalúa h(1) usando la forma factorizada del inciso b).
 67. Pista de patinaje El área de la pista de patinaje con extre-
mos semicirculares mostrada es A 5 pr2  2rl.
 a) Determina A cuando r 5 20 pies y l 5 40 pies.
 b) Escribe el área A en 
forma factorizada.
 c) Determina A cuando 
r 5 20 pies y l 5 40 
pies usando la for-
ma factorizada del 
inciso b).
 68. Área La fórmula para determinar el área de un trapezoide 
está dada como A �
1
2
hb1 �
1
2
hb2 . Expresa esta fórmula en 
forma factorizada.
 69. Compra de un estéreo Fred Yang acaba de comprar un es-
téreo por $975. Con un interés de 0% (interés – libre), Fred 
debe pagar $75 cada mes hasta que el estéreo esté totalmen-
te pagado. La cantidad que aún se debe es una función del 
tiempo, donde 
A(t) 5 975  75t
 y t es el número de meses después de que Fred comprara el 
estéreo.
 a) Determina la cantidad que aún se debe 6 meses después 
de que Fred comprara el estéreo.
 b) Escribe la función en forma factorizada.
©
 G
lo
wi
m
ag
es
l
r r
PATINAJE